Courbure dans le champ électromagnétique

[Christian Arnaud]

Amis des courbures , bonjour

Il me semble que la RG propose que la courbure de Riemann du champ espace-temps est proportionnelle à l'énergie de la matière contenue, mais quel serait l'équivalent pour le champ électromagnétique ?

D'avance merci
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[jacknicklaus]

Bonjour, je ne comprends pas très bien la question. En fait, dans l'équation D'Einstein, le tenseur énergie-impulsion (partie droite) contient aussi la contribution des champs électromagnétiques. Le terme de courbure (partie gauche) dépend donc de l'ensemble des contributions apportées au tenseur énergie-impulsion, énergie électromagnétique comprise.

[pm42]

Bonjour, je ne comprends pas très bien la question.

Pareil et je me demande si ce n'est pas du raisonnement par analogie. Il parle de "champ espace-temps" ce qui est impropre puis ensuite à "champ électromagnétique" et vu que le 1er a une courbure, qu'est ce qui correspond dans l'autre.
Sauf que comme le 1er n'est pas un champ, cela complique...

[jacknicklaus]

Il parle de "champ espace-temps" ce qui est impropre...

oui, l'emploi de certains termes n'est pas heureux et celà complique la compréhension de la question :
- le champ espace-temps : expression pas connue. On peut parler du tenseur de Riemann, ou du tenseur d'Einstein qui sont des objets géométriques bien définis
- l'énergie de la matière contenue : qui est incorrect. Le tenseur énergie-impulsion ne dépend pas uniquement de la matière. Heureusement car sinon on montre facilement que celà viole la conservation d'énergie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Christian Arnaud]

Pareil et je me demande si ce n'est pas du raisonnement par analogie. Il parle de "champ espace-temps" ce qui est impropre puis ensuite à "champ électromagnétique" et vu que le 1er a une courbure, qu'est ce qui correspond dans l'autre.
Sauf que comme le 1er n'est pas un champ, cela complique...

Oui, c'est bien du raisonnement par analogie Alors à la place de "champ espace-temps" j'aurais sans doute du écrire "champ gravitationnel" ou "espace-temps" tout court , mais je crois que tout le monde avait compris

[Nicophil]

Bonjour,

Il me semble que la RG propose que la courbure de Riemann du champ espace-temps est proportionnelle à l'énergie de la matière contenue, mais quel serait l'équivalent pour le champ électromagnétique ?

L'influence de la matière-énergie : la RG la fait porter sur la géométrie espace-temps. Mais une théorie concurrente pourrait la faire porter sur les propriétés du champ électromagnétique et ainsi garder un espace-temps pseudo-euclidien.

[pm42]

Mais une théorie concurrente pourrait la faire porter sur les propriétés du champ électromagnétique et ainsi garder un espace-temps pseudo-euclidien.

Cela mériterait d'être justifié...

[Christian Arnaud]

Ma question vient du fait que j'ai trouvé ça sur Wiki :"Aujourd'hui, les quatre équations (vectorielles) de Maxwell se réduisent à seulement deux équations tensorielles, ou même à une seule équation multivectorielle en algèbre géométrique. "

ce qui fait penser à l'équation de base d'Einstein pour la RG et l'espace temps ; mais je n'arrive pas à trouver cette équation unique qui résumerait les 4 de Maxwell, d'où ma question

[albanxiii]

Vous n'avez pas du chercher beaucoup : https://en.wikipedia.org/wiki/Mathem...a_formulations

Pour ma part je ne vois pas le moindre rapport entre une réécriture des équations de Maxwell et l'équation d'Einstein, ça doit me passer largement au dessus du crâne.

[Deedee81]

Salut,

Il y a une vague (*) analogie mathématique.
Mais évidemment les grandeurs physiques intervenant dans l'équation d'Einstein et dans l'équation de Maxwell n'ont absolument rien à voir entre-elles. Même de loin.
Certains font des bons de petites souris excitées dès qu'ils voient qu'on a un exposant carré dans deux équations (j'ai déjà vu les rapprochements fumeux entre 1/2 mv² et mc² par exemple).
Mais, bon, avoir "une équation" est encore plus douteux comme comparaison. A la limite pourquoi ne pas dire que la gravité c'est de la chaleur puisque la théorie de Fourier c'est aussi une seule équation pour le champ de température ?

On peut aussi parler de courbure du champ électromagnétique, j'ai déjà vu ça dans des exercices sur le calcul tensoriel, mais c'est des courbures des lignes de champ ou dans des espaces de configuration, rien à voir avec la courbure de l'espace-temps (suffit pas d'avoir une route sinueuse pour faire pousser une montagne ).

(*) Bien que la ressemblance soit assez tenace. Mais pour le voir faut plonger dans des eaux profondes. Fait quelques recherches éventuellement sur la théorie de Kaluza-Klein (un très bon article en anglais est sur Arxiv : "la théorie de Kaluza-Klein en perspective" (ma traduction)). Cette ressemblance profonde est liée aux groupes de symétries de jauge. C'est de la haute voltige.

[Christian Arnaud]

On peut aussi parler de courbure du champ électromagnétique, j'ai déjà vu ça dans des exercices sur le calcul tensoriel, mais c'est des courbures des lignes de champ ou dans des espaces de configuration, rien à voir avec la courbure de l'espace-temps (suffit pas d'avoir une route sinueuse pour faire pousser une montagne ).

Bonjour Deedee
Oui, je crois que c'est une bonne piste avec l'approche tensorielle et une courbure(même si cette notion de courbure est différente de celle de Riemann) ; reste un dernier pas à franchir pour passer du tensoriel au multivectoriel et à l'équation unique
D'un autre côté , je ne m'attends pas à une grande révélation ; quand, pour un même phénomène, on réduit le nombre d'équations sans perdre en qualité, c'est qu'on utilise un cadre et/ou des outils plus sophistiqués, c'est tout

En revanche , l'article sur le Kaluza-Klein est beaucoup trop abstrait pour moi Comme dirait Albanxiii , ça doit me passer largement au dessus du crâne

[Christian Arnaud]

Vous n'avez pas du chercher beaucoup : https://en.wikipedia.org/wiki/Mathem...a_formulations

Merci pour le lien

[Christian Arnaud]

(*) Bien que la ressemblance soit assez tenace. Mais pour le voir faut plonger dans des eaux profondes. Fait quelques recherches éventuellement sur la théorie de Kaluza-Klein (un très bon article en anglais est sur Arxiv : "la théorie de Kaluza-Klein en perspective" (ma traduction)). Cette ressemblance profonde est liée aux groupes de symétries de jauge. C'est de la haute voltige.

Bonjour ,
Finalement , je me suis plongé dans cet article car nous avions eu une discussion ici même au cours de laquelle un des intervenants proposait que l'électromagnétisme soit inclus dans la 5ème dimension d'un Kaluza klein.
Par ailleurs, mon interrogation première provient aussi du fait de la ressemblance entre la matière énergie qui courbe l'espace-temps autour d'elle et la charge électrique à l'intérieur d'une surface fermée (équation de Maxwell-Gauss) ou encore le flux magnétique à travers une surface fermée (Maxwell-flux).