Principe fondamental de la dynamique ?

[inviteb30da19c]

Bonjour à tous,

Dans un cours de dynamique, j'ai pu voir que le PFD était appliqué pour :

Résoudre des problèmes de 3 types :
1/ Systèmes à cinématique imposée :
Déterminer les inconnues de liaison ou les efforts extérieurs ;
2/ Systèmes à cinématique libre et actions mécaniques connues :
Donner la loi du mouvement sous forme d’équations différentielles ;
3/ Systèmes à inconnues mixtes (cinématique et actions mécaniques)

Le PFD nous donne 6 équations
Pour le cas 3, je comprends bien qu'on a 6 inconnues (3 résultantes au point considéré, plus 3 mouvements)
Donc j'imagine que dans ce cas, la résolution du PFD nous donne les valeurs de vitesses et d'efforts pour lesquelles le solide est en équilibre statique.
Et encore que pour un axe en rotation, Chaque vitesse induira un effort différent, donc il y a une infinité de solutions ?

Pour les cas 1 et 2, en revanche, nous n'avons que 3 inconnues (soit les vitesses, soit les efforts sont connus)
Si le nombre d'équations est supérieur au nombre d'inconnues, le problème n'est pas solvable il me semble.

A quoi sert le PFD dans ces cas ?


Merci.
Cordialement,
-----

[invitef29758b5]

Salut

Le PFD nous donne 6 équations

Le PFD donne 2 équations vectorielles : Résultante et moment
Soit 6 équations scalaires .

[inviteb30da19c]

Salut,

Tout à fait

[albanxiii]

Bonjour,

Pour les cas 1 et 2, en revanche, nous n'avons que 3 inconnues (soit les vitesses, soit les efforts sont connus)
Si le nombre d'équations est supérieur au nombre d'inconnues, le problème n'est pas solvable il me semble.

Vous êtes sur ?
Cela voudrait dire quoi physiquement ? Que les systèmes décrits dans vos 1/ et 2/ ne peuvent pas exister ?

(ps : dans les problèmes à un degré de liberté, on sait qu'on n'a pas besoin d'utiliser le PFD et qu'il fourni des équations inutiles ou redondantes. Une simple approche énergétique est bien plus efficace. Essayez de transposer aux 1/ et 2/).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb30da19c]

Bonjour,

J'ai peut être été un peu vite.
Ce n'est pas solvable à la main (si c'est faux, il y a des pdf sur internet provenant de fac et autres qui sont faux aussi, c'était écrit tel quel)

Mais du coup, je ne comprends pas qu'un système dont on connaît des composantes, donc qui devrait être plus simple, est finalement plus compliqué à résoudre ?

Je ne sais pas pour les systèmes à 1 degré de liberté, et je n'ai pas encore vu la méthode energetique..
Mais pour un solide avec plusieurs rotations, si on nous donne ces vitesses, il semble impossible de résoudre le système à la main ?

[inviteb30da19c]

Bonjour, je remontele sujet car je ne comprends pas comment l'utiliser (et pourquoi l'utiliser) dans les cas 1 et 2, quand les forces ou les vitesses sont connues.

Concernant la solvabilité des équations : ci-dessous un extrait de cours

Cas où le nombre d’équations est différent du nombre
d’inconnues : m différent de n et la matrice A n’est pas carrée.
m>n : il y a plus d’équations que d’inconnues.
Le système est dit sur-déterminé. En général, le système n’aura pas de
solutions. Pour le vérifier, soit on met en œuvre la méthode de Gauss,
ce qui précisera les impossibilités, soit on détermine le rang de AB et on
compare à celui de A.

[Resartus]

Bonjour,
Dans votre citation, on parle du problème mathématique général.
(au passage, le problème peut être soit impossible (rang supérieur), soit possible avec une seule solution (rang égal), soit avec une infinité de solutions (rang inférieur)

Pour les problèmes physiques statiques, on dit que le système est hyperstatique quand il y a plus de contraintes que de variables. (cela peut exister aussi en dynamique).Mais c'est parce qu'on a trop simplifié le problème ....
Par exemple, une chaise à 4 pieds vissés au sol est hyperstatique. S'il semble impossible de visser le 4ème, en forçant, on y arrive : cela veut dire qu'il aurait fallu compliquer et prendre en compte les déformations du matériau...

[inviteb30da19c]

Lors d'un problème hyperstatique, il manque une équation, on introduit bien la déformation du matériau.
En revanche, un système hypostatique est en mouvement.

Mon cas parle du PFD, et physiquement je ne comprends pas les cas et leur résolution finale.
==> pour un système donné, j'arrive bien aux 6 équations scalaires.
Mais selon les cas (forces / vitesses connues ou non) je ne vois pas comment résoudre le système.
Si on connaît les vitesses (par exemple) on a moins d'inconnues que d'équations je ne comprends pas ce que l'on sort du PFD.

[inviteb30da19c]

Personne pour fournir une petite explication ?

J'ai vu dans un cours de l'université de Lorraine :

Comme on l’a dit dans l’introduction, le principe fondamental de la dynamique sert à
répondre à la question : étant données les forces qui agissent sur un point matériel, quel
sera le mouvement de ce point ? C’est typiquement le type de problème que vous aurez à
résoudre.

Ce n'est pas exactement ce qui a été dit dans le 1er post, que l'on peut aussi avoir les forces et le mouvement inconnus.

[Resartus]

Bonjour,
AMHA, le texte que vous avez cité en premier est inutilement compliqué et oublie d'ailleurs des possibilités.

Tout ce qu'il y a à savoir, c'est que le PFD relie les accélérations aux forces via les masses : si on connait les unes, on connait les autres : pas encore d'équa diff là dedans. La distinction n'intervient qu'ensuite,

Quand la cinématique impose les déplacements, on dérive deux fois pour avoir les accélérations et on en déduit les forces à tout instant
Quand les forces à tout instant sont connues, on en déduit les accélérations, qu'on peut intégrer pour trouver les vitesses puis les déplacements, à condition de connaitre les conditions initiales (position et vitesse)
Dans le cas mixte du 3 de votre texte : on connait certaines forces et certains déplacements, et on trouve les déplacements des uns et les forces pour les autres

Mais il semble avoir oublié les cas les plus intéressants, où il y a corrélation entre forces et positions et/ou vitesses, et où on aura des équa diff plus ou moins faciles à résoudre (par exemple, si la force dépend de la position : pendule ou de la vitesse : trajectoires dans l'air, etc.)

[inviteb30da19c]

Merci Resartus c'est déjà plus clair.

Du coup, étant donné qu'on a toujours 6 équations scalaires (je voudrais pas me refaire tacler pour cette négligence linguistique) dans le cas d'un solide en rotation (rotule), si on connait les accélérations scalaires, on a bien 3 équations scalaires en trop non ?
On a bien 3 forces inconnues et aucun moment (rotule)

Le PFD donne donc :
F_x = m*a_x
F_y = m*a_y
F_Z = m*a_z

+

3 équations égales à 0 et fonction des mouvements.

A quoi servent ces 3 dernières équations "en trop pour définir les forces" ?

[invitef29758b5]

On a bien 3 forces inconnues et aucun moment (rotule)

Impossible .
Si tu as des forces , elle ont forcément un moment .
Même si ce moment peut être nul en certains points .
Dans le cas d' une liaison rotule , l' accélération est nulle , et donc (conséquence du PFD) la résultante des forces est nulle .

[inviteb30da19c]

Une force crée un moment en un point si la rotation est bloquée ..?

Je me suis mal expliqué :
Concrètement j'ai le cas d'une toupie liée au sol par une liaison rotule en O (voir image).
C'est un exercice corrigé.

Quelle que soit l'accélération au centre d'inertie G de la toupie, le torseur statique lui donne bien des moments nuls en O.
C'est pour ce cas là que le PFD donne 3 équations égales à 0 en fonction des mouvements (Somme des moments = Moment dynamique)
D'ailleurs la conclusion de l'ex corrigé :

Nous avons maintenant 6 équations scalaires avec 6 inconnues (les 3 composantes du vecteur s{0->3} qui modélise l'action du bâti (0) sur la toupie (3) et les 3 inconnues "mouvement" )
Il ne reste plus qu'à résoudre...

Donc ils ne connaissaient rien et on devrait pouvoir ressortir les 3 forces + les 3 mouvements
C'est un peu contraire à ce que tu as dit précédemment non ?

J'ai l'impression que chaque cours donne sa version et je vois pas laquelle est bonne

[Resartus]

Bonjour,
Il y a 3 forces inconnues (les trois composantes de la réaction du support) et trois mouvements inconnus (les rotations de la toupie).
Et comme l'indiquait dynamix, c'est simplement parce qu'on a choisi astucieusement de calculer les moments sur la rotule que la réaction du support n'apparait plus dans ces équations, ce qui sépare les variables et facilite la résolution. Mais elle est bien toujours présente.

D'ailleurs, une fois trouvés les 3 mouvements, on peut ensuite compliquer l'exercice : calculer les trois composantes de la force de réaction, et vérifier par exemple qu'elle reste bien dans le cone de frottement (car sinon la toupie pourrait glisser latéralement)

[invitef29758b5]

Une force crée un moment en un point si la rotation est bloquée ..?

Que la rotation soit bloquée ou pas ne change pas le moment des forces appliquées .

Quelle que soit l'accélération au centre d'inertie G de la toupie, le torseur statique lui donne bien des moments nuls en O.

Le moment du poids n' est nul en O
Il est nul le long d' une verticale passant par G

[inviteb30da19c]

Au temps pour moi j'ai encore été trop vite..

Oui le poids crée un moment en O.

Donc on a bien 6 équations 6 inconnues.
Si les mouvements sont donnés ?
Que se passe-t-il dans ce cas ?

Merci pour les réponses

[Resartus]

Bonjour,
La nature retombe toujours sur ses pieds!
Si,outre le point fixe, les mouvements de rotation de la toupie sont imposés, c'est forcément avec des systèmes qui les imposent (par exemple des moteurs sur la rotule, avec un mécanisme de cardans, pour que cela fonctionne).
Dans ce cas, des couples seraient requis de ces moteurs et ce serait cela les 3 nouvelles inconnues...

[inviteb30da19c]

Donc si je reprends votre précédent message

Tout ce qu'il y a à savoir, c'est que le PFD relie les accélérations aux forces via les masses : si on connait les unes, on connait les autres : pas encore d'équa diff là dedans. La distinction n'intervient qu'ensuite,

Quand la cinématique impose les déplacements, on dérive deux fois pour avoir les accélérations et on en déduit les forces à tout instant
Quand les forces à tout instant sont connues, on en déduit les accélérations, qu'on peut intégrer pour trouver les vitesses puis les déplacements, à condition de connaitre les conditions initiales (position et vitesse)
Dans le cas mixte du 3 de votre texte : on connait certaines forces et certains déplacements, et on trouve les déplacements des uns et les forces pour les autres

On nous donne les vitesses de rotation :

Dans ce cas, des couples seraient requis de ces moteurs et ce serait cela les 3 nouvelles inconnues..

on ne peut pas utiliser le PFD pour retrouver les efforts, sauf si on va chercher les caractéristiques du système créant les vitesses?

Ou (si je lis bien) vous parlez de soit déduire les accélérations soit les dériver selon le cas. Cela veut dire que les équations de moment sont redondantes dans ces cas là ?
Qu'on utilise seulement des 3 équations scalaires de la résultante ?

[Resartus]

Bonjour,
J'ai de plus en plus de mal à comprendre où vous voyez un problème.
Si on connait tous les mouvements, on peut trouver par le PFD les forces et les moments qui les ont produits. Donc les couples qui étaient inconnus au départ seront à calculer par le PFD, en effet. Je n'ai pas eu l'impression d'avoir écrit autre chose

[inviteb30da19c]

Vous avez écrit

Quand la cinématique impose les déplacements, on dérive deux fois pour avoir les accélérations et on en déduit les forces à tout instant

J'avais compris que dans ce cas, seules les forces agissant sur le système mis en mouvement étaient inconnues et qu'avec seulement 3 équations (Somme des forces = ma) on les retrouvait
D'ailleurs pour la toupie, les 3 équations de la résultante sont suffisantes pour déduire les forces (voir image ci dessous)
2019-06-12_15h47_59.png

Du coup les 3 équations du moment, qui ne contiennent plus aucune inconnue, est-elle en trop ?
moment.png

[mach3]

Pour info, il y a un éditeur d'équation si besoin :

https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html

A noter qu'il n'y a plus d’icône sur le bouton TEX dans la fenetre de rédaction avancée, mais il marche quand même (et sinon taper les balises à la main c'est pas trop difficile).

m@ch3

[invitef29758b5]

D'ailleurs pour la toupie, les 3 équations de la résultante sont suffisantes pour déduire les forces (voir image ci dessous)

Les forces , en fait , il n' y en a que deux
leur résultante est nulle et l' une (le poids) est connu .
Le PFD , dans ce cas , c' est très simple .

Du coup les 3 équations du moment, qui ne contiennent plus aucune inconnue, est-elle en trop ?

Les 3 angles sont connus ?

[inviteb30da19c]

Ok Mach3 je les réécrirai la prochaine fois.

Il n'y a qu'un angle variable, thêta.
Il faut le faire varier pour chercher quoi ?

Et on aurait donc toujours 3 équations (2 forces + thêta) pour 6 équations.

Je tourne en rond :/

[invitef29758b5]

Une force inconnue , donc 3 inconnues scalaires , dont 2 égales à zéro .

[inviteb30da19c]

Allez on va arrêter les frais
Merci et bonne journée

[Resartus]

Mais NON! les trois angles sont à trouver. La toupie tourne, et elle précesse. Et si l'angle theta varie les autres vitesses de rotation vont changer.
D'ailleurs vos équations montrent bien le mélange entre les trois...

Il n'y a qu'un angle variable, thêta.
:/

[inviteb30da19c]

Donc avec sa variation, les vitesses de rotation changent.
Justement si elles sont données, l'angle thêta doit aussi être donné (puisqu'il est valable que pour un ensemble de vitesses de rotations)
Donc 6 équations pour 2 inconnues ? la résultante verticale étant égale et opposée au poids (post #22)

[Resartus]

la résultante verticale étant égale et opposée au poids (post #22)

Faux également. Si le centre de gravité change de hauteur (avec theta), la réaction du sol aura une composante verticale différente de l'opposé du poids, à cause du terme en theta".
Et, pour anticiper une autre présupposition erronée, les composantes horizontales de la réaction du sol ne sont pas nulles, puisque le centre de gravité se déplace aussi horizontalement.
Tout ceci est visible dans les équations de votre corrigé.

[inviteb30da19c]

Faux également. Si le centre de gravité change de hauteur (avec theta), la réaction du sol aura une composante verticale différente de l'opposé du poids, à cause du terme en theta".
Et, pour anticiper une autre présupposition erronée, les composantes horizontales de la réaction du sol ne sont pas nulles, puisque le centre de gravité se déplace aussi horizontalement .

Hum?
Elle sera différente en fonction de thêta oui mais égale et opposée au poids, sinon ce n'est pas à l'équilibre non ?

[inviteb30da19c]

Oups valable en statique..
Donc oui, elle ne sera pas égale et opposée en dynamique

Donc 3 forces inconnues ?
(on connaît thêta et les vitesses de rotation)