Calcul de la vitesse de chute d'une sphère avec résistance de l'air

[Vince451]

Bonjour,

Voici un problème que j'aimerais résoudre, mais je manque de notions et j'ai des doutes sur la marche à suivre.

Soit une sphère de masse m=2000 kg, de diamètre D=2,4 m et de vitesse initiale horizontale v=2,22 m/s, avec deux passagers à bord.
Cette sphère chute d'une falaise de 70 m dans la mer.

Je voudrais calculer :
1. la vitesse de la sphère à l'impact en tenant compte de la résistance de l'air.
2. la décélération subie par les passagers à l'impact, en tenant bien évidemment compte de la résistance de l'eau.

Commençons par le 1.
Si j'ai bien compris, il me faut résoudre l'équation différentielle m g = m dV/dt + 1/2 Cx S V²

Je n'ai pas bien compris exactement ce qu'était ce rapport dV/dt. Pourriez-vous m'éclairer ?
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Voici un problème que j'aimerais résoudre, mais je manque de notions

Quel est votre niveau en maths / physique ?

La notation indique la dérivée de la vitesse par rapport au temps.

[Vince451]

Pas énorme. Disons que j'aurais voulu faire S et que je n'ai pas pu parce que j'étais fâché avec les maths. J'ai donc besoin d'une bonne remise à niveau et ça m'intéresse énormément ! Je suis passionné par la physique et la résolution de problèmes de ce style

[f6bes]

Bjr à toi, Comment une boule peut avoir:
... vitesse initiale horizontale v=2,22 m/s,
alors
....qu'elle chute d'une falaise ? (vertical)
Bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[calculair]

bonjour,

pour l'equation de depart, elle n'est pas tout à fait exacte

la force d'attraction m g est réduite par a résistance de l'air

sur l'axe vertical tu auras m g - Cx d S V*V = m dV /dt

Pour l'axe horizontal -Cx d S U* U = m dU /dt avec U ( t ) = Vitesse initiale pour t =0


V est la vitesse verticale et U la vitesse horizontale

La vitesse totale est Vt = Racine ( V*V + U*U )


Il ne reste qu'a résoudre les 2 équations

[Vince451]

En fait, la boule est motorisée et dévale le terrain à 8 km/h jusqu'au bord de la falaise d'où elle tombe. J'imagine qu'il faut donc tenir compte de sa vitesse initiale dans le calcul.

[Vince451]

Ok merci. Il ne me reste donc plus qu'à calculer le Cx avec le nombre de Reynolds, mais du coup je suppose un Reynolds constant ou bien je ne prends que celui au moment de l'impact ?

Et pour ce qui est de la vitesse horizontale, tu me mets -Cx, mais pour une vitesse aussi faible, c'est la loi de Stokes qui s'applique, non ?

[calculair]

bonjour,

je ne sais pas si vous voulez mettre un passager dans votre sphère, alors il faut étudier ce document : http://perso.numericable.fr/gomars2/aero/cx_sphere.pdf

un calcul précis va demander sans doute un calcul pas à pas, car les coefficients dépendent de la vitesse.

Tout dépend de la precoision recherchée. Si c'est un simple exercice ont peut simplifier le calcul ......

[albanxiii]

Pas énorme. Disons que j'aurais voulu faire S et que je n'ai pas pu parce que j'étais fâché avec les maths. J'ai donc besoin d'une bonne remise à niveau et ça m'intéresse énormément ! Je suis passionné par la physique et la résolution de problèmes de ce style

Niveau seconde donc ?

[Vince451]

Niveau seconde et encore. Je ne sais pas exactement. Tout ce que je sais, c'est qu'en algèbre, je dois vraiment revoir même les identités remarquables et des choses de ce genre. Même me refaire quelques équations du premier et second degré, les fonctions, remettre tout ça en route. C'est pour mon plaisir, mais je voudrais vraiment me faire une bonne remise à niveau pour pouvoir ensuite faire des calculs un peu poussés comme le problème que j'ai exposé ici.

[Vince451]

En fait, je cherche à démontrer assez précisément le réalisme d'une scène de film, comme ça m'arrive souvent. Quand je vois un truc très suspect à l'écran, j'aime bien refaire les calculs pour montrer la possibilité ou l'impossibilité de la chose.

Ici, c'est la scène de Jurassic World Fallen Kingdom où le volcan entre en éruption et la fille et le gars trouvent refugent dans une gyrosphère, vont jusqu'au bout de la falaise, font une chute assez spectaculaire, atterrissent dans la flotte et survivent sans même être blessés.

J'ai fait quelques recherches et en estimant au plus près les dimensions, je suis arrivé à une gyrosphère de 2,46 ou 2,50 m de diamètre entièrement encapsulée dans du verre blindé à l'oxynitrure d'aluminium (cf. la description dans le premier Jurassic World), verre qui existe et qui pèse 83 kg/m². J'ai calculé la surface de la sphère, ça fait un poids de 1,6 tonne auxquels j'ai ajouté 140 kg de passagers habillés (les acteurs pèsent 67 kg chacun) et environ 350 kg de sièges, structure intérieure, moteur et batterie. J'ai arrondi à 2 tonnes mais si ça se trouve c'est un peu plus. Pas grave. Et sur un wiki, j'ai trouvé une vitesse de pointe de 5 mph, soit en gros 8 km/h ou 2,22 m/s.

Le plus dur reste l'estimation de la falaise. Je me suis basé sur les stégosaures qu'on voit au bord (4 m de haut) mais comme on ne voit pas l'horizon, je ne sais pas quelle est la perspective. Je sais que la scène a été tourné sur l'île d'Oahu à Hawaï mais je n'ai pas encore retrouvé la falaise en question. Je suis arrivé à 70 m, mais ça ne correspond pas au timing du montage qui donne 5 secondes de chute, contre 3 et des poussières pour 70 m.

Voilà, vous savez tout.

[calculair]

bonjour,

ton problème nécessite un niveau correct dans la resolution des équations différentielles.

Mais si tu veux tenir compte de l'evolution du Cx avec la vitesse, ton problème n'a plus de solution simple par resolution d'une équation. Il faut faire le calcul pas à pas en tenant compte des évolutions des paramètres comme en particulier le Cx.

Cela doit être possible avec un tableur Excel. Il faut peut être prendre un PAS de 0,1 s ou moins, C'est à voir en fonction de la precision souhaitée....

[Vince451]

Je suis en train de réviser ce qu'il faut en parallèle (dérivées, exponentielle, sinus et cosinus). Mais je pense qu'il me faudrait surtout un vrai cours.

[XK150]

Re ,

Comme déjà dit , on arrive à une équation différentielle du premier ordre , si on choisit une résistance simplifiée de type kv .

Maintenant , il y a plusieurs calculateurs , en ligne en anglais : ils montrent que la résistance de l'air est faible . On pouvait s'en douter à ces vitesses faibles .
En premier lieu , on peut déjà appliquer la chute libre verticale sans frottement : c'est déjà une bonne approche réaliste et ça , c'est du niveau seconde !

[Vince451]

Merci ! Effectivement, ça va simplifier la chose !

[Jaunin]

C'est juste une petite information pour la densité air eau :

https://www.mecaflux.com/ecoulements...e%20sphere.htm


https://www.rtl.fr/actu/insolite/vid...nce-7781601974

[Vince451]

Super, merci beaucoup !