Transformée de Fourier discrète et Aliasing

[nicomezi]

Bonjour à tous,

Je suis face à un problème...
Voilà, je dispose d'un jeu de données en fréquentiel. Je dois passer en temporel pour filtrer (via multiplication par une fenêtre discrétisée) puis repasser en fréquentiel.

On m'a affirmé que, dans mon cas, il n'y aura pas d'aliasing/repliement de spectre puisque les données fréquentielles sont connues de base et que la TFD est une application inversible.
Toutefois.. j'ai l'impression qu'en effectuant la TFD et en passant en temporel, je risque d'avoir de l'aliasing non pas en fréquentiel mais en temporel (et avoir non plus du repliement de spectre mais une sorte de repliement temporel).

Ai-je tort ou raison ?

Merci.
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[b@z66]

Vous avez effectivement raison et tout le problème consiste donc à savoir si les données discrètes en fréquentiel ont été échantillonnées avec un pas suffisamment fin. Là-dessus, on ne peut que supposer sans plus d'information que celle selon laquelle "les données fréquentielles sont connues". Le fait d'avoir des données échantillonnées en fréquentiel suggère déjà que l'on considère le signal en temporel comme périodique. Les problèmes qui peuvent se poser en général avec cela tiennent plus à l'apparition de discontinuité inattendues sur le signal temporel. Exemple: on fait en général des TFD de nombre entier de périodes de signal temporel pour éviter que l'échantillonnage en fréquentiel fasse apparaître des harmoniques que l'on attend pas.

[nicomezi]

Merci pour cette réponse.

Du coup, j'imagine que pour éviter ceci, je dois vérifier les conditions du théorème d’échantillonnage de Shannon mais version "à l'envers" ? Autrement dit, il faut que la fréquence d'échantillonnage (en fréquentiel) soit plus grande que deux fois le temps le plus grand contenu dans le signal version temporel ?

Dans mon cas, j'ai un échantillon tous les 5 MHz, donc la fréquence d'échantillonage est 1/(5*10^6)=2*10^(-7) dont mon temps peut aller au maximum jusqu'à 1*10^(-7) secondes (en supposant que l'on part de 0)
J'ai bon ?

Encore merci pour votre aide.

[Vincent PETIT]

Salut,
Il y a une chose que je ne comprends pas

Voilà, je dispose d'un jeu de données en fréquentiel.

Donc tu connais le spectre du signal ?

Je dois passer en temporel pour filtrer (via multiplication par une fenêtre discrétisée) puis repasser en fréquentiel.

Pourquoi faire ?
Puisque tu connais déjà ton spectre, tu n'as qu'a filtrer la ou les fréquences qui te gêne ? Puis, pour voir le résultat temporel, tu fais une TDF inverse.

Il s'agit de faire :
1)_TFD 2)_{Filtrage numérique} 3)_{TFD inverse}, en sachant que tu connais visiblement le 1)

Je ne vois pas pourquoi ré-échantillonner le signal ?

On m'a affirmé que, dans mon cas, il n'y aura pas d'aliasing/repliement de spectre puisque les données fréquentielles sont connues de base et que la TFD est une application inversible.

Au vu de ce que j'ai écrit juste avant, je suis d'accord avec cette phrase.

[A voir en vidéo sur Futura]

[nicomezi]

Bonsoir Vincent.

Merci pour ton aide. Je vais donner quelques précisions.

Mon signal est justement un spectre fréquentiel (d'un point de vue physique), ce sont des mesures d'antenne. On met une sonde à une certaine fréquence, l'antenne que l'on mesure capte cette fréquence dans deux polarisations sous la forme amplitude/phase, et on fait ça dans toute une gamme de fréquence et avec un pas fixe.
Les mesures sur lesquelles je travaille ne sont donc pas réalisées en temporel mais bien en fréquentiel. C'est bien pour ça que j'ai des difficultés à voir si j'ai des problèmes d'échantillonnage et d'aliasing, parce que je travaille "en sens inverse" par rapport à d'habitude.
Ce signal (donc le spectre fréquentiel de l'antenne) contient des composantes qui ne sont pas les bienvenues et que l'on peut enlever en temporel (ce sont en réalité les réflexions des ondes électromagnétiques dans la zone de mesure, elles arrivent donc nécessairement en retard par rapport au trajet direct sonde/antenne). Donc pour faire ceci, on passe en temporel, on filtre et on revient en fréquentiel.

Mon opinion est que, même si physiquement on a affaire à des données fréquentielles, mathématiquement ça ne change pas grand chose de faire la TFD ou la TFD inverse du point de vue du théorème d'échantillonnage, d'où ma question.

[Vincent PETIT]

Salut,
Je comprends mieux, j'imagine que les données sont issus d'un analyseur de réseau vectoriel (ou analyseur de spectre ?)

Mon opinion est que, même si physiquement on a affaire à des données fréquentielles, mathématiquement ça ne change pas grand chose de faire la TFD ou la TFD inverse du point de vue du théorème d'échantillonnage.

Oui je suis aussi de cet avis puisqu'on ne ré-échantillonne pas.

J'ai une question :
Pourquoi penses tu a un problème de replie spectral ? Si tu as de la réflexion (problème d'adaptation d'impédance ou réflexion normal d'un composant par exemple), tu dois le voir en regardant la phase ?

[nicomezi]

Oui c'est bien issu d'un analyseur de réseau.

Les réflexions ne sont pas le résultat d'un phénomène de repli ou d'un aspect électronique, si je comprends bien la remarque.
Je dois dissocier au maximum le signal (temporel) direct (autrement dit qui a fait le trajet direct sonde -> antenne) des réflexions, qui elles sont allées taper sur les différentes surfaces de la zone de mesure (par exemple sonde -> sol -> antenne). Et donc j'applique un fenêtrage afin de ne conserver que la partie qui m'intéresse. Puisque par nature, le trajet le plus court (en milieu isotrope) est la ligne droite, et que les réflexions ont parcouru plus de distance, je sélectionne donc une zone temporelle qui correspond au trajet direct. Mais si il y a un phénomène de repli, en procédant ainsi je conserve des composantes temporelles issues de temps qui ne m'intéressent pas, puisque des temps ultérieurs sont alors assimilés à des temps plus courts, qui possiblement rentrent dans ma fenêtre conservée.

[phuphus]

Bonjour,

une multiplication en temporel est équivalente à une convolution en fréquentiel : tu peux directement faire une convolution de la TFD de ta fenêtre temporelle.

Mais je doute que cela fonctionne. Dans ce que je connais, le fenêtrage en temporel pour éliminer les réflexions ne fonctionne que si les composantes fréquentielles ont été enregistrées en même temps (bruit blanc par exemple) avec déphasage connu des unes par rapport aux autres.

Si je comprends bien, ici, tu te place en régime stationnaire pour chaque fréquence et avec une référence de phase qui est inconnue : pour moi, il n'est pas possible de retrouver une "temporalité" à partir de tout cela.

Quand tu traces la courbe en fréquentiel, la phase déroulée te paraît cohérente ? Pas de défaut de phase par rapport à un système à phase minimum par exemple ?

[phuphus]

Bonjour,

Mais si il y a un phénomène de repli, en procédant ainsi je conserve des composantes temporelles issues de temps qui ne m'intéressent pas, puisque des temps ultérieurs sont alors assimilés à des temps plus courts, qui possiblement rentrent dans ma fenêtre conservée.

Le pas fréquentiel de la mesure correspond à l'inverse de la période de temps considérée. La fréquence maximum mesurée te donnera une fréquence d'échantillonnage possible. Pour que cela fonctionne il faut en effet que la sonde donne un résultat mesuré sur une fenêtre temporelle correspondant à la fois à la période de temps théorique, et à partir d'un instant qui correspond à un temps de propagation homogène pour chaque mesure.

[nicomezi]

Bonjour,

Merci pour ces réponses.

Alors je précise que le principe de base n'est pas de moi et est une méthode éprouvée en traitement des mesures antennes. J'ai lu pas mal de papiers là dessus, j'ai appliqué la méthode à mes données et ça fonctionne. Honnêtement même si le principe est simple, je ne comprends pas encore très bien pourquoi ça marche, en effet comme toi je suis d'avis que les mesures sont dissociées dans le temps et qu'il devrait donc y avoir des soucis lors du passage en temporel, au moins au niveau de la phase. Mais pour le moment il faut surtout que j'arrive à déterminer s'il peut y avoir des soucis de repliement, afin tout simplement d'améliorer le traitement de ces données. Parce que ma tâche réside surtout dans le post-traitement, pas vraiment sur la compréhension de la méthode (je ne l'ai jamais vu clairement expliquée dans le fond, ça a l'air assez empirique).

En revanche, ces fameux papiers sont moins bavards sur comment résoudre ces problèmes d'aliasing et d'où ils peuvent provenir. En vérité je me souviens juste d'un papier qui évoque des soucis d'aliasing (Titre : Time Filtering Techniques for Echo Reduction in Antenna Measurements) mais qui ne dit pas quand est-ce qu'ils peuvent surgir exactement et aussi comment les éviter.

Voilà.

PS : concernant ta question sur la référence de phase, je ne sais pas exactement comment la phase est mesurée, ce que je sais c'est que son déroulé est cohérent, que ce soit avant ou après filtrage. Et surtout que l'on dissocie assez bien le signal direct des réflexions dans le cas d'antennes à réponse temporelle courte, indicateur que la phase ne fait pas n'importe quoi.