Additivité des vitesses

[Scientist_75]

Bonjour,

J'ai un petit souci avec l'additivité des vitesses. En fait si on s'imagine deux objets A et B allant à 90% de c l'un à droite et l'autre à gauche on est d'accord que la distance les séparant évolue selon l'équation x = 1,8×c×t

Mais du point de vue de A, par exemple, on aurait B qui aurait la vitesse V = w+v/(1+w×v/c²) = 0.994×c mais du coup dans le référentiel A, si B se déplace à 0.994×c alors au bout d'un temps t ils seront distants de x = 0.994×c×t ?

Du coup la vitesse d'éloignement dépend du référentiel ? Ça semble bizarre, il y a forcément un truc que je ne prends pas en compte, si quelqu'un pouvait m'éclairer ça serait vraiment génial.
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[albanxiii]

Bonjour,

Du coup la vitesse d'éloignement dépend du référentiel ? Ça semble bizarre, il y a forcément un truc que je ne prends pas en compte

La distance entre les deux objets est mesurée dans quel référentiel ? Dans votre raisonnement, vous ne vous placez pas dans le même pour les deux cas.

[Scientist_75]

Admettons qu'on mesure la distance entre A et B dans le référentiel A. On trouve bien 0.994×c×t ?

[mach3]

Oui, la vitesse d'éloignement de deux objets, si on la comprend comme la différence de vitesse relative des deux objets par rapport à un référentiel, dépend bien du référentiel.
Un cas limite l'illustre très bien, celui où l'un des objets est de masse nulle et a donc une vitesse c par rapport à tout référentiel.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Scientist_75]

C'est un peu bizarre ? Parce que si on imagine que l'objet A s'arrête brusquement au bout d'un certain temps T après son départ du point O alors il mesurerait une distance de 0.994×c×T tandis qu'un observateur en O le verrait à 1.8×c×T ?

[phys4]

C'est un peu bizarre ? Parce que si on imagine que l'objet A s'arrête brusquement au bout d'un certain temps T après son départ du point O alors il mesurerait une distance de 0.994×c×T tandis qu'un observateur en O le verrait à 1.8×c×T ?

Attention, l'accélération ne conserve pas les distances, vous ne pouvez plus utiliser l'expression 0.994×c×T lors de l'arrêt.

[Scientist_75]

Ah d'accord, et comment on comprend cela avec des équations svp ?

[Nicophil]

Ben tu calcules avec tes équations et là tu as un résultat aberrant, donc tu comprends.

[Scientist_75]

Attention, l'accélération ne conserve pas les distances, vous ne pouvez plus utiliser l'expression 0.994×c×T lors de l'arrêt.

Ah d'accord, et comment on comprend cela avec des équations svp ?

[Nicophil]

Sais-tu comment A mesure sa distance à O ?

[Scientist_75]

Non, c'est la question que je me pose. N'hésitez pas avec les équations, je saurais me débrouiller pour les comprendre.

Du coup, comment A mesure sa distance à B au fur et a mesure de son arrêt ?

[mach3]

La base, c'est la distance radar : durée d'aller-retour de la lumière mulitpliée par c/2. Très simple et évident quand l'observateur et l'objet sont immobiles l'un par rapport à l'autre, mais cela demande la mise en place de convention en cas de mouvement relatif.

Il y a trois évènements, l'émission par l'observateur A, la réflexion sur l'objet B et la réception par l'observateur C. La datation de A et C est triviale, on utilise simplement celle de l'observateur. Mais comment dater B qui est distant, sur un objet en mouvement donc non synchronisable avec l'observateur? La convention est de prendre la moyenne entre la date de A et de C. Ainsi, si A se produit à 12h33, C à 12h45, alors on décrète que que B se produit à 12h39 et à 108 millions de kilomètres. Autrement dit, qu'à 12h39, l'objet était à 108 millions de kilomètres.
Mais que mesure un 2e observateur en mouvement par rapport au premier, mais croisant le premier au moment de la mesure? Est-ce 108 millions de kilomètres?

je vous laisse y réfléchir un peu (un petit dessin devrait aider).

m@ch3

[Nicophil]

C'est la durée d'un aller-retour pour un photon, multipliée par c/2.
#c'est corrigé, merci, mach3, pour la modération#

[mach3]

Reprenons la situation géométriquement.

Si vous voulez représenter cela sur papier, quelques règles à suivre : les rayons lumineux sont des droites à 45° de la verticale, le temps se déroule de bas en haut, les tangentes en tous points des lignes d'univers ont toujours un angle avec la verticale inférieur ou égal à 45° afin de garantir que les vitesses ne dépassent pas celles de la lumière.

On a une première droite (D1) qui est la ligne d'univers du premier observateur (ne pas la tracer verticale, vous verrez pourquoi) et une seconde (D0) qui est la ligne d'univers de l'objet . On place un point A sur (D1), qui est l'évènement d'émission du signal. Un rayon lumineux part de A vers (D0) et la coupe en B, qui est l'évènement de réflexion du signal. Un autre rayon lumineux part de B vers (D1) et la coupe en C, qui est l'évènement de réception du signal. Enfin, le milieu du segment [AC] est appelé D. Les segments [BD] et [AC] sont orthogonaux.

Cette dernière affirmation peut sembler erronée : graphiquement, sur la feuille, [BD] et [AC] ne sont pas orthogonaux (sauf si (D1) a été tracée verticalement). Il ne s'agit pas d'orthogonalité selon Euclide, mais selon Minkowski. En effet, l'espace-temps obéit à la géométrie de Minkowski qui a une métrique un peu différente de celle d'Euclide. Elle va agir comme le produit scalaire chez Euclide, sauf que les carrés scalaires (produit scalaire d'un vecteur par lui même) de vecteurs non nuls peuvent être positifs, négatifs ou nuls (chez Euclide, le carré scalaire d'un vecteur non nul est strictement positif et seul le vecteur nul possède un carré scalaire nul). On a trois genre de vecteurs, le genre temps (angle avec la verticale <45° dans notre représentation), dont le carré scalaire est positif par convention*, le genre espace (angle avec l'horizontale <45° dans notre représentation), dont le carré scalaire est négatif par convention* et le genre nul (angle avec la verticale d'exactement 45° dans notre représentation), dont le carré scalaire est nul. La racine carré de la valeur absolue du carré scalaire d'un vecteur de genre temps correspond à une durée multipliée par la vitesse de la lumière. La racine carré de la valeur absolue du carré scalaire d'un vecteur de genre espace correspond à une longueur.

On a (je peux ressortir la démonstration si besoin) :
: AD est de genre temps et la durée entre les évènements A et D est L/c
: DC est de genre temps et la durée entre les évènements D et C est L/c
: DC est de genre temps et la durée entre les évènements D et C est 2L/c
: BD est de genre espace et la distance entre les évènement B et D est L
: les rayons lumineux sont de genre nul
: BD est orthogonal à AC et AD
(attention, "AD", "AC" ou "BD" sont des vecteurs, je ne mets pas les flèches dessus car c'est un peu lourd, le "." est le produit scalaire de la géométrie de Minkowski, "" est une notation pour , c'est le carré scalaire de AD ou le produit scalaire de AD par lui même)

En particulier, on note que :

On a bien une cohérence entre le genre nul des rayons (), l'égalité entre la distance entre B et D et la durée entre A et D fois c (), ainsi que l'orthogonalité entre AD et DB ().

Si l'observateur répète la mesure plusieurs fois de suite (pour chaque mesure on place des évènement , , et , n étant le numéro de la mesure), il obtient une série de distances, matérialisées par des vecteurs , associées aux heures indiquées par la montre de l'observateur à chaque évènement et donc à des durées entre les mesures, matérialisées par des vecteurs . La différence entre et , divisée par la durée entre et sera la vitesse moyenne de l'objet par rapport à l'observateur. Si on fait tendre l'écart entre chaque mesure vers 0, on obtient la vitesse instantanée de l'objet par rapport à l'observateur. Ce dernier cas est équivalent à émettre vers l'objet un rayonnement continu d'une certaine fréquence et de voir quelle est la fréquence du rayonnement quand il revient, c'est la mesure de vitesse par effet Doppler (radar routiers...). Cette vitesse est bornée en norme par c pour des objets matériels.

Ajoutons une nouvelle droite, (D2), non parallèle à la première, qui sera la ligne d'univers d'un deuxième observateur. Il y a deux choses intéressantes à regarder.
D'abord, considérer cet observateur comme un nouvel objet que le premier observateur va étudier : position en fonction de son temps par mesures de distances radar, vitesse par mesures de distances radar successives ou par Doppler. Il pourra même étudier la distance qui sépare ce 2e observateur de l'objet en fonction de son temps et donc la vitesse d'éloignement ou de rapprochement de l'objet et du 2e observateur (bornée par 2c pour deux objets matériels).
Ensuite considérer les mesures que va faire ce deuxième observateur concernant les positions de l'objet et du premier observateur en fonction du temps et de sa vitesse. Je développerais ce point plus tard, surement accompagné d'un schéma, mais pour résumer, les vitesses relatives et les vitesses d'éloignement qu'il va trouver ne concorderont pas avec celles que trouve le premier observateur, et cela pour deux raisons, l'une découlant de l'autre : l'horloge du 2e observateur n'est pas synchronisée (et n'est pas synchronisable) avec celle du 1er observateur (cela ne peut être le cas que si leurs lignes d'univers sont parallèles) ce qui fait que ses mesures de distances ne peuvent pas être cohérentes avec celle du 1er observateur.

m@ch3

*la convention opposée peut-être utilisée, ça ne change pas les résultats pourvu qu'on ne change pas de convention en cours de route

[Scientist_75]

La base, c'est la distance radar : durée d'aller-retour de la lumière mulitpliée par c/2. Très simple et évident quand l'observateur et l'objet sont immobiles l'un par rapport à l'autre, mais cela demande la mise en place de convention en cas de mouvement relatif.

Il y a trois évènements, l'émission par l'observateur A, la réflexion sur l'objet B et la réception par l'observateur C. La datation de A et C est triviale, on utilise simplement celle de l'observateur. Mais comment dater B qui est distant, sur un objet en mouvement donc non synchronisable avec l'observateur? La convention est de prendre la moyenne entre la date de A et de C. Ainsi, si A se produit à 12h33, C à 12h45, alors on décrète que que B se produit à 12h39 et à 108 millions de kilomètres. Autrement dit, qu'à 12h39, l'objet était à 108 millions de kilomètres.
Mais que mesure un 2e observateur en mouvement par rapport au premier, mais croisant le premier au moment de la mesure? Est-ce 108 millions de kilomètres?

je vous laisse y réfléchir un peu (un petit dessin devrait aider).

m@ch3

Un observateur en mouvement à vitesse V : il verrait L' = L×(1-V²/c²)^1/2 ? Mais je comprends pas trop le rapport avec la non conservation des distances par l'accélération en RR ?

Edit : désolé je viens de voir votre nouveau message

[mach3]

Un observateur en mouvement à vitesse V : il verrait L' = L×(1-V²/c²)^1/2 ? Mais je comprends pas trop le rapport avec la non conservation des distances par l'accélération en RR ?

Le problème est qu'à partir du moment où il y a accélération, il faut ajouter des conventions supplémentaires pour qu'une mesure de distance veuille dire quelque chose. Le procédure décrite dans mon post précédent requière implicitement que l'observateur soit en mouvement rectiligne uniforme au moins entre les évènements A et C, sinon le point D n'est plus sur la ligne d'univers de l'observateur, et la durée qu'il mesure entre A et C est plus courte que la durée correspondante au vecteur AC (la durée que l'observateur mesure n'est plus la distance BD divisée par c/2). Par ailleurs, supposons que le mouvement soit rectiligne uniforme, que des mesures de distances soit faites, puis qu'une brève accélération modifie le mouvement, qui sera ensuite à nouveau rectiligne uniforme mais différent, et que d'autres mesures de distances soit faites, elles pourront être très différentes des premières.

m@ch3

[Scientist_75]

Le problème est qu'à partir du moment où il y a accélération, il faut ajouter des conventions supplémentaires pour qu'une mesure de distance veuille dire quelque chose. Le procédure décrite dans mon post précédent requière implicitement que l'observateur soit en mouvement rectiligne uniforme au moins entre les évènements A et C, sinon le point D n'est plus sur la ligne d'univers de l'observateur, et la durée qu'il mesure entre A et C est plus courte que la durée correspondante au vecteur AC (la durée que l'observateur mesure n'est plus la distance BD divisée par c/2). Par ailleurs, supposons que le mouvement soit rectiligne uniforme, que des mesures de distances soit faites, puis qu'une brève accélération modifie le mouvement, qui sera ensuite à nouveau rectiligne uniforme mais différent, et que d'autres mesures de distances soit faites, elles pourront être très différentes des premières.

m@ch3

Merci bien pour votre réponse, je vous avoue que votre message précédent dépasse un peu mes capacités. Je viens de finir ma L2 et je n'ai étudié qu'une partie de la RR et la théorie des Quanta.

Alors du coup, pour un observateur dans un référentiel galiléen (R) en mouvement rectiligne uniforme (de vitesse V << c), nous sommes bien d'accord qu'il n'est absolument pas approprié d'utiliser la formule de composition des vitesses relativistes pour calculer la vitesse d'éloignement de deux photons de même direction, prenant des sens diamétralement opposés ? Ainsi dans (R) la vitesse d'éloignement serait donc de 2c ? Sans que cela ne contredise quoi que ce soit, puisque de mémoire une distance peut effectivement s'étendre à des vitesses supraluminique ?

[mach3]

Le seul problème est sur le terme "vitesse d'éloignement" qui ne semble pas être correct pour désigner la variation de la distance entre deux objets mobiles au cours du temps dans un référentiel donné. Je ne retrouve pas le terme correct et j'ai même un doute sur le fait qu'il existe à présent.
Toujours est-il que cette vitesse d'éloignement est relative à un référentiel (elle change si on change de référentiel, sauf dans certains cas particuliers) et qu'elle s'obtient par simple différence des vecteurs vitesse (eux aussi relatifs à un référentiel). Si on change de référentiel, il faut appliquer la transformation de Lorentz. Dans les cas simples à une dimension spatiale, on applique la composition des vitesses à chaque vitesse puis on fait la différence entre les nouvelles vitesses pour obtenir la nouvelle vitesse d'éloignement.

m@ch3

[Matmat]

...nous sommes bien d'accord qu'il n'est absolument pas approprié d'utiliser la formule de composition des vitesses relativistes pour calculer la vitesse d'éloignement de deux photons de même direction, prenant des sens diamétralement opposés ? Ainsi dans (R) la vitesse d'éloignement serait donc de 2c ? Sans que cela ne contredise quoi que ce soit, puisque de mémoire une distance peut effectivement s'étendre à des vitesses supraluminique ?

En tout cas il faut tenir compte que dans la loi de composition des vitesses v (et V) sont exprimés dans un référentiel différent de w .
Si tu exprimes v et w dans le même référentiel, il n'y a pas à appliquer la loi de composition des vitesses, et tu n'as fait que calculer une somme de vitesses de deux objets (à quoi ce calcul pourrait il servir ?)

[mach3]

(à quoi ce calcul pourrait il servir ?)

par exemple cela peut-être la vitesse à laquelle un objet grandit ou rétrécit, c'est-à-dire la dérivée temporelle de sa taille, donc la différence entre les vitesses de ses extrémités par rapport à un même référentiel.

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

Le seul problème est sur le terme "vitesse d'éloignement" qui ne semble pas être correct pour désigner la variation de la distance entre deux objets mobiles au cours du temps dans un référentiel donné. Je ne retrouve pas le terme correct et j'ai même un doute sur le fait qu'il existe à présent.

Vitesse d'approche

Rarement utilisé en relativité, en tout cas pas sans ronds de jambes, car on risque toujours de la confondre avec la vitesse relative.

[mach3]

Vitesse d'approche

je n'ai pas trouvé de site français avec cette acception pour "vitesse d'approche" (c'est un terme d'avionique, d'ascensoriste aussi, et c'est aussi le nom d'un objet magique dans un jeu...) à part une video de la khan academy sur la vitesse d'approche de deux véhicules, par contre en anglais il y a "velocity of approach" qui signifie bien une différence entre deux vitesses relatives à un même référentiel (l'objet magique s'appelle "approach velocity", et le terme d'avionique est "approach speed", pas trouver le terme d'ascensoriste lol). Un cas, assez rare, où le langage français manque de nuance par rapport à l'anglais qui différencie "speed" et "velocity". "vélocité" est parfois utilisé pour désigner le vecteur vitesse comme "velocity" en anglais, mais l'usage est marginal.

m@ch3