Propagation d'une onde électromagnétique

[JulesMhz]

Bonjour à tous,

Je suis actuellement en reprise d'études et je suis des cours à distance, donc je n'ai pas de cours face à face avec un enseignant, juste un polycopié, et pour l'un de mes exercices j'ai du mal à comprendre ce que l'enseignant me demande, c'est pourquoi je fais appel à vos lumières.

L'énoncé me dit qu'on considère une onde électromagnétique plane définie par les équations du champ électrique de E :


Cette onde se propage dans un milieu de constante diélectrique ɛ= ɛo*ɛr*F/m et ɛo= 4*PI*10^-7H/m.

On me demande pour la première question de montrer que l'onde est plane, ainsi que sa polarisation.

Après la lecture de mon cours mon intuition me dit qu'elle est plane car elle ne dépend pas de z, mais uniquement x et y, et donc qu'elle est perpendiculaire à la direction de propagation. Cependant je ne sais pas si c'est ce qui m'est demandé ni si c'est suffisant, ou si je doit le démontrer avec des formules comme celles de Maxwell ou autre formalisme.

Je précise que dans mon cours il n'y a pas de "mise en application" avec es exemples qui puissent m'indiquer la démarche, et j'ai chercher sur Internet sans trouver d'exemple qui se rapproche de mon énoncé. Du coup si quelqu'un pouvait me mettre sur la bonne voie ce serait très sympa.

Je précise qu'en général le cours polycopié me suffit à faire mes exos mais j'avoue que pour ce chapitre je galère un peu...

Merci beaucoup par avance.
-----

[gts2]

Dans votre cours, il doit y avoir la définition d'une onde plane et c'est la seule chose dont vous ayez besoin.
"Il existe un plan pour lequel E=Cte" ; ici le plan (x+y)=Cte. Donc c'est bien une onde plane.
Par contre une onde em est transverse, donc à vérifier : ici Ey=-Ex, donc E est dans le plan.

"elle est plane car elle dépend uniquement de x et y" est insuffisant : Ex=E0 sin(x) exp(j(wt+k(x+y)), Ex=E0 exp(j(wt+k(y-x^2)) ne sont pas planes

[JulesMhz]

Bonjour Gts2,

Merci pour ta réponse, ça me parait clair, dans mon cours l'enseignant me parle bien de plan constant et que E est perpendiculaire à la direction de propagation.

Est-ce qu'il serait aussi correct de s'appuyer sur l'extrait de mon cours suivant :
"Ondes planes : la fonction représentant l'onde est de la forme est de la forme : f( t +/- r.u/v )"

Concernant la seconde partie de la question sur la polarisation de l'onde, je me doute que l'onde est rectiligne, mais pour le prouver j'ai un doute sur la démarche :
- Première possibilité, me référer à cette page qui me dit que si phy est nul alors la polarisation est rectiligne, ça c'est la méthode facile, mais je ne sais pas si c'est ce qui est attendu car je ne trouve pas l'équivalent dans mon cours
- Seconde possibilité, montrer que les vecteurs E et B sont perpendiculaires à la direction de propagation, et pour ce faire, je pense trouver B en utilisant la formule Rot(E)=-dB/dt... ensuite le cours me donne les étapes.

Quelle serait la bonne méthode ?

Encore merci.

[gts2]

Est-ce qu'il serait aussi correct de s'appuyer sur l'extrait de mon cours suivant :
"Ondes planes : la fonction représentant l'onde est de la forme est de la forme : f( t +/- r.u/v )"

Oui cela me parait correct : en prenant comme direction de propagation.

Concernant la seconde partie de la question sur la polarisation de l'onde, je me doute que l'onde est rectiligne, mais pour le prouver j'ai un doute sur la démarche :
- Première possibilité, me référer à cette page qui me dit que si phy est nul alors la polarisation est rectiligne, ça c'est la méthode facile, mais je ne sais pas si c'est ce qui est attendu car je ne trouve pas l'équivalent dans mon cours
- Seconde possibilité, montrer que les vecteurs E et B sont perpendiculaires à la direction de propagation, et pour ce faire, je pense trouver B en utilisant la formule Rot(E)=-dB/dt... ensuite le cours me donne les étapes.

Le plus simple est encore la définition : direction de E constante, ici à tout instant Ey=-Ex et Ez=0, donc ...
phi nul : OK
La seconde possibilité n'en est pas une : E et B sont toujours perpendiculaires à la direction de propagation

[A voir en vidéo sur Futura]

[JulesMhz]

Merci beaucoup Gts2, c'est très clair, je vais essayer de faire les questions suivantes par moi même.

E et B sont toujours perpendiculaires à la direction de propagation

Effectivement ça m'a échappé sur le moment.

[JulesMhz]

Bonjour,

Je reviens vers vous concernant cet exercice.

Plus loin on me demande la direction de propagation de l'onde, je m'embrouille un peu à force de lire et relire les mêmes choses. Est-il correct de dire que l'onde se propage dans le plan xOy faisant un angle de -PI/4 avec l'axe x ?

Par avance merci pour cette aide.

Julien.

[gts2]

Si vous prenez l'équation initiale, E=Cte donne x+y=Cte qui est bien un plan faisant un angle de -45° avec l'axe x. Mais cela c'est le plan d'onde. La direction de propagation est perpendiculaire à ce plan.

Le plus simple est de repartir de votre formule et d'identifier le -(x+y) avec , ce qui donne ... Ne pas oublier de normaliser pour obtenir , c'est l'origine du .

[JulesMhz]

re-Bonjour,

Merci pour votre réponse, donc si je comprends bien, l'onde se propage dans le plan xOy faisant un ange de 45° (et non pas -45) avec x ?

[gts2]

C'est bien cela, même si la formulation est un peu rapide : c'est la direction de propagation qui est à 45° de Ox.
L'onde se propage dans tout l'espace.

[JulesMhz]

Bonjour,

Désolé de venir encore relancer ce sujet, mais j'ai envie de bien faire et voudrais une confirmation sur un résultat.

Est-il correct de dire que mon onde a une fréquence de 10^10 Hz et une longueur d'onde de SQRT(2)/40 = 35.10^-3 m ?

Par avance merci.

[gts2]

fréquence OK
longueur d'onde, presque : le sqrt(2) provient de la normalisation du vecteur unitaire. Calculer avec une direction à 45° pour vous convaincre.

[JulesMhz]

re-Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Du coup la longueur d'onde c'est 1/40 je suppose. Est-ce que ça revient à dire qu'on a -40((sqrt(2)/2)x + (sqrt(2)/2)y) ?

[gts2]

Oui, c'est bien cela.

[JulesMhz]

Bonjour,

C'est encore moi...

Dans la suite de mon exercice je dois calculer le champ magnétique H, j'ai donc utiliser l'équation de Maxwell Rot(E)=-dB/dt. J'ai calculé Rot(E) qui me donne une expression uniquement sur Ez, puis j'en ai déduis Bz de cette expression sur Ez=-jwBz, ça me donne :
Bz = -E0 * (40/(10^10)) e^(j*2*PI(10^10t-40/sdrt(2)(x+y)))

Pour trouver H, je souhaite utiliser l'équation H=B/µ0, pour cela je doit exprimer B, est-ce qu'il est correct de dire que B = -E0 * (40/(10^10)) e^{(j*2*PI(10^10t-40/sdrt(2)(x+y)))}ez ? (je suis pas tout à fait sûr du ez)

Et ensuite dire que µ0 = 1/(c²*e0) ?

Par avance merci.

[gts2]

Vous vous compliquez la vie : vous avez montré que c'est une onde plane. Vous avez alors une relation entre E et B.
Le est correct le champ E est à -45° dans Oxy et la direction est à +45° dans ce même plan.

" µ0 = 1/(c²*e0) ?" toujours vrai avec c = vitesse de la lumière dans le vide.

"Ez=-jwBz" il n'y a pas des oublis de coeff. du côté du rotationnel ?

[JulesMhz]

Bonjour,

Désolé pour le temps de réponse je n'avais pas reçu le mail m'informant d'une réponde sur le forum.

Merci pour votre réponse car elle m'est très utile, effectivement en cherchant suite à votre réponse j'ai vu que dans le cas de l'onde plane on a E=cB (pour les modules), ce qui je suppose doit être la relation à utiliser, sauf que dans mon cas je dois prendre la vitesse de mon onde calculée précédemment et non pas la vitesse de la lumière.

Du coup j'ai essayé de l'appliquer à mon exercice, j'ai donc trouvé :

dEy/du - dEx/du = c dBz/du

=> Ey - Ex = c Bz
Bz = -(sqrt(2)/c)*E0*e^{(j*2*PI(10^10t-40/sdrt(2)(x+y)))}

donc B = -(sqrt(2)/c)*E0*e^{(j*2*PI(10^10t-40/sdrt(2)(x+y)))}ez

Suis-je sur la bonne piste ?

[gts2]

Vous êtes sur la bonne piste, mais vous vous compliquez la vie, vous redémontrez des propriétés des ondes planes : et votre rotationnel pose problème : et donc

[JulesMhz]

D'accord,

Mais du coup je vois pas ce que je dois calculer, soit dEy/dx - dEx/dy, ou dEy/du - dEx/du avec u l'expression que vous m'avez donné ?

Si c'est la deuxième je ne vois pas comment passer de l'un à l'autre en tenant compte de votre remarque sur le rotationnel...

[gts2]

Cela fait beaucoup de vecteurs, de composantes et de variables, mais allons-y avec votre champ électrique
(1)
(2)
(3 )

Pour (1) le viendra de la dérivée, multiplié par le avant le E0, cela fera 1/2 et comme Ex=-Ey on multipliera par 2 ce qui fera E0/c pour B
Pour (3) le viendra de (2), et ensuite idem.
Les deux donnent, heureusement le même résultat.

[JulesMhz]

Bonsoir,

En refaisant les calculs je trouve bien la même chose, j'ai juste -E0/c pour B, ce qui semble correct lorsque je calcule le vecteur de Poynting.

En tous cas mille merci, vous m'avez permis de mieux comprendre ce que je faisais, je suis pas encore au top mais la progression est notable

Maintenant il s'agit de pouvoir le refaire à l'examen, je vais donc encore m'entrainer.

Vous ne donnez pas des cours particuliers ?

[gts2]

Bon travail et bonne chance.