Salut,
je me demande : dans le fond, pourquoi utilise t on la representation lineaire des groupes O, SO, U , SU en physique des particules ? Quel est le sens physique de l'usage de cet outil mathematique dans ce contexte ?
J'ai cru comprendre qu'historiquement la theorie mathematique de la representation lineaire des groupes de Lie est nee de besoins en physique, est ce bien le cas ?
Salut,
Les groupes sont soit abstrait (mais dans ce cas peu utile en soi en physique), soit concret : c'est-à-dire qu'on utilise une représentation du groupe (par exemple, prendre des "jetons" et les permuter est une représentation concrète du groupe des permutations).
Les représentation sont presque toujours linéaires (je me demande d'ailleurs s'il existe d'autres cas ? En tout cas j'avais une idée concernant l'usage de fibrés pour des représentations d'algèbres pour un besoin que j'ai en gravitation quantique, mais c'est encore vague dans ma petite tête). La raison est que les représentations linéaires ont pleins d'avantages dû.... à la linéaritéEt aussi l'omniprésence des espaces vectoriels en physique. En tout cas en développement la théorie quantique des champs on se rend compte que c'est ce type de représentation sont ce dont on a besoin.
Alors pourquoi ces groupes ? car ils sont liés aux groupes de symétries (ou leurs groupes de recouvrement) et donc aux symétries rencontrées en physique : symétries par translations, rotations, symétries internes, etc... On y rencontre aussi bien des groupes discrets que des groupes continus (habituellement des groupes de Lie).
Pour ce qui est de l'origine historique, je ne sais pas (en tout cas dans wikipedia ils ne parlent que d'histoire de maths, mais ça ne dit rien sur les motivations), mais je n'en serais pas surpris. Enormément de choses sont venues de besoins en physique : les transformées de Fourier (étude de l'équation de la chaleur), les équations différentielles et le calcul infinitésimal (équations de la mécanique), etc....
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Les groupes de Lie sont intéressants mais leurs algebres de Lie associées le sont encore plus. en gros on passe des elements de l'algebre de Lie au groupe de Lie grace a une fonction exponentielle tres peu différente de l'exponentielle habituelle
l'intéret des algebres de Lie c'est que c'est la qu'on trouve ces fameux opérateurs utilisés en MQ
un exemple tout simple c'est le groupe des translations. il a une algebre associée avec des dérivations par rapport aux coordonnées comme générateurs;
f(x+a) = f(x) + a f'(x) + a^2/2! f''(x) + etc =
(Id + a deriv + (a deriv) ^2 /2! + etc) f(x) =
exp(a deriv) f(x)
et c'est bien la dérivee par rapport a x qui est utilisée comme opérateur impulsion pour les systemes ayant la translation comme symétrie.
on a la meme choses pour les rotations etc c'est tres puissant comme formalisme
La raison de l'existence de ces groupes en physique etait claire pour moi (les symetries).Envoyé par Deedee81
Salut,
Les groupes sont soit abstrait (mais dans ce cas peu utile en soi en physique), soit concret : c'est-à-dire qu'on utilise une représentation du groupe (par exemple, prendre des "jetons" et les permuter est une représentation concrète du groupe des permutations).
Les représentation sont presque toujours linéaires (je me demande d'ailleurs s'il existe d'autres cas ? En tout cas j'avais une idée concernant l'usage de fibrés pour des représentations d'algèbres pour un besoin que j'ai en gravitation quantique, mais c'est encore vague dans ma petite tête). La raison est que les représentations linéaires ont pleins d'avantages dû.... à la linéarité
Alors pourquoi ces groupes ? car ils sont liés aux groupes de symétries (ou leurs groupes de recouvrement) et donc aux symétries rencontrées en physique : symétries par translations, rotations, symétries internes, etc... On y rencontre aussi bien des groupes discrets que des groupes continus (habituellement des groupes de Lie).
Pour ce qui est de l'origine historique, je ne sais pas (en tout cas dans wikipedia ils ne parlent que d'histoire de maths, mais ça ne dit rien sur les motivations), mais je n'en serais pas surpris. Enormément de choses sont venues de besoins en physique : les transformées de Fourier (étude de l'équation de la chaleur), les équations différentielles et le calcul infinitésimal (équations de la mécanique), etc....
En revanche pourquoi vouloir representer ces groupes dans ev, c'etait precisement ma question.
D'autant plus que beaucoup de ces groupes sont deja des groupes de matrices : pourquoi vouloir les representer dans d'autres groupes de matrices ?
Em maths je vois a peu pres pourquoi on etudie les representations de groupes (etudier l'ensemble des representation lineaires d'un groupe donne sur un corps K fixé, c'est un peu comme voir "l'ombre" de ce groupe sous differents angles. A partir de ces "ombres", on espere en retirer des informations sur la structure du groupe de depart, qu'on aurait pas eu sans cet outil... c'est un peu la philosophie du processus. Et en plus, on a la marge de maneouvre supplementaire de faire cet etude pour des corps K differents, notamment en toute carteristique, ce qui enrichi encore plus les informations indirectes qu'on peut grapiller a propos du groupe de depart), mais quelles sont les motivations profondes en physique ?
Peut tu me donner un example concret de representation d'un groupe de symetrie en physique, et m'expliquer qu'est ce que l'outil de la representation de ce groupe apporte dans ce contexte ?
Dernière modification par syborgg ; 26/04/2019 à 10h14.
Oui certes, mais l'utilisation des algebres de Lie en physique serait un autre sujet, egalement fort interessant.
Les opérateurs linéaires de la MQ les spins etc les commutateurs de heisenberg etc
tout ca ce n'est pas de la théories des groupes c'est de la théorie des algebres. ce serait dommage de passer son chemin comme ca
il y a quelque chose a voir faur pas circuler.
Exact. Et c'est même parfois indispensable, comme dans l'étude des représentations de l'algèbre du groupe de rotation (pour le spin).
En effet les groupes de Lie sont souvent des groupes matriciels (presque tous les groupes de Lie, à quelques exceptions près, en particulier pour les groupes de recouvrement universel. Il y a des exemples de groupes matriciels dont le groupe de recouvrement n'est pas matriciel).
Mais un groupe matriciel est déjà une représentation du groupe de Lie
Prenons l'exemple que j'ai suggéré plus haut. Le groupe des rotations. Sur les coordonnées on le représente facilement par le groupe des matrices orthogonales 3x3.
Et on peut l'appliquer aux vecteurs et donc s'applique bien aux particules vectorielles (comme pour le champ électromagnétique donc le photon).
Et pour les particules scalaires, la représentation triviale est immédiate.
Mais tous les objets physiques ne se représentent pas nécessairement par des vecteurs ou des scalaires. Comment trouver toutes les représentations s'appliquant à tous ces objets ? On part alors des générateurs du groupe et on voit qu'ils obéissent à une algèbre de groupe (en fait c'est l'algèbre de O(3) et de son groupe de recouvrement SU(2) (*), c'est la même algèbre ).
on cherche alors toutes les représentations de cette algèbre et on trouve des représentations matricielles 1x1 (triviale, scalaire), 2x2 (spin 1/2, les objets physiques étant représentés par des spineurs), 3x3 (vectoriel), etc....
(*) Notons que c'est cette identité des algèbres qui conduit au fait d'avoir des représentations non classiques comme le spin 1/2.
Si, si, il y a de la théorie des groupes. En physique des particules on doit bien connaitre SU(2) et SU(3) et leurs représentations.
Et pour le spin, le groupe des rotations est inévitable.
Et comment parler des lois de conservation sans le théorème de Noether et les groupes ?
Les algèbres interviennent aussi beaucoup, comme algèbre des groupes.
Mais c'est vrai qu'on rencontre aussi d'autres algèbres (l'algèbre des opérateurs par exemple).
Dernière modification par Deedee81 ; 26/04/2019 à 11h07.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
disons qu'il faut connaitre SU(2) mais aussi su(2) sinon on passe a coté des matrices de Pauli..... ce serait dommage pour l'étude du spin de l'électron. le groupe des rotation c'est surtout utile pour contourner les ronds points.
Je suis en train de me demander : ce n'est pas plutot d'actions (sur des ev) de ces groupes de symetrie (ou algebres en tout genre) dont vous avez besoin en physique ?
Une representation d'un groupe c'est bien sur une action particuliere de ce groupe, mais en maths quand on parle de representation d'un groupe, on se refere a l'etude de l'ensemble de toutes les representations vecorielles (sur un coprs donne), pas seulement de quelques une d'entres elles.
Dernière modification par syborgg ; 26/04/2019 à 14h48.
Je confirme.
Oui on parle aussi des actions de groupes ou de leurs algèbres (bien que d'expérience cette expression je l'ai surtout rencontré en math, pas tellement en physique, mais c'est juste une question de langage). Et toutes les représentation sont importantes.
Excellent ça. Celle-là je la note
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
La question est de savoir pourquoi on s'intéresse aux représentations linéaires des groupes en physique.
Il me semble que cela vient de la mécanique quantique. Une symétrie se définit comme une transformation des rayons dans l'espace de Hilbert des états telle que les transitions de probabilités entre ces états restent inchangées. Le théorème de Wigner montre que toute transformation de ce type permet de définir un opérateur U qui transforme projectivement les états selon cette symétrie et que cet opérateur est soit unitaire et linéaire, soit antiunitaire et antilinéaire. On peut montrer que le cas antilinéaire ne concerne que quelques symétries discrètes (par exemple le renversement du temps t -> -t). Pour des symétries continues il faut que l'opérateur soit unitaire, donc d'après le théorème de Wigner, qu'il soit linéaire. Je ne sais pas si c'est vraiment une condition nécessaire (je veux dire que je ne sais pas si on est toujours obligé de réaliser la symétrie linéairement), mais le théorème de Wigner montre en tout cas que c'est toujours possible, et je n'ai jamais vu de réalisation non linéaire (ce serait une question pour des mathématiciens, ils en savent forcément plus que moi).
Par conséquent une symétrie sera réalisée comme une représentation linéaire du groupe de symétrie sur l'espace de Hilbert.
Un exemple simple: le potentiel dans lequel l'électron d'un atome d'hydrogène est plongé (en traitant donc le proton comme une charge classique) a une symétrie sphérique, donc invariant sous SO(3), le groupe des rotations de l'espace à 3 dimensions. Cet électron peut se trouver dans des états de moment angulaire différents. Un état de moment L appartient à un espace d'états de dimension 2L+1. Or, l'étude des représentations linéaires de SO(3) montre qu'elles sont indexées par un entier L et qu'elles sont de dimension 2L+1. En fait la mécanique quantique du moment angulaire se déduit de la représentation des groupes, cette théorie décrit comment l'état se transforme sous une rotation. Il en va de même pour le spin, pour l'isospin (qui échange proton et neutron) et, de manière nettement moins évidente, pour la symétrie SU(3) des quarks.
Mais il n'y a pas que la mécanique quantique. En mécanique classique, il est possible de classifier les modes de vibration d'une "molécule" composée de masses reliées par des ressorts à partir des symétries de cette "molécule". La classification est en fait celle des représentations linéaires du groupe de symétrie de la molécule, qui ici est un groupe fini. J'ai toujours trouvé cela un peu superflu, mais il est vrai que c'est joli. Pour les groupes finis, c'est Frobenius qui a fait la théorie de leurs représentations, longtemps avant Wigner, mais je crois que c'était pour des raisons purement mathématiques, il n'envisageait pas une application en physique (peut être pour l'appliquer à la théorie de Galois? je ne sais pas, encore une question pour les mathématiciens).
Dernière modification par ThM55 ; 26/04/2019 à 22h54.
Il me semble pourtant formateur d'avoir une compréhension des groupes abstraits pour tout domaine qui font usage des groupes (tout comme la représentation de groupe : La théorie des représentations est importante en physique, parce qu'elle permet de décrire, par exemple, comment le groupe des symétries d'un système influe sur les solutions des équations qui le décrivent). La notion de groupe abstrait, identifié par le mathématicien Caley, permet dégager les propriétés intrinsèques aux groupes, et ceci indépendamment de la nature des objets des ensembles manipulés. Un peut comme la notion de qubit logique et sa représentation par la sphère de Bloch qui permet de s'abstraire de la représentation/support physique (spin, polarisation de la lumière, ...).
Cela permet de plus de dégager la notion d'isomorphisme. Des ensembles d'objets de natures différentes, munis de lois internes spécifiques, peuvent former un groupe dont la structure est identique. Par exemple il n'y a qu'un seul groupe abstrait d'ordre 2 à un isomorphisme près.
Cordialement,
C'est vrai mais force est de constater qu'en physique les groupes apparaissent quasi toujours comme des ensembles de transformations qui laissent un système invariant (autrement dit comme des symétries).
Toutefois la théorie des groupes et de ses représentations fournit des théorèmes très puissants qui conduisent directement à des résultats physiques non triviaux. Le plus frappant est la dimension des espaces de représentations. J'en ai donné un exemple, mais il y en a d'autres, par exemple les dimensions des représentations de SU(3) ont permis à Gell-Mann de prédire l'existence d'une nouvelle particule (pour compléter un ensemble de base formé par des particules déjà connues qui devait être augmenté d'une unité) et toutes ses propriétés physiques, qui a ensuite été découverte. Il y a d'autres prédictions aussi étonnantes, qui proviennent du fait que la symétrie en question n'est pas exacte mais qu'elle est approximative ("brisée"). La théorie quantique prédit que les masses des particules qui servent de base se séparent en valeurs distinctes quand la symétrie n'est pas exacte. Mais la théorie des représentations prédit des contraintes sur ces masses, d'où des relations qui lient les masses des baryons et des mésons (relations de Gell-Mann-Okubo), toutes bien vérifiées par l'expérience. Je trouve que c'est une des découvertes les plus étranges de toute la physique théorique. Quel est le statut mathématique réel d'une symétrie inexacte? C'est vraiment étrange, et il est étonnant que malgré cela la théorie des groupe impose des relations entre les différences de masses.
Avant ces découvertes, la théorie des groupes avait plutôt un rôle descriptif un peu annexe, disons que cela permettait d'apporter une certaine compréhension classificative (par exemple la classification par Wigner des représentations du groupe de Poincaré permettait de classifier tous les états à 1 particule en théorie quantique relativiste). C'est déjà pas mal, mais les physiciens voyaient cela comme une sorte d'annexe de la physique, ou même pour les plus extrémistes comme une nuisance qui détournait des vrais problèmes. Ce n'est plus le cas depuis Gell-Mann, je crois.
Je pourrais aussi parler des symétries de jauge, qui placent un groupe de Lie dans la position d'une fibre d'un espace fibré avec l'espace-temps comme base. La théorie de structure des algèbres de Lie (selon cartan et Dynkin) permet de contraindre la manière dont une telle symétrie de jauge locale peut être brisée.
Je crois comprendre un peu mieux, mais il est possible que je fasse des mauvaises interpretations de tes propos et de ceux de Deede81 car il me manque encore des notions de base de physique, et donc le jargon des physiciens m'echappe parfois (je ne suis qu'un pauvre mathematicien).
Pour concretiser un peu plus en des termes que je puisse comprendre sans ambiguite, peut tu me donner des exemples de resultats (ou encore mieux de methodes) de la theorie mathematique de la rep des groupes, qui sont utilisees dans les contextes que tu mentionnes ? Par exemple, faites vous usage des representations irreductibles, et que toute representation est somme directe de rep irreductibles ? ou encore de l'outil des caracteres ?
Autre question : en phsyique, les representations sont elles toujours de groupes (de Lie) compacts ? ou considere t on egalement parfois des groupes continus non compacts ?
Oui la physique utilise tous ces résultats, mais c'est souvent caché dans le jargon et les particularités des applications. Et puis en guise d'avertissement de dois dire que je n'ai plus pratiqué tout cela depuis plus de 30 ans, et même presque 40 (ce nombre ne fait qu'augmenter, je faisais de la physique théorique, mais j'ai quitté ce domaine après quelques années pour trouver une source de revenus plus sûre et avec plus de chiffres).
Dans mon souvenir, les caractères servent avant tout à démontrer des relations d'orthogonalité pour les représentations irréductibles des groupes finis. Mais corrige moi si je me trompe. C'est très utile pour les lister et les analyser individuellement et trouver les composantes de matrices de représentation. Je pense que les chimistes utilisent beaucoup la théorie des groupes finis, mais je ne suis pas spécialiste de ce sujet.
Pour les groupes de Lie compacts il existe l'analogue (en intégrant avec la mesure de Haar) mais j'ai un peu oublié les détails.
Mais il est vrai qu'on applique surtout des représentations irréductibles. Je ne sais pas vraiment pour quelles raisons, mais il semble que la Nature soit ainsi faite. Quand on est en présence d'une représentation (signalée comme une réalisation physique) réductible, le système qui la réalise peut en général se décomposer en sous-systèmes qui correspondent chacun à une représentation irréductible. Le cas classique et le plus connu est celui de l'addition des moments angulaires. On s'intéresse évidemment à des systèmes physiques qui combinent plusieurs particules liées entre elles (des atomes, des molécules, mais aussi des particules formées de quarks). Chacune, de spin j, donne lieu à une représentation irréductible de SO(3). La symétrie du système complet sera représenté par le produit tensoriel des représentations de chaque particule, qui en général est réductible. On applique alors une procédure pour en trouver les composantes irréductibles. C'est très important en spectroscopie atomique et moléculaire, cela permet de classifier tous les spectres. L'exemple le plus simple est un électron (de spin 1/2) dans une orbite de moment angulaire l > 0. Il y a en tout 2(2l+1) états possibles. Le moment angulaire total est soit j=l+1/2 soit j=l-1/2. Les états se décomposent donc en deux ensembles de 2(l+1/2)+1 et 2(2l-1)+1 états, qui correspondent à la décomposition de la représentation réductible produit en somme de deux représentations irréductibles. L'apport de la théorie de la représentation dans ce cas est de fournir les coefficients qui permettent de déduire directement les intensités des raies spectrales de la transition. On appelle cela les coefficients de Clebsch-Gordan.
Il n'y a pas que des groupes compacts en physique. Le contre exemple le plus connu est le groupe de Lorentz ou de celui de Poincaré (produit semi-direct de celui de Lorentz et de celui des translations, c'est le groupe des isométries de l'espace de Minkowski). Les représentation du groupe de Poincaré permettent de classifier les états quantiques à 1 particule. On peut en déduire tous les champs quantiques connus. Comme on s'intéresse surtout aux représentations de dimensions finies, les représentations considérées en physique pour le groupe de Poincaré ne sont pas unitaires.
J'ai oublié un aspect de la théorie des groupes qui est plus théorique et fondamental mais d'une immense importance en physique: les théorèmes de Noether. ils expliquent l'apparition de grandeurs conservées quand une dynamique gouvernée par un principe variationnel présente une symétrie exprimée par une algèbre de Lie. Toute la physique des particules est concernée par ces théorèmes.
Pour un mathématicien, un bon point d'entrée dans l'application à la physique me semble être le livre d'Yvette Kosmann-Schwarzbach: Groupes et symétries, Groupes finis, groupe et algèbre de Lie, représentations (Eyrolles) (Il existe en traduction anglaise chez Springer). En effet, elle explique pas mal d'exemples de physique pour illustrer les notions mathématiques, il y a notamment un chapitre entier sur les quarks. Malheureusement il n'y a pas grand chose sur les groupes de Lorentz et de Poincaré. Kosmann-Scharzbach a aussi écrit un livre sur les théorème de Noether. Une démonstration du théorème de Wigner sur les symétries quantiques dans un espace de Hilbert se trouve dans le premier volume du traité de Steven Weinberg sur la théorie quantique des champs (annexe A); le chapitre 1 de ce traité est une histoire de la théorie, le chapitre 2 introduit les états à une particule est en fait un exposé des représentations de dimension finie du groupe de Poincaré. Pour le point de vue d'un pur physicien des particules, on peut lire certains chapitres de "Aspects of symmetry", un collection d'articles de Sidney Coleman.
Le rôle de la théorie des groupes en physique est devenu plus important depuis la théorie unitaire des quarks, mais je trouve personnellement qu'il reste tout de même un peu en marge ou plus exactement à un niveau trop profond pour notre appréhension habituelle de la physique. C'est tout le contraire par exemple des diagrammes de Feynman, qui parlent directement à l'imagination. La théorie des groupes ne fournit pas les équations dynamiques, ni les couplages existant effectivement entre les champs quantiques, mais elle les contraint fortement et permet dans certains cas de court-circuiter des déductions qui sans elle seraient inaccessibles. Quand on parle du monde réel, on est toujours tenté d'utiliser les capacités du cerveau que l'évolution nous a données. Il a été sélectionné pour ça, pour se débrouiller sur terre. Mais c'est insuffisant, il faut dépasser et parfois même s'affranchir de ces capacités de notre cerveau imparfait. Les maths, la théorie des groupes en particulier, nous aide manifestement en fournissant une nouvelle rationalité. Mes excuses pour exposer ici ma petite théorie personnelle, je pense que je suis assez "bachelardien" dans ce cas. Mais je ne sais pas si Bachelard a écrit sur la théorie des groupes en physique; si oui, j'aimerais bien trouver des références. Malheureusement il est mort en 1962, avant la publication de la théorie unitaire des quarks, je crois qu'il aurait adoré.
Merci beaucoup pour ces description detallees ! j'irai lire le livre dont tu as parle de Kosmann-Schwarzbach.Oui la physique utilise tous ces résultats, mais c'est souvent caché dans le jargon et les particularités des applications. Et puis en guise d'avertissement de dois dire que je n'ai plus pratiqué tout cela depuis plus de 30 ans, et même presque 40 (ce nombre ne fait qu'augmenter
Dans mon souvenir, les caractères servent avant tout à démontrer des relations d'orthogonalité pour les représentations irréductibles des groupes finis. Mais corrige moi si je me trompe. C'est très utile pour les lister et les analyser individuellement et trouver les composantes de matrices de représentation. Je pense que les chimistes utilisent beaucoup la théorie des groupes finis, mais je ne suis pas spécialiste de ce sujet.
Pour les groupes de Lie compacts il existe l'analogue (en intégrant avec la mesure de Haar) mais j'ai un peu oublié les détails.
Mais il est vrai qu'on applique surtout des représentations irréductibles. Je ne sais pas vraiment pour quelles raisons, mais il semble que la Nature soit ainsi faite. Quand on est en présence d'une représentation (signalée comme une réalisation physique) réductible, le système qui la réalise peut en général se décomposer en sous-systèmes qui correspondent chacun à une représentation irréductible. Le cas classique et le plus connu est celui de l'addition des moments angulaires. On s'intéresse évidemment à des systèmes physiques qui combinent plusieurs particules liées entre elles (des atomes, des molécules, mais aussi des particules formées de quarks). Chacune, de spin j, donne lieu à une représentation irréductible de SO(3). La symétrie du système complet sera représenté par le produit tensoriel des représentations de chaque particule, qui en général est réductible. On applique alors une procédure pour en trouver les composantes irréductibles. C'est très important en spectroscopie atomique et moléculaire, cela permet de classifier tous les spectres. L'exemple le plus simple est un électron (de spin 1/2) dans une orbite de moment angulaire l > 0. Il y a en tout 2(2l+1) états possibles. Le moment angulaire total est soit j=l+1/2 soit j=l-1/2. Les états se décomposent donc en deux ensembles de 2(l+1/2)+1 et 2(2l-1)+1 états, qui correspondent à la décomposition de la représentation réductible produit en somme de deux représentations irréductibles. L'apport de la théorie de la représentation dans ce cas est de fournir les coefficients qui permettent de déduire directement les intensités des raies spectrales de la transition. On appelle cela les coefficients de Clebsch-Gordan.
Il n'y a pas que des groupes compacts en physique. Le contre exemple le plus connu est le groupe de Lorentz ou de celui de Poincaré (produit semi-direct de celui de Lorentz et de celui des translations, c'est le groupe des isométries de l'espace de Minkowski). Les représentation du groupe de Poincaré permettent de classifier les états quantiques à 1 particule. On peut en déduire tous les champs quantiques connus. Comme on s'intéresse surtout aux représentations de dimensions finies, les représentations considérées en physique pour le groupe de Poincaré ne sont pas unitaires.
J'ai oublié un aspect de la théorie des groupes qui est plus théorique et fondamental mais d'une immense importance en physique: les théorèmes de Noether. ils expliquent l'apparition de grandeurs conservées quand une dynamique gouvernée par un principe variationnel présente une symétrie exprimée par une algèbre de Lie. Toute la physique des particules est concernée par ces théorèmes.
Pour un mathématicien, un bon point d'entrée dans l'application à la physique me semble être le livre d'Yvette : Groupes et symétries, Groupes finis, groupe et algèbre de Lie, représentations (Eyrolles) (Il existe en traduction anglaise chez Springer). En effet, elle explique pas mal d'exemples de physique pour illustrer les notions mathématiques, il y a notamment un chapitre entier sur les quarks. Malheureusement il n'y a pas grand chose sur les groupes de Lorentz et de Poincaré. Kosmann-Scharzbach a aussi écrit un livre sur les théorème de Noether. Une démonstration du théorème de Wigner sur les symétries quantiques dans un espace de Hilbert se trouve dans le premier volume du traité de Steven Weinberg sur la théorie quantique des champs (annexe A); le chapitre 1 de ce traité est une histoire de la théorie, le chapitre 2 introduit les états à une particule est en fait un exposé des représentations de dimension finie du groupe de Poincaré. Pour le point de vue d'un pur physicien des particules, on peut lire certains chapitres de "Aspects of symmetry", un collection d'articles de Sidney Coleman.
Le rôle de la théorie des groupes en physique est devenu plus important depuis la théorie unitaire des quarks, mais je trouve personnellement qu'il reste tout de même un peu en marge ou plus exactement à un niveau trop profond pour notre appréhension habituelle de la physique. C'est tout le contraire par exemple des diagrammes de Feynman, qui parlent directement à l'imagination. La théorie des groupes ne fournit pas les équations dynamiques, ni les couplages existant effectivement entre les champs quantiques, mais elle les contraint fortement et permet dans certains cas de court-circuiter des déductions qui sans elle seraient inaccessibles. Quand on parle du monde réel, on est toujours tenté d'utiliser les capacités du cerveau que l'évolution nous a données. Il a été sélectionné pour ça, pour se débrouiller sur terre. Mais c'est insuffisant, il faut dépasser et parfois même s'affranchir de ces capacités de notre cerveau imparfait. Les maths, la théorie des groupes en particulier, nous aide manifestement en fournissant une nouvelle rationalité. Mes excuses pour exposer ici ma petite théorie personnelle, je pense que je suis assez "bachelardien" dans ce cas. Mais je ne sais pas si Bachelard a écrit sur la théorie des groupes en physique; si oui, j'aimerais bien trouver des références. Malheureusement il est mort en 1962, avant la publication de la théorie unitaire des quarks, je crois qu'il aurait adoré.
Ton point de vue final sur les groupes comme aide au cerveau humain pour apprehender le reel est interessant, je n'avais jamais entendu auparavant.
Ah et oui, la mesure de Haar sur les groupes de Lie compacts permet de faire leur representaion, mais selon moi c'est encore plus parlant pour une classe plus large de groupe : les groupes compacts Huasdorff (grace a la mesure de Haar egalement), car les arguments sont libres du formalisme differentiel des groupes de Lie, donc plus fondamentaux et transparents.
