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Une application du lemme de Schur




  1. #1
    alovesupreme

    Une application du lemme de Schur

    Bonsoir

    pourriez vous regarder ce pdf ?
    je lis ceci page 7

    π_ ω (Q) commutes with all elements

    je ne vois pas pourquoi. Ca a peut etre a voir avec la construction GNS?

    je sais que ca ne fait pas envie comme ca de se plonger dans un truc ardu et de plus en anglais, mais bon on ne sait jamais.

    merci

    -----

    Dernière modification par alovesupreme ; 15/05/2019 à 22h16.

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  3. #2
    0577

    Re : une application du lemme de Schur

    Bonjour,

    le paragraphe en question est écrit d'une manière particulièrement confuse (y compris du point de vue typographique).

    Le fait qu'un opérateur commute avec tous les autres opérateurs ne peut pas être une application du lemme de Schur: c'est une hypothèse du lemme de Schur.

    Le lemme de Schur dit que si on a une algèbre A, un élément Q de A qui commute avec tous les éléments de A (i.e. dans le centre de A), et si pi est une représentation irréductible de A, alors pi(Q) est un multiple scalaire de l'identité (preuve: soit q une valeur propre de A, alors Ker(pi(Q)-qI) est un sous-espace non-nul de la représentation, qui est en fait une sous-représentation car Q est dans le centre de A, et donc égale à l'espace tout entier de la représentation par irréductibilité).

    Il me semble qu'il faut lire le paragraphe en question comme essayant de dire: si on a un élément Q dans le centre de A, qui agit dans deux représentations pi_1 et pi_2 par multiplication par q_1 et q_2 avec q_1 différent de q_2, alors les représentations pi_1 et pi_2 ne sont pas équivalentes.

  4. #3
    alovesupreme

    Re : Une application du lemme de Schur

    c'est pourquoi je parlais de la construction GNS
    comment cette construction selecte t elle une valeur propre de Q? l'auteur cite Moretti.


  5. #4
    alovesupreme

    Re : Une application du lemme de Schur

    pour une valeur moyenne je vois.

  6. #5
    0577

    Re : Une application du lemme de Schur

    Citation Envoyé par alovesupreme Voir le message
    c'est pourquoi je parlais de la construction GNS
    comment cette construction selecte t elle une valeur propre de Q? l'auteur cite Moretti.
    La construction GNS appliquée à un état omega produit une représentation irréductible de l'algèbre A. Par le lemme de Schur, un élément Q dans le centre de A agit dans cette représentation par multiplication par un scalaire q. Différents états omega_1 et omega_2 produisent parfois des représentations irréductibles de A non-équivalentes, et une manière de le voir est de trouver un élément Q dans le centre de A, agissant par q_1 dans la représentation associée à omega_1, par q_2 dans la représentation associée à omega_2, avec q_1 différent de q_2.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    alovesupreme

    Re : Une application du lemme de Schur

    pourrais tu me fournir un lien avec de tels q1 et q2? j'ai en tete des exemples en dimension infinie dans le livre de bogoliubov mais je cale sur la preuve.
    Dernière modification par alovesupreme ; 16/05/2019 à 12h23.

  9. #7
    alovesupreme

    Re : Une application du lemme de Schur

    Quand j'ai un état sur une c*algebre avec unité on peut en faire un espace de hilbert en passant au quotient. id 2id 3id etc commutent avec tous les opérateurs. GNS en favorise un?

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  11. #8
    alovesupreme

    Re : Une application du lemme de Schur

    j'ai pu lire sur amazon la page 681 et 682 du livre de moretti
    en fait moretti s'interesse aux superselections qui sont attachées aux éléments du centre (commutant avec tous les éléments de l'algebre). le lemme de schur implique alors que l'on a pour chaque tel observable Q un nombre q tq Q = qId
    si j'ai bien compris les éléments de l'espace de hilbert (tout comme les opérateurs) sont des classes d'équivalences et la classe de Q coincide avec celle q'un qId pour un q donné (correct?)
    Dernière modification par alovesupreme ; 16/05/2019 à 23h13.

  12. #9
    alovesupreme

    Re : Une application du lemme de Schur

    A propos du lemme de Schur, il est valable en dimension finie. et pourtant ici on n'a pas me semble t il une restriction sur
    la dimension. est ce en rapport avec une propriété du centre?

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