Tir parabolique, hauteur maximale

[lilima741]

Bonjour, je bloque dans un exercice qui m'a l'air assez simple pourtant. J'ai essayé plusieurs méthodes et à chaque fois j'obtiens une réponse différentes
Voici l'enoncé : Un golfeur frappe sa balle avec un angle de 45◦. La trajectoire de la balle est parabolique (on néglige les frottements de l’air). La distance horizontale pacourue par la balle est 40m. Déterminer la hauteur maximale atteinte par la balle.



1ère méthode
Je sais que en x : MRU et en y : MRUA
J'utilise la formule xf = x0 + v0*t avec xf = 40m v0=1,5 m/s
Je trouve t = 26,66 s
La balle effectue la moitié de la trajectoire en la moitié du temps
donc j'utilise la formule y = y0 + v0*t + 1/2 * a*t² avec t = 13,33 s v0=1.5 m/s et a = -9.81 m/s²
J'obtiens y= -847 m (réponse absurde)

2ème méthode
Cette fois je cherche l'équation de la parabole à l'aide des racines et du point p = (1.5 ; 1.5)
Je trouve f(x) = (-2/77)*x² + (80/77)*x
En prenant x = 20 je trouve y = 10,38 m (réponse plus probable)

Et enfin ma 3ème méthode
Il s'agit d'utiliser la formule pour trouver la hauteur h = (v0²*sin²(45°))/2*g
Avec v0 = sqrt (1.5² +1.5²) je trouve h = 0,05m (là encore une réponse bizarre)

Donc voilà, je pense que ma faute vient de la vitesse initiale mais pourtant tout me semble logique.
C'est très frustrant car c'est un exercice assez simple mais je n'arrive pas à trouver la réponse
Je serais reconnaissante si vous m'aidez
Merci
-----

[mach3]

1ère méthode
Je sais que en x : MRU et en y : MRUA
J'utilise la formule xf = x0 + v0*t avec xf = 40m v0=1,5 m/s

d'où vous viens v0?

2ème méthode
Cette fois je cherche l'équation de la parabole à l'aide des racines et du point p = (1.5 ; 1.5)

En quoi le point p aurait une quelconque utilité (sauf à illustrer l'angle initial de 45° sur le schéma)

Et enfin ma 3ème méthode
Il s'agit d'utiliser la formule pour trouver la hauteur h = (v0²*sin²(45°))/2*g
Avec v0 = sqrt (1.5² +1.5²) je trouve h = 0,05m (là encore une réponse bizarre)

d'où vient le 1.5 ?

Ce problème est un exercice de mathématiques (et la méthode 2 est ce qui s'en rapproche le plus), la physique n'est d'aucune utilité ici, les vitesses ou les accélérations n'ont aucune importance : vous savez déjà que la trajectoire est une parabole et à quels endroit elle croise le sol, on ne vous demande que la hauteur maximale (si on vous avait demandé la date à laquelle cette hauteur est atteinte, il aurait fallu faire de la physique).
Donc, on sait que c'est une parabole, on connait ses racines, et on connait sa pente (via l'angle de 45°) au niveau d'une de ses racines, il n'y a plus qu'à touiller. L'équation sera de la forme A(x-x1)(x-x2), avec x1 et x2 les racines et A un coefficient à déterminer, en calculant la dérivée de cette équation.

m@ch3

[gts2]

Il y a un problème avec les données, on ne peut se donner à la fois la portée, l'angle et la vitesse : les trois sont liés :
D'ailleurs dans votre texte, il n'est nulle part mention de la vitesse, d'où sort ce 1,5 m/s ?

[EDIT] Avec un peu de retard ...

[lilima741]

Pourtant c'est un exercice qui vient d'un examen de physique c'est pour ça que j'ai d'abord essayé de le résoudre avec les équations de la cinématique.
J'ai cru que le 1.5 voulait dire la composante de la vitesse initiale en x et en y.
Je ne vois pas trop comment faire avec la pente de la tangente

En ce qui concerne le point p
D'abord j'ai écris l'equation sous forme a(x-x1)(x-x2)
Puis j'ai distribué ça donne : a(x²-40x)
Ensuite j'ai utilisé le point p pour trouver a, ça donne a = -2/77
Et enfin j'ai juste réecris l'équation sous forme ax²+bx+c
Comme je pensais la 2ème méthode me paraît bonne
Merci pour votre réponse

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Comme indiqué par @mach3, c'est la méthode 2 qui est presque la bonne. Pour avoir des calculs simples, prenez l'origine des axes au sommet de la parabole. Autre remarque tan(45)=1.

[mach3]

D'abord j'ai écris l'equation sous forme a(x-x1)(x-x2)
Puis j'ai distribué ça donne : a(x²-40x)

il faut prendre la dérivée de a(x²-40x), la dérivé en un point est la pente de la courbe en ce point, et la pente est la tangente de l'angle que fait la courbe avec l'axe des abscisses.
Il faut choisir la valeur de "a" de façon à ce que la pente soit la bonne en x=0.

Pourtant c'est un exercice qui vient d'un examen de physique c'est pour ça que j'ai d'abord essayé de le résoudre avec les équations de la cinématique.

C'est assurément un exercice qui peut être donné en examen de physique, mais ce n'est qu'un problème de maths. Peut-être à dessein, genre pour embrouiller l'étudiant, lui faire perdre du temps avec de la cinématique, et du coup donner un avantage aux quelques uns qui reconnaissent tout de suite qu'il s'agit d'un problème de maths. Après on ne peut pas savoir ce que le concepteur de l'exercice avait en tête.

m@ch3

[jacknicklaus]

et oubliez cette histoire de point P (1.5,1.5). Il ne sert à rien, et je ne vois vraiment pas pourquoi il a été ajouté sur le schéma.

[RomVi]

et oubliez cette histoire de point P (1.5,1.5). Il ne sert à rien, et je ne vois vraiment pas pourquoi il a été ajouté sur le schéma.

Il est là pour avoir 3 points, condition nécessaire pour trouver l'équation d'un polynôme du second degré.

[mach3]

Il est là pour avoir 3 points, condition nécessaire pour trouver l'équation d'un polynôme du second degré.

Pas besoin de 3e point, on a une pente. Ceci dit ce point materialise cette pente, mais approximativement. Soit on calcul avec 45° soit avec le point, mais du coup ce ne sera pas exactement le même résultat.

m@ch3

[Black Jack 2]

Bonjour,

Comme cela a été suggéré, la voie la plus directe est de partir de l'équation de la parabole trajectoire : f(x) = a*x² + b*x + c (origine du repère au point de tir)

Avec f(0) = 0 ; f(40) = 0 et par l'angle de tir (45°) : f'(0) = 1 (comprendre évidemment pourquoi)

Cela donne un système simple de 3 équations à 3 inconnues (a,b et c) ...

Le sommet de la parabole sera en x = 20 et donc ...

[gts2]

Je répète ma proposition : origine au sommet : y=ax^2, une équation à une inconnue.

[Black Jack 2]

Rebonjour,

Bien sûr, une seule inconnue.

Et avec une très grande proba que le débutant va se planter dans les grandes largeurs.
... en devant réfléchir à y(-20) = -h et en calculant la valeur de la dérivée en x = -20 et ...

Le raisonnement n'est pas (malheureusement) ce qui est privilégié dans l'enseignement actuel.

Si on prend la solution avec l'origine à l'endroit du tir, il faut certes 3 inconnues, qu'on trouve d'ailleurs sans le moindre problème ... et le graphique est représentatif de la manière normale de réflexion, c'est à dire avec l'observateur au lieu du lancer et qui regarde la hauteur max atteinte par la balle.

La solution à 1 inconnue (pour écrire l'éq de la parabole) demande de raisonner comme si l'observateur était au sommet de la parabole avec le lanceur en "sous-sol", c'est mathématiquement équivalent, mais risque bien de perturber un débutant.

Chacun son truc, pour moi, la méthode à 3 inconnues devrait moins paumer l'élève Lambda (même si je reconnais que c'est triste).

[Opabinia]

Bonjour, -

Pour dénombrer un troupeau de moutons, on peut compter les pattes, ajouter les oreilles et diviser par six.
On peut aussi compter les têtes, plus simplement.

Un golfeur frappe sa balle avec un angle de 45◦. La trajectoire de la balle est parabolique (on néglige les frottements de l’air). La distance horizontale parcourue par la balle est 40 m. Déterminer la hauteur maximale atteinte par la balle.

Dans le repère (xOy) centré sur la position initiale (M₀ ≡ O), le mouvement de chute libre vérifie la relation fondamentale de la dynamique:
m.a = m.g , qui se traduit très simplement par a = g ,
soit encore par projection dur les deux axes: x" = 0 et y" = -g .

Une première intégration des relations obtenues donne (en tenant compte de la valeur initiale de la vitesse):

x' = x'₀ = v₀Cos(φ) ,
y' = y'₀ - gt = v₀Sin(φ) - gt ;

une seconde intégration des nouveaux résultats (en tenant compte cette fois de la position initiale):

x = x₀ + v₀Cos(φ).t = v₀Cos(φ).t ,
y = y₀ + v₀Sin(φ).t - gt²/2 = v₀Sin(φ).t - gt²/2 .

.

L'élimination du temps: t = x/v₀Cos(φ)
conduit à l'équation cartésienne de la trajectoire:

y = x.Tan(φ) - gx²/(2v₀²Cos²(φ)) ,

ainsi qu'à la pente de toute tangente: p = (dy/dx) = Tan(φ) - gx/(v₀²Cos²(φ)) .

La portée (L) du tir vérifiant y = 0 pour x > 0 , il vient: x = 2v₀²Cos²(φ).Tan(φ)/g
d'où: L = (2v₀²/g)Sin(φ)Cos(φ) ;
sa hauteur maximale se caractérise par p = 0 , soit x = (v₀²/g)Sin(φ)Cos(φ) = L/2
et y = (L/2)(Tan(φ) - gL/(4v₀²Cos²(φ)) = LTan(φ)/4 = H .

[jacknicklaus]

le mouvement de chute libre vérifie la relation fondamentale de la dynamique:
m.a = m.g , qui se traduit très simplement par a = g.

Où voyez vous g dans l'énoncé ? Il est parfaitement clair en examinant les données fournies dans l'énoncé que l'accélération n'est pas le g "terrestre"

Pour moi, le point clé est dans les connaissances attendues du posteur.
Soit il est supposé maitriser le calcul des pentes d'une parabole, et alors on pose Y = a.x(x-40) et le "a" découle de la pente 1 en x = 0
Soit ce n'est pas le cas, on part aussi de Y = a.x(x-40), et on suppose que la parabole passe par (1.5,1.5), et on en déduit a.

[RomVi]

Pas besoin de 3e point, on a une pente. Ceci dit ce point materialise cette pente, mais approximativement. Soit on calcul avec 45° soit avec le point, mais du coup ce ne sera pas exactement le même résultat.

m@ch3

Tu sous entend que la question a été posée à une personne qui connait la notion de dérivée, ce qui n'est pas nécessairement le cas...

[mach3]

Tu sous entend que la question a été posée à une personne qui connait la notion de dérivée, ce qui n'est pas nécessairement le cas...

C'est pas faux en effet.

m@ch3

[Opabinia]

On peut court-circuiter les calculs et s'abstenir de toute considération dynamique dès lors que l'on admet la nature parabolique de la trajectoire; celle-ci admet alors (avec les mêmes conventions initiales) une équation de la forme: y = (4H/L²)x(L - x) .

Celle-ci présente à l'origine une pente initiale
p₀ = Lim_x-->0(y/x) = Lim_x-->0( (4H/L²)(L - x)) = 4H/L
qui n'est autre que le rapport Tan(φ), correspondant à l'orientation du tir;
d'où H = LTan(φ)/4 .

[Black Jack 2]

Rebonjour,

Comme beaucoup l'on déjà dit, il est inutile de passer par des relations de x(t) et y(t) (en laissant g et Vo en littéral puisque non connus) et puis d'éliminer t entre ces relations pour trouver l'équation de la parabole trajectoire ...
puisque l'énoncé fournit les caractéristiques de cette parabole.


La voie directe est de n'utiliser que les caractéristiques fournies sur la parabole.

Le choix du repère pour écrire l'équation modifie un peu le ratio entre la quantité de calculs et le raisonnement.

Je préfère (mais uniquement parce que je pense que c'est plus "parlant" pour un débutant ) prendre l'origine du repère au point de lancer.
**********

Avec f(x) = a*x² + b*x + c (origine du repère au point de tir)

Le système avec les 3 inconnues est :

f(0) = 0 ---> c = 0
f(40) = 0 ---> 1600a + 40b = 0
f'(0) = 1 --> b = 1

c'est quand même immédiat me semble-t-il pour trouver les valeurs des 3 inconnues (a, b et c)

Et le max est pour x = 20 et donc h = f(20) = ...
*************
On peut aussi trouver l'équation de la trajectoire comme indiqué par mach(3) : f(x) = a*(x-0)(x-40) = ...

suivi de la relation f'(0) = 1 qui permet de calculer a.

... Et le max est pour x = 20 et donc h = f(20) = ...
************
Les 2 méthodes sont aussi faciles et rapides l'une que l'autre.

[ansset]

Bonjour, -
Pour dénombrer un troupeau de moutons, on peut compter les pattes, ajouter les oreilles et diviser par six.
On peut aussi compter les têtes, plus simplement.

Je remarque pour ma part qu'on faire très compliqué pour un exercice très simple.
c'est l'approche "Shadock" ???
car le "plus simplement" est assez croustillant quand on lit le post.

[Opabinia]

car le "plus simplement" est assez croustillant quand on lit le post.

En effet, toute la partie dynamique devient hors sujet dès qu'on admet que la trajectoire est une parabole.

[Stan_94]

Bonjour,
est-ce moi qui ai la digestion difficile ou alors ai-je loupé un truc, mais une parabole de racine (0, 0) et (40, 0) avec une tangente en 0 à 45°, ça ne passe pas du tout par le point (1.5 , 1.5) ??? Et donc le dessin initial serait mal "interprété"...

[ansset]

Bonjour,
est-ce moi qui ai la digestion difficile ou alors ai-je loupé un truc, mais une parabole de racine (0, 0) et (40, 0) avec une tangente en 0 à 45°, ça ne passe pas du tout par le point (1.5 , 1.5) ??? Et donc le dessin initial serait mal "interprété"...

le dessin n'est pas juste mathématiquement , c'est la tangente en (0,0) qui passe par ce point.(*)
la courbe elle, passe juste en dessous.
en (1,5 ; 1,44375 )

(*)il aurait été plus judicieux de faire figurer cette tangente.

[Opabinia]

Où voyez vous g dans l'énoncé ? Il est parfaitement clair en examinant les données fournies dans l'énoncé que l'accélération n'est pas le g "terrestre"

Il n'est dit nulle part que le joueur de golf entame sa partie sur Mars ou sur Ultima Thulé. Il ne faut pas abuser des vidéos de SF.

[mach3]

Est-ce qu'il n'y a que moi qui pense ça, ou ce fil est un véritable foutoir où les réponses des autres sont globalement ignorés ? quel manque de respect pour le primo-posteur. J'invite à tous les participants (moi inclus) de ce jour à bien relire le fil depuis le début, et de juger de la pertinence de leur participation.

[ansset]

Il n'est dit nulle part que le joueur de golf entame sa partie sur Mars ou sur Ultima Thulé. Il ne faut pas abuser des vidéos de SF.

c'est même très différent de ça.
on peut avoir cette même parabole pour toute valeur de a. ( ça peut être g ou tout autre chose )
tout ne dépend que de la relation entre a et V0 (composantes égales des vitesses initiale horizontale et verticale ).

mess destiné au posteur initial.

[Dynamix]

Salut

En effet, toute la partie dynamique devient hors sujet dès qu'on admet que la trajectoire est une parabole.

Même si on admet pas , c" est marqué dans l'énoncé .

[gloster37]

Bonjour

une petite précision, cet exo est donné depuis des années, je le connais
avec une énoncé différent qui je pense explique l'embrouille à laquelle vous arrivez.

Dans l'énoncé que je connais, il n'est nullement question d'angle de frappe, d’ailleurs cet angle n'est pas précisé sur le schéma

il est simplement précisé que la balle passe par le point 1.5 _1.5 qui effectivement donne un angle de 45° sans aucun rapport avec la tangente de départ.

ce qui veut dire le point 1.5_1.5 appartient à la courbe

c'est purement mathématique y=ax²+bx+c

A++

[jacknicklaus]

Merci gloster37, nous avons donc le fin mot!

1ère méthode
Je sais que en x : MRU et en y : MRUA
J'utilise la formule xf = x0 + v0*t avec xf = 40m v0=1,5 m/s
Je trouve t = 26,66 s
La balle effectue la moitié de la trajectoire en la moitié du temps
donc j'utilise la formule y = y0 + v0*t + 1/2 * a*t² avec t = 13,33 s v0=1.5 m/s et a = -9.81 m/s²
J'obtiens y= -847 m (réponse absurde)

faux car l'accélération n'est pas le g "terrestre", et le v0 supposé n'est pas une donnée du problème.

2ème méthode
Cette fois je cherche l'équation de la parabole à l'aide des racines et du point p = (1.5 ; 1.5)
Je trouve f(x) = (-2/77)*x² + (80/77)*x
En prenant x = 20 je trouve y = 10,38 m (réponse plus probable)

correct

Et enfin ma 3ème méthode
Il s'agit d'utiliser la formule pour trouver la hauteur h = (v0²*sin²(45°))/2*g
Avec v0 = sqrt (1.5² +1.5²) je trouve h = 0,05m (là encore une réponse bizarre)

faux à nouveau : le g n'est pas le g "terrestre", et le v0 supposé n'est pas une donnée du problème.

[ansset]

Merci gloster37, nous avons donc le fin mot!

bof.
le libellé initial ( post #1 ) ne dit pas ça.
Il mentionne bien une tangente de 45° , ce qui ne colle pas avec un passage par le point (x0,x0).
( la tangente doit alors être légèrement supérieure ).
j'ajoute qu'on arrive à une équation de parabole pas très "jolie".

et même s'il a été posé auparavant avec un énoncé légèrement différent, rien ne prouve que ce soit exactement le même ici.

[lodeli]

Est-ce qu'il n'y a que moi qui pense ça, ou ce fil est un véritable foutoir où les réponses des autres sont globalement ignorés ? quel manque de respect pour le primo-posteur. J'invite à tous les participants (moi inclus) de ce jour à bien relire le fil depuis le début, et de juger de la pertinence de leur participation.

En effet, en voilà bien des réflexions étranges pour un problème basique autour d'une équation du second degré (niveau 2eme ou 1ere)