Bonsoir
pourriez vous regarder ce pdf ?
je lis ceci page 7
π_ ω (Q) commutes with all elements
je ne vois pas pourquoi. Ca a peut etre a voir avec la construction GNS?
je sais que ca ne fait pas envie comme ca de se plonger dans un truc ardu et de plus en anglais, mais bon on ne sait jamais.
merci
Bonjour,
le paragraphe en question est écrit d'une manière particulièrement confuse (y compris du point de vue typographique).
Le fait qu'un opérateur commute avec tous les autres opérateurs ne peut pas être une application du lemme de Schur: c'est une hypothèse du lemme de Schur.
Le lemme de Schur dit que si on a une algèbre A, un élément Q de A qui commute avec tous les éléments de A (i.e. dans le centre de A), et si pi est une représentation irréductible de A, alors pi(Q) est un multiple scalaire de l'identité (preuve: soit q une valeur propre de A, alors Ker(pi(Q)-qI) est un sous-espace non-nul de la représentation, qui est en fait une sous-représentation car Q est dans le centre de A, et donc égale à l'espace tout entier de la représentation par irréductibilité).
Il me semble qu'il faut lire le paragraphe en question comme essayant de dire: si on a un élément Q dans le centre de A, qui agit dans deux représentations pi_1 et pi_2 par multiplication par q_1 et q_2 avec q_1 différent de q_2, alors les représentations pi_1 et pi_2 ne sont pas équivalentes.
c'est pourquoi je parlais de la construction GNS
comment cette construction selecte t elle une valeur propre de Q? l'auteur cite Moretti.
pour une valeur moyenne je vois.
La construction GNS appliquée à un état omega produit une représentation irréductible de l'algèbre A. Par le lemme de Schur, un élément Q dans le centre de A agit dans cette représentation par multiplication par un scalaire q. Différents états omega_1 et omega_2 produisent parfois des représentations irréductibles de A non-équivalentes, et une manière de le voir est de trouver un élément Q dans le centre de A, agissant par q_1 dans la représentation associée à omega_1, par q_2 dans la représentation associée à omega_2, avec q_1 différent de q_2.Envoyé par alovesupreme
pourrais tu me fournir un lien avec de tels q1 et q2? j'ai en tete des exemples en dimension infinie dans le livre de bogoliubov mais je cale sur la preuve.
Quand j'ai un état sur une c*algebre avec unité on peut en faire un espace de hilbert en passant au quotient. id 2id 3id etc commutent avec tous les opérateurs. GNS en favorise un?
j'ai pu lire sur amazon la page 681 et 682 du livre de moretti
en fait moretti s'interesse aux superselections qui sont attachées aux éléments du centre (commutant avec tous les éléments de l'algebre). le lemme de schur implique alors que l'on a pour chaque tel observable Q un nombre q tq Q = qId
si j'ai bien compris les éléments de l'espace de hilbert (tout comme les opérateurs) sont des classes d'équivalences et la classe de Q coincide avec celle q'un qId pour un q donné (correct?)
A propos du lemme de Schur, il est valable en dimension finie. et pourtant ici on n'a pas me semble t il une restriction sur
la dimension. est ce en rapport avec une propriété du centre?
Et bien non le lemme de schur peut etre généralisé en dimension infinie.
Theorem D.S (Schur's lemma). (a) Suppose that the representation T of the group G in the (complex)
Hilbert space 11. is self-adjoint in the sense that there exists for each 9 EGan element g' E G such
that T(g)*T(g') (in the case of a unitary representation, 9'
g-I). Then this representation is irreducible if and only if any bounded linear opemtor B commuting with all the opemtors of the
representation is a multiple of the identity operator.
(b) Let T(g) and 8(g) be two self-adjoint irreducible representations of Gin 11.1 and 11.2 respec-
tively. Then if A is a closed (linear) operator from 11.1 to 11.2 such that AT(g) S(g)A, then either
A 0, or there exists an inverse operator A-I and the representations T and 8 are equivalent. (This
infinite-dimensional generalization of the well-known Schur's lemma is easily derived from results of
the monograph [N2J; the first part of the theorem is proved in §17.6, and the second part is contained
in Corollary 1 of §21.2.)
We note that the condition that the Hilbert space of the representation be complex is essential.
The above version of Schur's lemma is invalid for real representations.
lu dans le livre de Bogoliubov.
