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Lemme de Schur



  1. #1
    invite54165721

    Lemme de Schur


    ------

    Bonjour

    J'ai trouvé ce texte sur le net:

    3.3 Schur’s Lemma
    Let G be a Lie algebra and ρ1 and ρ2 two representations of G.
    ρ1 : G → End(V1 )
    ρ2 : G → End(V2 )
    Let f : V1 → V2 be an intertwiner from V1 to V2 . ( recall (ρ2 (x) ◦ f ) = (f ◦ ρ1 (x)), ∀x ∈ G )
    Lemma: ker(f ) ⊆ V1 and im(f ) ⊆ V2 are both intertwiner subspaces.
    Proof: Given x ∈ G, let v1 ∈ ker(f ). We want to show that ρ1 (x)(v) ∈ ker(f ). We have
    f (ρ1 (x)(v1 )) = ρ2 (x)(f (v1 )) = 0
    Therefore ρ1 (x)(v1 ) ∈ ker(f).
    Let v2 ∈ im(f ). There exists v1 ∈ V1 such that f (v1 ) = v2 . We have
    ρ2 (x)(v2 ) = ρ2 (x)(f (v1 )) = f (ρ1 (x)(v1 )) ∈ im(f )
    Therefore ρ2 (x)(v2 ) ∈ img(f ).
    Theorem: Schur’s Lemma
    Let f : V1 → V2 be an intertwiner between irreducible representations, then f = 0 or f is bijective.
    • If f : V1 → V1 is an intertwiner of a complex irreducible representation on V1 , then f = λ · idV1 for
    some λ ∈ C.
    • If f1 , f2 : V1 → V2 are two intertwiners between complex and irreducible representations on V1 and
    V2 , then f1 = λ · f2 for some λ ∈ C.
    Proof:
    • ker(f ) is an invariant subspace of ρ1 on V1 since V1 is an irreducible representation. We have
    ker(f ) = {0} (in which case f in injective) or ker(f ) = V1 (in which case f = 0). im(f ) is invariant
    in V2 , from which we get im(f ) = V2 (in which case f is surjective) or img(f ) = {0} (in which case
    f = 0). In total, we have f = 0 or f is bijective.
    Il y est indiqué que G est une algèbre de Lie.
    J'aimerais savoir si ce qui est écrit est aussi vrai pour des représentations de groupes de Lie.
    En cherchant un peut j'ai trouvé les lemmes ou théorèmes de Schur pour des groupes finis.
    Ils sont vrais aussi au delà de ceux ci?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite76543456789
    Invité

    Re : Lemme de Schur

    Bonjour,
    Le lemme de schur classique est valable pour n'importe quelle paire de representations irreductibles du moment qu'elles sont de dimensions finie (donc pour etre clair, on ne peut entrelacer deux representations de dimension finie irreductibles non irreductibles non equivalentes, et si elles le sont alors l'espace des operateurs d'entrelacement est une droite) pour une groupe de Lie c'est vrai a fortiori, si le groupe est compact alors on peut meme s'affranchir de l'hupothese de finitude sur la dimension car celle ci est automatiquement verifiée (du moins pour des representations à valeur dans un corps algébriquement clos de carracteristique nulle).

  4. #3
    invite54165721

    Re : Lemme de Schur

    Merci pour la réponse MisPacMan

    Je suis content que vous soyez dans les parages car je vous sais amateure de physique.
    Je vais donc en profiter pour vous poser une question qui m'intrigue depuis quelques temps.

    Ca concerne les entrelaceurs dans les réseaux de spins (avec SU(2)
    Il y a un lien entre ces entrelaceurs (intertwiners) et les symboles 3j que je ne vois pas bien
    Regardez Rovelli à l'appendice A1 page 293 eq A.16
    A droite les alpha vont de -j à +j alors que à gauche ils vont de 0 à 1 (symbole de levi civita)
    j'aimerais comprendre comment établir cette équation. J'en suis à A13 que je pense avoir compris

    Merci pour l'effort demandé!
    Dernière modification par alovesupreme ; 15/01/2013 à 19h15.

  5. #4
    invite76543456789
    Invité

    Re : Lemme de Schur

    J'y jette un oeil des que je peux!! (i.e pas ce soir, j'ai des copies à corriger :-S)
    Et dans mon message precedent il y a un "non irreductibles" qui n'a rien à y faire (surtout qu'il vient apres un "irreductibles").

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite54165721

    Re : Lemme de Schur

    Il semble bien que l'explication soit ici pages 23 et 24
    Je me mets à sa lecture.
    Si tu as pigé le truc n'hésite pas à expliquer comment on l'applique pour les 2 exemples dans le 1er lien:
    (1/2 1/2 1) et (1 1 1)!!!

  8. #6
    invite76543456789
    Invité

    Re : Lemme de Schur

    Désolé de pas avoir repondu avant aujourd'hui.
    Bon pour me faire pardonner, je vais essayer de decrire en detail la situation (au moins pour le symbole (1/2, 1/2, 1) pour le reste je te laisse detailler les calculs).
    La premiere chose à faire c'est de determiner les representations (complexes) irreductibles de SU(2), comme celui ci, n'est rien d'autre que S³, il est connexe et simplement connexe, et donc la determination de ses representations irreductibles complexes de son algèbre de Lie nous les donne toutes par "intégration".
    En general on fait agir SU(2) sur l'espace des polynomes en deux variables, et la graduation naturelle nous donne les representations irreductibles, on note V(j), la representation de degrée 2j+1 (ou j est un demi entier) qui correspond a l'espace des polynomes de degre 2j.
    La representations V(0) est bien sur la représentation triviale, et de plus on note aussi que , c'est le sens du tenseur invariant epsilon introduit dans le papier de Rovelli, ca se remarque simplement par le fait que la representation sur le produit exterieur est donnée par le determinant de l'action naturelle sur C², i.e la multiplication par 1.
    Une petite remarque en passant, comme les V(k) sont toutes de dimensions differentes, leurs contragredientes sont aussi irreductibles (on est en dimension finie) et donc les V(k) sont auto-duales.
    Si l'on regarde maintenant la representation V(1/2)tenseur V(1/2), elle se décompose naturellement en Sym²(V(1/2)) somme directe avec , cette dernière est V(0) et la premier est V(1).
    PLus generalement les relations de clebsh-gordan disent que V(i) tenseur V(j) est somme des V(k) avec k qui verifient telles relations (et chaque V(k) n'apparait qu'une seule fois).
    Maintenant si V(k) est une sous representation de V(i) tenseur V(j) tu as un operateur d'entrelacement de V(k) dans V(i) tenseur V(j) d'image V(k) et par le lemme de schur, un tel operateur est défini de manière unique à un coeff multiplicatif pres. Cela correspond à se donner un operateur d'entrelacement de V(k) tenseur V(i) tenseur V(j) dans V(0) (qui je te rappelle est la repsentations triviales) cet operateur est noté (k,i,j), c'est la 3-symbol.
    Dans le cas V(1/2)\otimes V(1/2) tu as que des symboles nuls pour tout le monde sauf (1,1/2,1/2) et (0,1/2,1/2) (je sais plus quelle est la convention pour l'ordre), il ne te reste plus qu'a regarder sur quoi ils envoient une base.
    Pour (0, 1/2, 1/2 ) c'est simplement donné par la partie antisymétrique du tenseur et pour le 1, c'est sa partie symétrique.
    Avec le coefficient de normalisation choisi dans le papier tu obtiens l'expression qu'ils donnent (j'ai pas fait le calcul j'avoue, mais bon j'espere que j'ai clarifié ce qu'il se passe au niveau théorique).
    Dernière modification par invite76543456789 ; 22/01/2013 à 02h27.

  9. Publicité
  10. #7
    invite54165721

    Re : Lemme de Schur

    Merci pour cette réponse détaillée sur les produits tensoriels de représentations de SU(2).
    Je n'avais pas vu les epsilons comme représentation d'algebre extérieure.
    J'essaie de faire des allers et retours entre les réseaux de spins et leur equivalent dans la théories des représentations.
    Ici Baez page 12
    s'intéresse aux graphes 4-valents et il les écrit comme combinaisons linéaires de graphes trivalents couplés.
    A quoi associer cette égalité dans le langage des représentations entrelaceurs etc?

  11. #8
    invite76543456789
    Invité

    Re : Lemme de Schur

    C'est assez simple, l'idée c'est que les groupes auxquels tu t'interesses sont réductifs, c'est a dire que leurs representations sont semi simples. (en fait j'ai lu le papier en diagonale et je ne sais plus si le roups G est un groupe bien spécifique à la page 12, ou simplement "n'importe quel groupe", mais quand un physicien prend n'importe quel groupe il a en general un groupe de Lie compact en tete, bref ce qui est dit marche plus generalement pour les groupes reductifs).
    Si tu entrelaces deux representations, qui sont des produit tensoriels de representations irreductibles disons V1tenseur V2 dans E1 tenseur E2, alors toujours par notre petit lemme de Schur et par le fait que le groupe soit réductif (ou la representation E1 tenseur E2 semi simple) tu peux écrire E1tenseur E2 comme somme directe de F_j ou les F_j sont des representations irreductibles de ton groupes. Vu que tu as un opérateur d'entrelacement naturel de F_j dans E1 tenseur E_2 (namely l'inclusion) alors tu peux décomposer ton opérateur d'entrelacement en somme d'opérateurs d'entrelacements V1 tenseur V2 dans F_j, suivi de l'inclusion canonnique F_j dans E1 tenseur E_2, la composé de deux tels operateurs se traduit par la contactenation de de deux graphes trivalents (tu suis le graphe pour composer les operateurs) et il faut sommer sur toues les J_j et tous les operateurs d'entrelacement qui apparaissent quand tu ecris que ton opérateur initial est la somme d'operateurs "elementaires" de V1tenseur V2 dans F_j suivi de F_j->E1 tenseur E2.
    Est ce clair (c'est assez difficile d'expliquer ca sans parler en dessinant)?
    De manière tres simple ca correspond a ecrire la matrice de ton operateur comme une matrice diagonale par blocs et de dire que la matrice globale est la somme (au sens somme directe) de ces matrices blocs.

  12. #9
    invite54165721

    Re : Lemme de Schur

    Bonjour,

    Les choses se mettent bien en place en particulier grace au role que joue l'inclusion (et la projection)
    comme entrelaceur intermediaire dans le graphe 4valent.
    Ici l'article traitait du groupe SU(2).
    Je suppose que les coefficients dans la figure de la page 12 sont des coefficients de Clebsch Gordan.
    Je vais manipuler le tout.

    merci encore pour tous tes éclaircissements.

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