Bonjour à tous,

Je suis actuellement en thèse, et je travaille sur un projet qui implique la fatigue ultrasonique des matériaux, autrement dit la vibration de pièces métalliques dans mon cas.

Je souhaite créer un modèle mathématique (Avec Matlab) qui permettrait d'évaluer les modes propres d'une pièce. Mais ce modèle devrait répondre à des conditions particulières.
La modélisation que j'ai choisi utilise une discrétisation en éléments finis.
Pour chaque élément, sur l'axe de révolution de la pièce, je calcule la section de l'élément. Cette section n'est pas forcément constante sur la longueur de la pièce que je modélise.

Je construis ensuite les matrices de raideur et de masse des éléments, les assemble pour avoir les matrices de raideur et de masse de la pièce entière.
Ainsi, je dois résoudre :

(K-w²M)U=0 pour trouver les modes propres, à savoir det(K-w²M)=0.

Mon modèle à 1 dimension fonctionne bien, mais il ne me donne pas les valeurs attendues pour les fréquences des modes qui m'intéressent (fréquences que j'ai au préalable calculées avec une simulation 3D sur abaqus).

Je souhaite développer un modèle 1D, qui tient compte de l'impact du coefficient de poisson. Autrement dit qui prend en compte les déformations axiales de la pièces, lorsqu'elle vibre. Cela devrait aider à recaler la valeur de la fréquence pour atteindre la fréquence obtenue sous Abaqus.

Mon point de départ est le suivant :

L'équilibre d'un tronçon de pièce cylindrique peut s'écrire :

Capture.PNG

Je pense qu'en ajoutant les conditions limites particulières, ça peut aider. Ces conditions sont les suivantes :
- La contrainte Sigma radiale est nulle sur la surface cylindrique extérieure;
- Le déplacement U radial sur la surface extérieure est nul.

Avec ces hypothèses, je peux retrouver le tenseur des contraintes et déformations, mais je ne sais pas comment l'intégrer à mes équations (2) ou (3) afin de les résoudre comme pour le cas simple du modèle 1D.

J'ai déjà un vecteur déplacement qui est discrétisé pour le nombre d'éléments. Mais utiliser les conditions limites indiquées ci-dessus me ferait travailler avec une matrice des déplacements, ce qui me semble pas très concevable.
Auriez-vous une idée pour m'aider sur ce développement?


Merci d'avance.