Inertie d'un quart de cylindre

[inviteb27c271b]

Bonjour,

Je voudrais savoir comment calculer le moment d'inertie d'un quart de cercle sur son axe de révolution (axe de révolution du cylindre original).

Je voulais utiliser la formule : I = M x d²

Où I est la valeur de l'inertie, M est la masse du solide, d est la distance entre le barycentre du solide et l'axe où le moment d'inertie s'applique.

J'ai trouvé la formule de la position du centre de gravité avec le théorème de guldin. Formule (4R)/(3pi)

Mais quand je compare la valeur du moment d'inertie avec un logiciel de CAO, ma valeur n'est pas correct.

Merci d'avance
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[Opabinia]

Bonjour,

Tu éviterais sans doute beaucoup de complications en partant d'un cylindre entier ...

[Resartus]

Bonjour,
Votre formule est fausse. C'est I=I0+Md² c'est à dire qu'à partir de l'inertie au barycentre I0 on peut trouver l'inertie sur un axe autre à distance d

Vous parlez de cercle, mais je suppose que vous vouliez écrire disque?

Dans votre exercice, c'est plutôt à l'envers qu'on a envie d'utiliser la formule, car on ne peut pas trouver facilement I0 et par contre I se trouve très facilement, puisque c'est la même formule que pour un disque (l'inertie est le quart de celle du disque plein, mais la masse aussi)

[inviteb27c271b]

@Opabania :

C'est tout fait vrai mais l'exercice porte sur un quart de cylindre.

Serait t-il possible de calculer l'inertie de deux demi-cylindre et de les soustraire à un entier et obtenir un demi-cylindre?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Rebonjour,
Avez-vous vu comment se calcule l'intégrale pour calculer l'inertie d'un disque? Si oui, vous devriez vous apercevoir que c'est exactement la même chose pour un demi cylindre, ou un quart, ou pour n'importe quelle portion : c'est juste que l'intégration sur l'angle se fait entre 0 et un angle plus petit que 2pi...

[inviteb27c271b]

@resartus

Je voulais Cylindre (comme dans le titre) et non cercle.

Si je comprends bien je n'ai besoin que de faire 1/4 du moment d'inertie du cylindre ?

Pour la formulemoment d'inertie du cylindre entier, j'ai :
I=(1/2)Mr²
Donc il faudrait alors faire (1/4)(1/2)Mr²

Où r est le rayon du cylindre

[Resartus]

Non, parce que la masse est elle aussi divisée par 4, comme je l'ai déjà écrit plus haut

[inviteb27c271b]

Dans ce cas le moment que je recherche :

I= (1/4)((1/2)(1/4M)r²)

Oui j'ai vu l'intégration mais je ne l'as maîtrise pas, c'est pour cela que j'ai essayé de trouver une alternative.

Pour l'intégration il faudrait faire une triple intégrale de la formule : pi/2*(masse volumique)*(hauteur)*r³
Intégrer en fonction de r
Integration de 0 à r du cylindre

[gts2]

I est le quart du moment d'inertie d'un cylindre avec M masse du cylindre qui est quatre fois la masse m du quart de cylindre M=4m. Donc I=...

Mais il est encore plus simple de partir de la remarque #5 de Resartus qui fait remarquer que les calculs sont identiques aux bornes près. Donc I/M est toujours le même.

[inviteb27c271b]

@gts2

Donc I=(1/4)((1/2)(1/4*M)R²)

Mais la valeur sur ma CAO ne correspond toujours pas

[gts2]

I=(1/4)((1/2)(1/4*M)R²)

Non si M est la masse du cylindre et alors I=(1/4)(1/2 MR²), la masse m du quart de cylindre est m=M/4 qui reporté dans I donne I=1/2 mR^2

[harmoniciste]

Euh...
Une mince couche cylindrique de hauteur h d'épaisseur dr située à une distance r du centre a pour inertie: dm. r²
Or dm a pour masse 2π.r. e.ρ. dr et l'inertie de cette couche vaut donc : 2π.r³. h.ρ.dr
En intégrant de 0 à R, l'inertie du cylindre sera : 2π.h.ρ.R⁴/4
Pour 1/4 de cylindre, chaque couche a une circonférence 4 fois plus faible et l'inertie du 1/4 de cylindre vaut 2π.h.ρ.R⁴/16
Or la masse M du cylindre complet vaut 2π.h.ρ.R²
Par conséquent l'inertie du 1/4 de cylindre vaut M. R²/16

[gts2]

Or la masse M du cylindre complet vaut 2π.h.ρ.R²

Plutôt M=ρ.π.R².h.

Par conséquent l'inertie du 1/4 de cylindre vaut M. R²/16

Au facteur 2 près oui avec M masse du cylindre et non du quart de cylindre.

[inviteb27c271b]

Pour la formule 2.pi.h.(masse volumique).R²

Le 2 pi est l'angle de révolution du cylindre non?

[gts2]

Le 2 pi est l'angle de révolution du cylindre non?

Oui mais on calcule une surface qui vaut bien pi R^2.

[harmoniciste]

Plutôt M=ρ.π.R².h.

Oups ! En effet.

[Opabinia]

Rebonjour,

Opabania: Tu éviterais sans doute beaucoup de complications en partant d'un cylindre entier ...

lilbat: C'est tout fait vrai mais l'exercice porte sur un quart de cylindre.

Le cylindre entier, de masse (M°) et de moment d'inertie (I° = (1/2)M°R²), résulte de la réunion sans superposition de ses quatre quarts, séparés par deux plans perpendiculaires se coupant selon l'axe de symétrie.

Chaque quart présente donc la même masse (m = M°/4) et le même moment d'inertie par rapport à l'axe précédent (I = I°/4); d'où la réponse.

Resartus a d'ailleurs évoqué le cas général de la partition d'un cylindre en un nombre quelconque de secteurs identiques.

Avez-vous vu comment se calcule l'intégrale pour calculer l'inertie d'un disque? Si oui, vous devriez vous apercevoir que c'est exactement la même chose pour un demi cylindre, ou un quart, ou pour n'importe quelle portion : c'est juste que l'intégration sur l'angle se fait entre 0 et un angle plus petit que 2pi...