Trajectoire cylindrique d'une particule

[invite393ef67d]

Bonjour,
Je suis actuellemnt sur un excercice où il faut déterminer la trajectoire d'une particule en coordonnées cylindriques, sachant qu'elle a un mouvement de translation au long de l'axe z à une vitesse V, qu'elle a aussi un mouvement de rotation au long de l'axe z avec un rayon R et une vitesse angulaire w. Et à t=0 ses coordonnées cylindriques sont (R,θ0,z0). (Dans un repère orthonormé (0,i,j,k).
Tout ce que j'ai réussi à trouver c'est que les coordonnées cylindriques s'expriment avec OM=rcos(θ)i + rsin(θ)j+zk. Et que pour connaître une vitesse instatanée il faut dériver OM. Du coup, vu que l'on sait que la particule à une vitesse V au long de l'axe z, faut-il dériver partiellement OM en fonction de z et mettre que c'est égale à V? Et je n'ai aucune piste pour les autres informations.

Merci d'avance!
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[gts2]

Soit vous travaillez en cylindrique, soit en cartésiennes, autrement dit soit , soit .

Puisqu'on vous demande de travaillez en cylindrique, il faut prendre la première forme avec les coordonnées .

Il n'y a pas plus de renseignement sur la trajectoire ? Du type r=constante V=constante et omega=constante, sinon on ne peut rien faire.

Supposons que les trois grandeurs sont constantes, on obtient r=R, et pour les deux autres il faut appliquer la définition de omega et V puis intégrer.

On a z(t), , donc des fonctions d'une seule variable le temps, donc on a affaire à des dérivées ordinaires.

[Opabinia]

De l'équation vectorielle du mouvement: OM = Rcos(θ).i + Rsin(θ).j + z.k
assortie de la relation: θ = ωt
on peut déduire l'expression du vecteur vitesse:

v = dOM/dt = -Rωsin(θ).i + Rωcos(θ).j + z'.k

qui apparaît donnée par la somme de deux termes:
a) une composante orthoradiale V_r = -Rωsin(θ).i + Rωcos(θ).j
parallèle au plan (xOy), normale à l'axe (z'z) ainsi qu'au vecteur position (OM);
b) une composante axiale V_z = z'.k
normale à la précédente (V_r|V_z = 0) et colinéaire à (z'z);
soit: v = V_r + V_z .

Le calcul des normes ne présente pas de difficulté; on trouve:

V_r = Rω ; V_z = |z'| ; v² = V_r² + V_z² = R²ω² + z'² .

[invite393ef67d]

Non il n'y a aucune information de plus mais on va supposer qu'elles sont constantes. Merci pour votre réponse!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite393ef67d]

Merci beaucoup c'est clair!