Loi d’ohm locale en présence de champ B

[Alex1504]

Bonjour à tous,
Je travaille en ce moment sur mon cours d'électromagnétisme et je trouve curieuse l’utilisation par mon professeur de la loi d’ohm locale: j=conductivité*E alors qu’on est en induction et donc avec un champ B non négligeable.
En effet il me semble que cette formule découle de
0=q(E+v^B)-kv où le 0 vient de l’ARQP.
Lorsque B=0 et que l’on remplace par les grandeurs volumiques il vient naturellement la loi d’ohm locale.
Mais si B est non nul on a clairement E et v qui ne sont pas de même direction et donc j et E non plus donc la loi d’ohm locale est fausse (il me semble même en regardant sur internet que ça s’appelle l’effet Hall)
Mais alors, est-ce une erreur de mon professeur d’écrire cette formule dans le cadre d’un cylindre métallique plein plongé dans un champ magnétique uniforme et variable?
Si oui, quelle est la «*bonne*» méthode pour déduire de la connaissance de B et de E la valeur de j?
Merci d’avance pour vos réponses
A bientôt.
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[gts2]

Il faudrait voir dans quel cadre ce calcul est fait, cela ressemble à un cours sur l'induction et dans ce cas l'étape suivante est d'intégrer parallèlement au fil. Le terme disparait alors.

Est-ce bien ce cadre ?

[Alex1504]

Par ailleurs la loi d’ohm U=RI se démontre aussi en partant de la loi d’ohm locale pourtant (il me semble) fausse avec B non nul. Or il est malgré tout naturel de l’utiliser lors de couplages par induction. Pourquoi est-ce raisonnable? (Désolé je n’avais pas encore vu ton message, j’y réponds tout de suite)

[gts2]

J'avais mal lu : "cylindre métallique plein" : il y a bien un terme magnétique qui va engendrer une mouvement radial des charges qui vont s'accumuler sur les bords (on retrouve l'effet Hall), charges qui vont créer un champ de Hall compensant la partie magnétique.
En régime permanent, kv=q(E+EH+v^B)=qE.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alex1504]

C’est effectivement un cours sur l’induction... si j’ai bien compris, j ne vaut pas conductivité*E mais le terme supplémentaire disparaît si on intègre E selon le fil pour trouver une tension(et que le fil est fixe dans le référentiel d’etude). Oui c’est vrai que ça marche. Mais je crois que c’est encore autre chose dans mon cours: on intégrait j.E pour trouver la puissance dissipée par effet joule et le terme en j.v^B est nul (produit mixte). Je suis juste étonné que mon professeur ne donne aucune mise en garde pour j= conductivité*E et qu’il écrive explicitement cette formule alors même qu’elle est fausse si non scalérisée le long du fil...
Merci

[Alex1504]

Et du coup U=RI est «*sauvée*»

[gts2]

Il y a bien un effet appelé magnétorésistance (voir par ex. Effet Hall magnetoresistance et en particulier les AN)

"on intègre E selon le fil pour trouver une tension (et que le fil est fixe dans le référentiel d’étude)." C'est cela et si le fil est mobile on trouve le terme , avec V vitesse du fil.

[gts2]

Dans le lien que vous ait fourni, il y a un problème, il faut une géométrie particulière (type Corbino) pour des magnétorésistances, pour un fil cylindrique jy=0 (et non pas Ey=0 qui est le champ de Hall) et donc la résistance ne change pas.

[Alex1504]

En fait il y a encore quelque chose qui m’échappe. Mon prof dit en ARQP dans le cadre du cylindre plongé dans un champ B variable avec E connu que j.E=j^2/conductivité (j le courant volumique induit dans le cylindre) ce qui est vrai. Puis il en déduit que j.E=conductivité*E^2 avant d'intégrer sur tout le volume du cylindre pour trouver le puissance dissipée par effet joule (toute auto-induction est négligée). Or cette deuxième égalité est fausse car découle de j=conductivité*E. Comment rectifier le raisonnement? Merci d’avance...

[gts2]

j.E=j^2/conductivité ce qui est vrai. Puis il en déduit que j.E=conductivité*E^2 ... Or cette deuxième égalité est fausse car découle de j=conductivité*E.

Je réécrit (vrai), je simplifie par j : et (faux) ?

[Alex1504]

Il me semble en fait que j=sigma*(E+v^B) où v est la vitesse des porteurs de charges donc j ne vaut pas sigma*E dans le métal (le terme en v^B n’a pas de raison de disparaître comme quand on scalairisait par dl le long d’un fil en 1D)

[gts2]

Dans le cas du cylindre dans un champ magnétique,
En régime permanent, il ne peut y avoir de composante radiale, sinon cela conduit à une accumulation de charge qui fait varier le champ radial E_H. Autrement dit en RP, le champ de Hall compense v^B.

Plus formellement en projetant radialement (au signe près)
et orthoradialement

[Alex1504]

D’accord je comprends ça mais j=densité volumique de charge libre*vitesse
Or ici ce n’est pas v mais v_theta qui est proportionnel à E... donc comment on en déduire une information sur j (si on ne sait pas en avance que j est selon e_theta)

[gts2]

"mais v_theta qui est proportionnel à E", oui mais comme vr=0 et vz=0, v qui est proportionnel à E induit pas à E total.

1 Etude de symétrie...
2 E induit orthoradial qui génére j orthoradial
3 sauf que la présence de B fait dévier j
4 la composante radiale de j accumule des charges qui créent un champ radial E_Hall qui compense v^B.

Et là j'avais oublié que le champ B était variable ...
Mon raisonnement précédent marche encore avec l'hypothèse que le temps de réponse de l'effet Hall soit très petit par rapport à la période du champ magnétique.
Et donc sous cette hypothèse, du type ARQS,

5 la composante radiale de v est nulle

[Alex1504]

D’accord, merci. Et peut-on dire en général que le champ de hall compense toujours v^B et donc que l’on garde toujours j=sigma*E en ARQP? Si oui comment le justifier dans le cas général (si c’est abordable...)

[gts2]

On va dire que oui... s'il y a possibilité de créer un champ de Hall, donc possibilité d'accumulation de charges.
Remarque : il faudrait préciser E=E initial/imposé ... puisqu'en prenant votre exemple de cylindre alors que

Sinon on se ramène à en intégrant B dans !
Si on réécrit sous la forme , étant la conductivité sans champ B, on "voit" qu'on peut écrire à condition de généraliser un peu : est devenu une matrice dépendant de B.

[Alex1504]

D’accord, merci beaucoup pour tes réponses (je comprends mieux pourquoi mon prof n’a pas insisté dessus...). A bientôt