Einstein V/S Newton

[increa]

Bonjour,
toujours dans la poursuite de mon étude comparative des deux théories de Newton et Einstein dans la fusion de deux trous noirs, je me suis posé la question suivante:
Soit deux masses ponctuelles de 1kg, seules dans l'univers, distantes d'1m et qui sont lancées perpendiculairement à leur alignement en sens opposé, de manière à ce que les deux masses se retrouvent aux mêmes endroits au bout de 151 heures 3 minutes et 39,8 secondes selon Newton.
Question:
1/ peut on avoir l'équation horaire de la trajectoire des masses avec Einstein?
2/ Au bout de combien de temps les deux théories du mouvement se trouvent elles en opposition de phase?
Le calcul de l'équation horaire de ce mouvement avec la relation d'Einstein m'interesse particulièrement.
Cordialement
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[gts2]

Vous êtes sûr du 8 de votre 39,8 secondes ?

[increa]

Vous êtes sûr du 8 de votre 39,8 secondes ?

disons que le 8, c'est la valeur calculée centrée sur l'interval d'incertitude de la constante Gravitationnelle...

[gts2]

OK, autant donner la valeur littérale, cela sera plus lisible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[increa]

OK, autant donner la valeur littérale, cela sera plus lisible.

ok, la valeur littérale de la période de rotation est:


en seconde

[mach3]

Le problème est qu'à moins d'avoir un supercalculateur sous la main (et le programme approprié), ou de trouver une publication qui décrirait précisément ce cas, il n'est pas possible de répondre pour le cas RG.

Le problème à deux corps n'a pas de solution analytique en RG.

m@ch3

[increa]

Le problème est qu'à moins d'avoir un supercalculateur sous la main (et le programme approprié), ou de trouver une publication qui décrirait précisément ce cas, il n'est pas possible de répondre pour le cas RG.

Le problème à deux corps n'a pas de solution analytique en RG.

m@ch3

pourtant il y a depuis longtemps des calculs fait sur la rotation de deux trous noirs tournant l'un autour de l'autre et de leurs fréquences de rotation...ça doit être un peu la même chose que mon problème à deux corps non?
c'est quoi le code de calcul?

[Garion]

Soit deux masses ponctuelles de 1kg, seules dans l'univers, distantes d'1m et qui sont lancées perpendiculairement à leur alignement en sens opposé, de manière à ce que les deux masses se retrouvent aux mêmes endroits au bout de 151 heures 3 minutes et 39,8 secondes selon Newton.

il y a un truc que je ne comprend pas, je ne suis pas expert en gravitation, mais vu la situation initiale et en prenant en compte uniquement Newton, les deux ne devraient-elles pas tourner l'une autour de l'autre indéfiniment ?
Pourquoi devrait-elles se rencontrer au bout d'un moment ?

[increa]

Bonjour, effectivement la vitesse a été choisie pour que les deux masses tournent indéfiniment l'une par rapport à l'autre, ou encore indéfiniment autour du barycentre des deux masses. il n'empêche que qu'au bout d'une période T les deux masses repassent sur leurs positions initiales...

[coussin]

pourtant il y a depuis longtemps des calculs fait sur la rotation de deux trous noirs tournant l'un autour de l'autre et de leurs fréquences de rotation...ça doit être un peu la même chose que mon problème à deux corps non?
c'est quoi le code de calcul?

Pourquoi voulez-vous utiliser un code de RG pour des masses de 1 kg ?

[ThM55]

Il est possible de calculer tout cela "presque" analytiquement, par une méthode d'approximation dite "post-newtonienne", valable dans un certain régime (certainement pas celui de la fusion de deux trous noirs, pour laquelle il faut implémenter des méthodes numériques très élaborées). Mais il faut savoir que la formulation de ces calculs est extraordinairement difficile. Récemment est sorti le livre "Gravity, Newtonian, Post-newtonian, relativistic" par Eric Poisson et Cliffor Will. C'est un merveilleux livre, que je recommande chaudement car il développe les deux versants de la théorie dans un contexte astrophysique. Il donne la réponse à votre question et à d'autres, plus difficiles par exemple le mouvement de corps compacts en rotation ou celui de fluides. Le problème des 2 corps est traité dans le chapitre 10. Il est malheureusement impossible de décrire cela dans des posts sur Futura. Personne n'a le temps d'écrire un traité sur le sujet gratuitement.

Cependant dans tous les cours d'introduction à la relativité générale on trouve une description de la méthode de perturbation pour calculer par exemple la perturbation séculaire sur le déplacement du périhélie des planètes. Cela donne déjà une idée du type d'équations qu'on doit résoudre dans le cas limite où l'un des corps est beaucoup plus massif que l'autre. Voici un cours de relativité général assez concis, celui de Sean Carroll:

https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019

L'équation des géodésiques dans l'espace de Schwarzschild est donnée au chapitre 7, équations (7.47) et (7.48).

[coussin]

Bah oui, c'est pas trivial... Thibault Damour a eu la médaille d'or du CNRS pour son "code"... Demandez-lui
C'était le sens de mon message précédent : c'est tellement compliqué et complètement inutile pour des masses de 1 kg...

[ThM55]

Si vraiment vous voulez utiliser du code C/C++ ou Mathematica pour faire ce genre de calcul, sachez que déjà pour commencer le codage des conditions initiales est toute une histoire. Voici une autre référence : "Numerical Relativity; Solving Einstein's Equations on the Computer" par Thomas Baumgarte et Stuart Shapiro. Ce livre consacre tout un chapitre à la création des conditions initiales. C'est que c'est une théorie de champ, la condition initiale comporte non seulement la position et la vitesse des masses mais aussi la configuration du champ qui est compatible.

Pour le code, on trouve un "toolkit": https://bhptoolkit.org/toolkit.html . Je ne veux pas vous décourager mais ce n'est certainement pas pour les débutants; il faut déjà une sacrée expertise dans ce domaine pour avoir l'espoir d'en tirer quelque chose. Je dirais que c'est plutôt réservé à des chercheurs expérimentés avec un doctorat ou en voie d'en obtenir un.

[coussin]

Puisque vous êtes intéressé par les différences entre Newton et Einstein, je suis pratiquement sûr que vous pourrez trouver sur le net les différentes trajectoires de Mercure calculées dans les deux cas ; puisque c'est un événement fondateur de la RG...

[coussin]

Pour votre exemple précis, la différence sera à la louche de l'ordre de vos masses comparées à quelques masses solaires (masses typiques des trous noirs) donc de l'ordre de 1e-30. Numériquement, vous n'arriverez pas à atteindre ce niveau, loin de là...
Oubliez.

[increa]

Pourquoi voulez-vous utiliser un code de RG pour des masses de 1 kg ?

Bonjour,
il est évident que l'étude du problème de la rotation de deux masses ponctuelles égales l'une autours de l'autre doit au final mettre en évidence un décalage entre les deux théories de la mécanique . Mais c'est aussi le plus simple problème que doit traiter la théorie d'Einstein.

[increa]

Puisque vous êtes intéressé par les différences entre Newton et Einstein, je suis pratiquement sûr que vous pourrez trouver sur le net les différentes trajectoires de Mercure calculées dans les deux cas ; puisque c'est un événement fondateur de la RG...

Bonne idée mais jusqu'à présent je n'ai pas trouvé d'explication à mon niveau

[increa]

Il est possible de calculer tout cela "presque" analytiquement, par une méthode d'approximation dite "post-newtonienne", valable dans un certain régime (certainement pas celui de la fusion de deux trous noirs, pour laquelle il faut implémenter des méthodes numériques très élaborées). Mais il faut savoir que la formulation de ces calculs est extraordinairement difficile. Récemment est sorti le livre "Gravity, Newtonian, Post-newtonian, relativistic" par Eric Poisson et Cliffor Will. C'est un merveilleux livre, que je recommande chaudement car il développe les deux versants de la théorie dans un contexte astrophysique. Il donne la réponse à votre question et à d'autres, plus difficiles par exemple le mouvement de corps compacts en rotation ou celui de fluides. Le problème des 2 corps est traité dans le chapitre 10. Il est malheureusement impossible de décrire cela dans des posts sur Futura. Personne n'a le temps d'écrire un traité sur le sujet gratuitement.

Cependant dans tous les cours d'introduction à la relativité générale on trouve une description de la méthode de perturbation pour calculer par exemple la perturbation séculaire sur le déplacement du périhélie des planètes. Cela donne déjà une idée du type d'équations qu'on doit résoudre dans le cas limite où l'un des corps est beaucoup plus massif que l'autre. Voici un cours de relativité général assez concis, celui de Sean Carroll:

https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019

L'équation des géodésiques dans l'espace de Schwarzschild est donnée au chapitre 7, équations (7.47) et (7.48).

merci pour votre réponse mais l'équation des géodésiques de Schwarzschild n'est elle pas réservée aux trajectoires des phénomènes lumineux autour d'un corp massif unique?

[pm42]

Bonjour,
il est évident que l'étude du problème de la rotation de deux masses ponctuelles égales l'une autours de l'autre doit au final mettre en évidence un décalage entre les deux théories de la mécanique .

Il est surtout évident que cette différence n'apparait que lorsque l'on sort du domaine de validité de la gravitation newtonienne qui permet quand même beaucoup de choses.
Et comme cela a déjà été dit plusieurs fois, 2 masses de 1kg ne vont pas du tout permettre de le mettre en évidence.

[increa]

Il est surtout évident que cette différence n'apparait que lorsque l'on sort du domaine de validité de la gravitation newtonienne qui permet quand même beaucoup de choses.
Et comme cela a déjà été dit plusieurs fois, 2 masses de 1kg ne vont pas du tout permettre de le mettre en évidence.

c'est bizarre d'habitude on arrive toujours à mettre en évidence un décalage entre deux points de vue par un calcul théorique… il est incontestable que si il y a un décalage aussi faible soit il entre les deux points de vue, ils finiront au bout d'un moment s'ils traitent d'un mouvement de rotation par être en opposition de phase… je ne vois aucune erreur de logique à vouloir, si les deux théories sont également prédictives , déterminer le moment où partant d'une même situation, les deux théories vont diverger en mouvements en opposition de phase.

[increa]

il me semble même qu'on peut déjà le faire avec la relativité restreinte…
alors, pourquoi pas avec la relativité générale?

[albanxiii]

Bonne idée mais jusqu'à présent je n'ai pas trouvé d'explication à mon niveau

Il est peut-être temps de vous mettre à niveau pour pousser la compréhension plus loin dans ce cas. A vous de voir si l'investissement (en temps surtout) en vaut la peine.

[pm42]

il me semble même qu'on peut déjà le faire avec la relativité restreinte…
alors, pourquoi pas avec la relativité générale?

Les explications ont été données par plusieurs personnes, simples et précises.
Peut-être que lire les réponses à vos questions vous aiderait à comprendre ?

[pm42]

Je vais préciser en répétant ce qui a déjà été dit :
- faire les calculs en RG est très, très compliqué, largement trop pour la plupart d'entre nous. Et on est obligé de les faire numériquement.
Il n'y a pas de formule qui permette de dire "ah, on verra la différence dans 1 million d'années".

- dans le cas que vous donnez, la différence sera de toute manière inférieure à la précision que l'on peut espérer atteindre et tellement basse qu'elle ne serait même pas constatable physiquement.

[coussin]

Encore une fois, restons sur des trucs que l'on connaît : l'avance du périhélie de Mercure dû aux effets de la RG est de 43 secondes d'arc par siècle. Vous demandez au bout de combien de temps les prévisions de Newton et Einstein sont en "opposition de phase", je peux interpréter ça comme "au bout de combien de temps le périhélie a dérivé de 180 degrés" Si je ne me suis pas planté, ça se produira au bout d'environ 65 millions d'années.
Finalement, je le répète une énième fois, si on a des échelles de temps de 65 millions d'années dans le cas de masses solaires (et Mercure), on aura des échelles de temps bien bien bien supérieures à l'âge de l'Univers pour des masses de 1 kg...

[Deedee81]

Salut,

Signalons aussi qu' il y a divers effets perturbateurs. D'ailleurs ce 43 secondes d'arc c'est après avoir soustrait l'avance du périhélie due à Venus et la Terre !!!!!
Et ces perturbations introduisent aussi des effets parasites difficiles à calculer et à prévoir et même des instabilités (le système solaire a un comportement chaotique à l'échelle de quelques milliards d'années).

Moralité, sur de trèèèèèès longues périodes on ne pourrait distinguer des effets relativistes très faibles d'effets classiques car ce serait en fait totalement noyé dans les perturbations.

Ca peut rester, bien sûr, un simple exercice intellectuel... ça reste intéressant

Increa, si tu veux une explication très accessible pour ton niveau, je ne peux que te conseiller le livre (pas chers) de relativité générale de Edgard Elbaz.
Ce n'est certainement pas le meilleur en générale pour la RG, par contre les explications ont l'avantage d'être fort simples et les calculs pour l'avance du périhélie sont particulièrement simples (et il donne aussi les résultats calculés et vérifiés pour Vénus et la Terre dont on oublie parfois que eux aussi subissent le phénomène !)

[ThM55]

merci pour votre réponse mais l'équation des géodésiques de Schwarzschild n'est elle pas réservée aux trajectoires des phénomènes lumineux autour d'un corp massif unique?

Lumineux? Non! Mercure n'est pas un photon, c'est une planète massive.

Dans ma réponse il y a deux parties: le problème des deux corps de masse comparable, qu'on peut dans certaines limites traiter par une approximation post-newtonienne (si j'ai bien compris cela n'est pas de votre niveau, corrigez si je me trompe).

Et la deuxième partie concerne effectivement le cas où l'un des corps peut être considéré comme un centre fixe du champ de gravitation. Dans ce cas le corps qu'on étudie (Mercure par exemple) est assimilé à un corps d'épreuve qui suit une géodésique et on peut calculer la déviation de son périhélie par rapport à la situation newtonienne.

[Deedee81]

Salut,

Précisons qu'il y a des géodésiques (et des trajectoires si ce n'est pas en chute libre) pour objets massifs tout comme il y en a pour objets sans masse.
C'est la même chose pour la relativité restreinte (trajectoires dans ou sur le cône de lumière).

Les géodésiques ne sont pas réservées aux photons

[Mailou75]

[HORS CHARTE]

Bonjour,

Perso je trouve qu'il y a un problème avec cette "avance du périphérie". Une simple rotation régulière du grand axe de l'ellipse s'accompagne d'une modification du petit axe. Voir à gauche https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post5778265 : en pointillé on voit une véritable ellipse, bien sur ce n'est pas celle de Mercure c'est théorique… Je suppose que vu la faible valeur de l'angle alpha dans le cas réel de Mercure, alors une modification du petit axe doit être difficile à mesurer, pourtant elle devrait exister...

A droite on voit comment une ellipse peut avoir une avance du périhélie sans être modifiée. La formule est donnée dans le message précédent mais je n'ai aucune théorie physique pour appuyer ce résultat (snif). Cependant, si la précision des mesures le permettait et qu'il n'y avait effectivement aucune modification du petit axe alors la théorie de l'avance du périhélie serait nécessairement fausse !

[ThM55]

Aïe! Il faut encore une fois avoir les ordres de grandeur en tête. L'effet relativiste est minime. On parle pour Mercure de 43 secondes d'arc par siècle. Essayez de dessiner un angle de 43 secondes d'arc et réfléchissez à ce que représente un tel mouvement par siècle, plus de 400 périodes de Mercure. 43 secondes d'arc, c'est presque une minute. Une minute d'arc c'est un soixantième de degré. Sur un cercle d'1 mètre de rayon (il vous faut déjà un grand compas), cette minute donne un arc de cercle de moins d'un tiers de millimètre, même pas l'épaisseur du trait de crayon! C'est vraiment très petit, rien à voir avec les dessins auxquels vous faites référence.

La méthode de perturbation employée pour mesurer les effets plus importants de Jupiter et des autres planètes est celle des orbites osculatrices: on suppose que ce sont des ellipses et on calcule quel est l'effet moyen de l'attraction de ces planètes sur les paramètres orbitaux de ce qui reste avec une excellente précision des ellipses. Quand on soustrait cela de ce qui est observé (admirez au passage la précision des observations astrométriques), il reste précisément 43 secondes par siècle. Einstein a raconté que quand il avait calculé cela, il était euphorique pendant une semaine. On le serait à moins.