Projectile avec frottement

[invitee2e1a422]

Bonjour,

J'ai un exercice dans lequel un projectile est tiré avec une vitesse initiale v0 faisant un angle teta avec Ox.
Les 2 forces agissant, sont le poids et le frottement de l'air = -kv
Il y a plusieurs questions, mais une qui me pose un souci : Le projectile étant lancé suffisamment haut, quelle sera sa vitesse "v_infini" (norme et direction)
aux temps longs ?
Le temps caractéristique est tau = m/k
J'ai déjà trouvé les équations horaires des composantes de la vitesse:
vx (t)=v0 x cos⁡(teta) x exp(-t/tau)
vy (t)=v0 x sin⁡(teta) x exp(-t/tau) -(g x tau)
Merci d'avance
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[invite82fffb5c]

C"est la terre plate ?
On a 2 parametre...
Avec la viscossité ça fait 3.

Donc la question c'est quoi ?

On a pas les infos

[gts2]

C'est simplement le comportement de exp(-t/T) quand t tend vers l'infini, non ?
Il y a encore plus simple, quelle est l'équation quand la vitesse est constante ?

[Black Jack 2]

Bonjour,

Tes équations de vitesse sont fausses ...
Elle ne tiennent pas compte de la force de frottement.

De plus, dans la majorité des cas, il serait étonnant que la force de frottement d'un projectile tiré dans l'air soit -k.v

Pour trouver la vitesse limite de descente verticale ... il ne reste que 2 forces de même direction et de sens contraires sur le projectile, et donc ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

"Tes équations de vitesse sont fausses ..."

Elles sont "presque" justes. Le problème : vy(t=0) est différent de vy0

[invitee2e1a422]

oui, je sais, voici ce que j'ai trouvé :

Capture.JPG

et
Capture1.JPG

Pour la position :

Capture2.JPG

et
Capture3.JPG

je crois que tout doit être juste puisque pour les positions x(t) et y(t) il fallait démontrer qu'on a ces valeurs (que j'ai trouvé)
J'ai une autre question :

Capture4.JPG

est-ce que tf>> tau veut dire exp(-t/tau)≅exp(-t)

[invitee2e1a422]

Black Jack 2 - ceci est dans l'énoncé

[gts2]

" tf>> tau veut dire exp(-t/tau)≅exp(-t)"

1- exp(-t) n'est pas homogène
2- tf>> tau donne tf/tau>>1, que vaut exp(-x) si x>>1 ?

[invitee2e1a422]

ca tend vers 0

[gts2]

C'est bien cela, yapluska.

[invitee2e1a422]

Merci beaucoup

[Black Jack 2]

Bonjour,

Hors exercice, quoique ...

Si l'énoncé précise "frottement = -k.v" ... alors tout va pour le mieux dans le meilleur des mondes.

Est-ce réaliste en pratique ? ... Cela c'est une tout autre histoire.

On ne sait évidemment rien du projectile par l'énoncé, alors ... on peut tout imaginer.

Juste pour voir si cela peut tenir la route dans des cas concrets. :

Re = Rho(air)*v*L/µ(air)
Avec Re le nombre de Reynolds, v la vitesse du projectile dans l'air, L la longueur caractérisque du projectile (qui est le diamètre si le projectile est sphérique ... ce qu'on va supposer.) et u mla viscosité dynamique de l'air.

On a donc, avec R le rayon du projectile : Re = 2Rho(air)*v*R/µ(air)

Si la force de frottement est de la forme -k.v, on est dans le cas de la loi de stokes qui donne pour les frottements |f| = 6.Pi.µ(air)*R*v

La vitesse limite de descente est v telle que (avec un projectile plein homogène) : 4/3 * Pi * R³ * Rho(proj) = 6.Pi.µ(air)*R*v

qui donne : v = 2/9 * R² * Rho(proj)/µ(air)

En remettant cela dans l'expression de Re, il vient : Re = Rho(air)*(2/9 * R² * Rho(proj)/µ(air))*2R/µ(air)
Re = 4/9 * Rho(air)/(µ(air))² * R³ * Rho(proj)

Et avec Rho air = 1,3 kg/m³ et µ(air) = 1,85.10^-5 (SI) (approximations évidemment car varient avec la température ...), on arrive à :

Re = 1,7.10^9 * R³ * Rho(proj)

En supposant (gratuitement), un projectile en acier ... on a Re = 1,3.10^13 * R³

Pour que le frottement (-kv) soit réaliste, il faut que Re < < 1000 (voir par exemple ici : https://commons.wikimedia.org/wiki/F...e_Reynolds.png )

Donc il faudrait que 1,3.10^13 * R³ < < 1000

Soit R³ < < 7,6.10^-13, donc R < < 4.10^-4 m

Donc si le projectile (supposé en acier plein et sphérique) a un diamètre beaucoup plus petit que 0,8 mm, l'énoncé proposant des frottements (-k.V) est réaliste.
Dans le cas contraire ...

Mais on ne peut rien dire sur le réalisme de l'énoncé ... puisqu'il ne donne aucune indication sur le projectile, donc c'est parfait.

Remarque, pour que la forme de frottement (-kv) soit réaliste, il faut se trouver proche de la ligne en bleu sur le graphique dans le lien ... soit avec Re vraiment loin en dessous de 1000 donc avec un projectile (supposé sphérique et en acier plein) de diamètre microscopique.

(Calculs non vérifiés).