La fameuse formule d'Einstein.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,
Comment Einstein a-t-il démontré mathématiquement que : ?
Merci d'avance.
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Vous pensez que vous êtes le premier à poser cette question sur le forum ?
Bin raté, c'est non => faites une recherche, le sujet a été traité ad nauseam.

[Anonyme007]

Oui. En ayant déjà fait une recherche sur le forum sur la manière de montrer mathématiquement cette formule. Je ne trouve pas grand chose dessus. Il n'y'a que des threads parlant vaguement de cette formule à titre applicatif, sans aborder d'où vient cette formule.

[penthode]

toi y'en a connaitre gogol ? pour commencer

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Oui. Voici où j'en suis : http://www.les-mathematiques.net/pho...php?44,1863832
Hélas, je ne peux pas aller plus loin que ça. Donc, j'ai toujours besoin d'aide.

[mach3]

Il n'y a pas Une démonstration. Tout dépend des axiomes qu'on utilise pour bâtir la théorie. On peut même considérer qu'il s'agit d'une définition de la masse.

Le concept central est le 4-vecteur énergie-impulsion d'une particule, une entité qui regroupe l'énergie E et le vecteur impulsion p de la particule, qui est tangent à la ligne d'univers de l'objet (donc colinéaire à un 4-vecteur regroupant "1" ou "c"* d'une part et le vecteur vitesse d'autre part). L'énergie est la projection de ce 4-vecteur sur l'axe temporel, l'impulsion est la projection de ce 4-vecteur sur l'espace orthogonal à l'axe temporel, donc énergie et impulsion dépendent de l'axe temporel choisi, c'est à dire du référentiel. La "norme" de ce 4-vecteur est définie comme étant la masse de la particule, et elle est invariante (ne dépend pas du référentiel). En unité géométrique on a :

(noter le signe "-", une "bizarrerie" de la structure géométrique qui modélise la relativité restreinte, l'espace-temps de Minkowski)

En unité SI on a :



Dans le référentiel où un objet est immobile, l'impulsion est nulle. Il reste :



soit E=mc²

Si on met l'objet en mouvement, la masse ne change pas, et énergie et impulsion doivent augmenter tous deux pour que leurs contributions se compensent. La variation d'énergie qui s'en suit correspond à l'énergie cinétique de l'objet.

m@ch3

*cela dépend si on est en géométrique ou en SI

[coussin]

La démonstration est très simple. On considère un corps qui rayonne. On fait le bilan d'énergie dans le référentiel du corps rayonnant et dans un référentiel en mouvement par rapport à ce corps.
Je suis sûr qu'on trouve tout un tas de vidéos là-dessus sur YouTube ou autre...

[Anonyme007]

Merci.

Le concept central est le 4-vecteur énergie-impulsion d'une particule, une entité qui regroupe l'énergie E et le vecteur impulsion p de la particule, qui est tangent à la ligne d'univers de l'objet (donc colinéaire à un 4-vecteur regroupant "1" ou "c"* d'une part et le vecteur vitesse d'autre part).

J'ai à peu près saisi tout le principe en général. Mais, il reste quelques détails à éclaircir.
Pourquoi est alors colinéaire à un 4-vecteur regroupant "1" ou "c"* d'une part et le vecteur vitesse d'autre part ? C'est pas évident ça.
Merci pour l'aide.

[mach3]

Pourquoi est alors colinéaire à un 4-vecteur regroupant "1" ou "c"* d'une part et le vecteur vitesse d'autre part ? C'est pas évident ça.

Il faut que dans le référentiel où la vitesse est nulle, l'impulsion soit nulle. C'est une très forte contrainte. D'un coté on aura un 4-vecteur tangent et de l'autre un 4-vecteur énergie-impulsion . Ils sont donc colinéaires car . La colinéarité est une propriété intrinsèque d'un couple de vecteurs, elle ne dépend pas du référentiel ou du système de coordonnées. Si on applique une transformation de Lorentz pour passer dans un référentiel où la vitesse est non nulle, les deux vont se transformer de la même manière : les coordonnées du 4-vecteur tangent vont devenir et les coordonnées de la 4-impulsion vont devenir . On a toujours la colinéarité entre la 4-impulsion et le 4-vecteur tangent.

m@ch3

[xxxxxxxx]

salut

faire confirmer :

en posant p=0 (p : quantité de mvt, i.e. masse immobile)

edit : une idiotie de plus de ma part je crois

[xxxxxxxx]

arf, je répondais à ce post de soliris qui a été splité :

https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6452242

[Anonyme007]

Il faut que dans le référentiel où la vitesse est nulle, l'impulsion soit nulle. C'est une très forte contrainte. D'un coté on aura un 4-vecteur tangent et de l'autre un 4-vecteur énergie-impulsion . Ils sont donc colinéaires car . La colinéarité est une propriété intrinsèque d'un couple de vecteurs, elle ne dépend pas du référentiel ou du système de coordonnées. Si on applique une transformation de Lorentz pour passer dans un référentiel où la vitesse est non nulle, les deux vont se transformer de la même manière : les coordonnées du 4-vecteur tangent vont devenir et les coordonnées de la 4-impulsion vont devenir . On a toujours la colinéarité entre la 4-impulsion et le 4-vecteur tangent.

m@ch3

Ce n'est pas facile à comprendre, mais merci quand meme.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Ici, https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/...vite/cours.pdf , page : , il y'a une autre manière de voir les choses.
On dit dans cette page que : , parce que : est tangente à la ligne d'univers, et que est l'inverse de la pente de la ligne d'univers.
Alors, pourquoi est l'inverse de la pente de la ligne d'univers, et pourquoi dans ce cas là : ?

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Merci à tous les autres aussi pour leurs réponses, que j'ai oublié de saluer. Je vous remercie.

[mach3]

Dans ce cours là on commence par définir p comme un quadrivecteur tangent à la ligne d'univers tel que p²=m²c². On donne ensuite les composante de p, qui sont E/c et . On écrit ensuite p² en fonction de ses composantes :
(1)


(De là directement on peut déduire E=mc² dans le cas où l'impulsion est nulle. Ce n'est pas une démonstration vu qu'on a donné les composante de p sans les justifier ni expliciter ce qu'elles signifiaient physiquement)

Mais on ne sait pas ce que sont E et à ce stade (même si la notation n'est pas innocente). On va déduire leurs formules compte-tenu du fait que p est tangent à la ligne d'univers et que sont carré est m²c².

Si on dessine la ligne d'univers de la particule dans un repère avec x sur l'axe horizontal et ct sur l'axe vertical, la pente de la ligne en un point est cdt/dx=c/v. Tout vecteur tangent à la ligne en ce point doit avoir cette même pente (par définition d'un vecteur tangent), c'est à dire que le rapport entre la composante temporelle est la composante spatiale doit être c/v. Pour éviter d'avoir à écrire des vecteurs au dénominateur on va par contre travailler avec l'inverse de la pente, qui doit être égale à si p est tangent à la ligne d'univers.
(2)
C'est une autre manière de dire que la 4-impulsion est colinéaire avec un vecteur tangent de composante (c,v).

En combinant (1) et (2) on démontre, si m est non nul, et , avec

Mais ça ne suffit pas à justifier que m, E et p sont masse, énergie et impulsion, pour l'instant on ne fait que "jouer" avec des étiquettes (on aurait très pu utiliser j, k et l à la place). Il faut relier cela à la physique et pour ce faire établir le lien avec des grandeurs de la physique classique, ce qui est fait au chapitre suivant, "Limite non relativiste". On regarde alors ce que deviennent les expression de E et p quand v <<c. On trouve alors que p est l'impulsion et que E est mc² à laquelle on ajoute l'énergie cinétique. Ce qui permet de justifier que m, E et p sont la masse, l'énergie et l'impulsion et donne donc le sens physique de E=mc².

m@ch3

[Anonyme007]

Merci @mach3.
Donc, le fait que : implique que les quadri-vecteurs : et sont colinéaires. C'est bien.
En retournant à ton poste, le premier que tu as posté. Donc, n'est vérifiée que si la particule est au repos, c'est ça ? Si la particule est en mouvement, on n'a pas : , mais : . C'est ça ?
Et comment on démontre que la norme du quadri - vecteur est la masse ( i.e : ) ? ça aussi, ce n'est pas évident.
Merci d'avance.

[mach3]

En retournant à ton poste, le premier que tu as posté. Donc, n'est vérifiée que si la particule est au repos, c'est ça ? Si la particule est en mouvement, on n'a pas : , mais : . C'est ça ?

oui, et si la masse n'est pas nulle, si on exprime et qu'on touille un peu on retombe sur

Et comment on démontre que la norme du quadri - vecteur est la masse ( i.e : ) ? ça aussi, ce n'est pas évident.

Dans la démarche du cours Faure mis en lien plus haut, on postule que la norme de p est mc sans dire ce dont il s'agit (mais l'utilisation de m n'est pas innocente), on aurait pu tout simplement écrire ||p|| sans plus de précision et le trimbaler jusqu'à la fin, tout comme on aurait pu garder à la place de E/c jusqu'à la fin. Même pour , on pourrait très bien considérer que c'est indéfini, mais comme on a un peu de liberté, on peut très bien poser que p est tel que sa projection sur l'espace est l'impulsion.
A la fin on se serait retrouvé avec :
et
Et en passant en régime non relativiste avec :
et

Et là, on identifie,
En régime non relativiste, , donc ||p||/c doit être la masse, et on reconnait ainsi en l'énergie cinétique. est donc une énergie, qu'on notera E, somme de l'énergie cinétique et d'un terme "nouveau", qui s'avère être .

C'est par le lien avec les concepts définis en physique classique qu'on établi le sens physique, en effet, la relativité restreinte doit donner les même résultats que la physique classique pour des vitesses faibles, ce qui fait qu'il existe un domaine où on peut traduire les concepts de l'une dans l'autre.

m@ch3

[Anonyme007]

oui, et si la masse n'est pas nulle, si on exprime et qu'on touille un peu on retombe sur

Merci @mach.
Je pense que je commence à comprendre ( Mais, juste un tout petit peu ).
D'après le cours de Faure, plus haut, page : , il est écrit que : sont vérifiés lorsque : .
Est ce que cela voudrait-il dire que : n'est vérifiée que si : ?
Si oui, que devient alors, la formule : lorsque : ?
Merci d'avance.

[azizovsky]

Merci @mach.
Je pense que je commence à comprendre ( Mais, juste un tout petit peu ).
D'après le cours de Faure, plus haut, page : , il est écrit que : sont vérifiés lorsque : .
Est ce que cela voudrait-il dire que : n'est vérifiée que si : ?
Si oui, que devient alors, la formule : lorsque : ?
Merci d'avance.

Une façon d'aborder les choses formellement pour simplifier :



on pose :



si on multiplie par une constante: (1)



qu'on peut réécrire :

[calculair]

En fait pour moi tout part de cette hypothèse ( en principe vérifiée )

La vitesse de la lumière dans le vide est « c » dans tous les référentiels et quelque soit sa direction.

D'ou E = M C**2 avec un peu de calcul mais pas trop compliqué

Cette hypothèse est lourde de sens et a bousculée toutes les lois de la physique classique.....

Bonjour à tous,
Comment Einstein a-t-il démontré mathématiquement que : ?
Merci d'avance.

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci à tous ceux qui ont porté un intérêt pour ce sujet.
- Quant est ce qu'on utilise : avec : et quant est ce qu'on utilise : ?
- Comment démontre-t-on les formules : avec : ?

Merci d'avance.

[azizovsky]

Bonjour à tous,
Comment Einstein a-t-il démontré mathématiquement que : ?
Merci d'avance.

Je vais te proposer ma façon de la démontrer (j'ai appris la RR dans un livre de TD donc, je considère que c'est un exircire que je vais résoudre sans cours :


on sait qu'un quadri-vecteur s'écrit

le produit scalaire Minkowskien :

on 'a

avec





or la quadri-force et quadri-déplacement sont orthogonaux:



qu'on peut simplifié :



si l'on pose





donc la quantité est une énérgie.

pour on'a

[mach3]

Du ménage a été fait, les messages de Soliris et les réponses à ces messages ont été transférés dans le fil https://forums.futura-sciences.com/p...orrection.html

Soliris, je vous prie d'arrêter de squatter les discussions des autres. Ca fait deux fois dans ce fil.

mach3, pour la modération

[mach3]

- Quant est ce qu'on utilise : avec :

Dans tous les cas sauf les particules sans masse

et quant est ce qu'on utilise : ?

c'est l'énergie d'une particule immobile. Attention cependant, dans certains cours (surtout les anciens, mais cela subsiste encore dans certains cours modernes), m n'est pas la masse au sens moderne (la norme du 4-vecteur impulsion, invariante), mais le concept obsolète de masse relativiste qui dans les notations utilisées ici s'écriraient . Dans ces cours utilisant ce concept obsolète, on écrit en lieu et place de , m n'ayant pas le même sens physique.

est la formule de l'impulsion en mécanique classique. Elle est une approximation de la formule si v est très petite devant c. Même avertissement que ci-dessus, dans les cours utilisant la notion obsolète de masse relativiste, on écrit en lieu et place de , m n'ayant pas le même sens physique.

s'utilise dans tous les cas. m est la notion moderne de masse, pas la masse relativiste obsolète.

- Comment démontre-t-on les formules : avec : ?

On part de
(1)
et
(2)
(voir message 15)
on réarrange (2)

on met au carré

On remplace dans (1)







CQFD pour E, qu'on peut remettre dans (2) :




CQDF pour p.

m@ch3

[mach3]

Du ménage a été fait, les messages de Soliris et les réponses à ces messages ont été transférés dans le fil https://forums.futura-sciences.com/p...orrection.html

Soliris, je vous prie d'arrêter de squatter les discussions des autres. Ca fait deux fois dans ce fil.

mach3, pour la modération

@soliris, c'est la 3e fois que je dois évacuer un de vos posts de ce fil. Stop au squat. Le prochain message de votre part dans ce fil partira directement à la poubelle

mach3, pour la modération

[Mailou75]

Redite mais avec d’autres mots, si ca peut aider...
https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6372623