Mesure physique de Pi

[doryphore]

Bonjour,
je voulais savoir jusqu'à quel niveau de précision on avait réalisé une mesure physique du rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre et si dans notre univers ça correspondait bien à la valeur théorique.
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[jacknicklaus]

tu sous-entend que nous vivons dans un modèle mathématique Euclidien ? Qu'est ce qui te fais croire celà ?

PS
"mesurer pi" au voisinage de l'horizon d'un trou noir peut révéler quelques surprises, selon le type de mesures géométriques choisies ...

[doryphore]

Qu'est-ce qui te fais croire ça dans ma question ?

[f6bes]

Bonjour,
je voulais savoir jusqu'à quel niveau de précision on avait réalisé une mesure physique du rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre et si dans notre univers ça correspondait bien à la valeur théorique.

Bjr à toi, Ben , ça dépend avec QUOI ("intrument")...on mesure !
Me semble ( mais demander à Google) que le nombre de décimales de Pi,.... y a de quoi remplir un livre.
Bonne soirée

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

Peut-on calculer le rapport entre un diamètre d'un cercle parfait et son rayon suffisamment précisément pour que corrigé par les effets de la distribution de masse connue, on obtienne une valeur intéressante en ce qu'elle différerait de pi ?

[pm42]

Peut-on calculer le rapport entre un diamètre d'un cercle parfait et son rayon suffisamment précisément pour que corrigé par les effets de la distribution de masse connue, on obtienne une valeur intéressante en ce qu'elle différerait de pi ?

Comment fabrique t-on un cercle parfait ?

[f6bes]

Salut PM42,
Avec un compas ....parfait !

Bonne soirée

[pm42]

Avec un compas ....parfait !

Tu as oublié la feuille parfaite, parfaitement plate, la mine parfaite d'épaisseur nulle qui ne s'use pas. La perfection, c'est du boulot

[Dynamix]

Salut

Peut-on calculer le rapport entre un diamètre d'un cercle parfait et son rayon

Oui
Et ça fait 2 exactement .
De la à décréter que le diamètre est égal au double du rayon il n' y a qu' un pas .

[Deedee81]

Salut,

La relativité générale implique que l'espace n'est pas euclidien. Mais de là à le mesurer sur un cercle !!!!! La précision des mesures est tout bonnement trop faible.
On peut faire plus simple : mesurer les angles aux sommets d'un triangle (et faire la somme), et ça on sait le faire avec une grande précision pour peu que les bords du triangle soient définis avec une grande précision eux aussi. Mais là aussi les écarts sont infimes, trop infimes pour être mesurables sur Terre (ça donne toujours 180°, enfin, à condition de ne pas faire la bêtise de mesurer un triangle sphérique, forcément, sur Terre ). Il faudrait typiquement avoir un triangle spatial gigantesque mais comment accéder aux coins pour les mesurer ???? (on pourrait prendre une base d'une UA, ça, ça va, mais l'autre coin devrait être à plusieurs AL). Ou alors il faudrait faire la mesure près d'un trou noir mais est assez à court en stock à cause de la crise du trounoirdovirus.

C'est assez curieux mais c'est plus facile de mesurer les déviations à la géométrie "plate" (euclidienne, Minkowski) avec l'espace-temps. Suffit de considérer la déviation des rayons lumineux par le Soleil par exemple. Là c'est flagrant. Ou même le décalage des horloges des GPS suffit (c'était même une expérience de pensée pour montrer l'incompatibilité RR - gravité et conduisant à un espace-temps courbe, bien avant qu'on envoie des machins dans l'espace). Mais pour l'espace lui-même, bien que la théorie marche super bien, c'est difficile à mesurer directement.

On fait la mesure aussi à l'échelle de l'univers observable en utilisant le rayonnement fossile. Et là c'est euclidien. Mais :
- je ne connais pas la technique utilisée pour ce calcul (non, non, ils ne mesurent sûrement pas juste un cercle ou un triangle)
- c'est la "platitude" moyenne qui est mesurée

[XK150]

Bonjour ,

En restant terre à terre , la constante Pi a souvent ( toujours ) été calculée , mais jamais mesurée ( sauf à développer une roue , évidemment ).
Sauf ici , je n'ai pas trop approfondi , mais je n'ai pas compris grand chose ....
Si une âme charitable sait faire un résumé , merci .

https://www.scirp.org/journal/paperi...?paperid=71366

[doryphore]

Merci Deedee81 pour cette réponse,
je me doutais bien que ce n'était pas facile et c'est pour cela que je posais la question.

Autre question et après j'arrête, car il semble que le confinement tape sur les nerfs de certains d'entre nous...

Qu'est ce que mesurerait réellement une expérience de pensée du type "aiguilles de Buffon" ?

la valeur mathématique de pi du fait d'un résultat statistique ou la mesure physique de pi du fait de la courbe de l'espace-temps ?

[Deedee81]

En restant terre à terre , la constante Pi a souvent ( toujours ) été calculée , mais jamais mesurée ( sauf à développer une roue , évidemment ).

Oui dans l'antiquité elle a été mesurée mais.... par des architectes

Mais n'oublions pas la "mesure" de Buffon :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon
bien connue des amateurs de curiosités mathématiques.

Il l'a vraiment faite (de tête il avait obtenu "environ 3", c'est médiocre mais on s'en fout, c'est une mesure)
Ado j'avais fait l'essai.... sur ordinateur (j'avais pas obtenu beaucoup mieux.... c'est nul comme convergence)

Sauf ici , je n'ai pas trop approfondi , mais je n'ai pas compris grand chose ....
Si une âme charitable sait faire un résumé , merci .

Il est bizarre cet article. Il parle de math et physique puis il n'y a que.... du calcul !!!! (bon, j'ai regardé dans les grandes lignes évidemment, y a peut-être un truc qui m'a échappé)

Ah tiens, je viens juste de voir que doryphore parlait de Buffon, télépathie ?

Qu'est ce que mesurerait réellement une expérience de pensée du type "aiguilles de Buffon" ?

Elle mesure le rapport entre le nombre de fois où l'aiguille coupe les lignes du parquet et où elle ne coupe pas; rapport qu'on montre lié à pi. Ce qui n'est pas une surprise puisque cela dépend de l'orientation de l'aiguille, orientation qui est un "cercle".

la valeur mathématique de pi du fait d'un résultat statistique ou la mesure physique de pi du fait de la courbe de l'espace-temps ?

Le premier, c'est pure maths euclidienne + statistique.
Dans un espace-temps courbe (ou disons courbé de manière notable, disons un parquet sphérique), le résultat serait différent !!!!
(non, je ne ferai pas le calcul )

[eudea-panjclinne]

je voulais savoir jusqu'à quel niveau de précision on avait réalisé une mesure physique du rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre et si dans notre univers ça correspondait bien à la valeur théorique.

Un certain nombre de constantes physique sont connus avec une assez grande précision, constante de structure fine, longueur de l'année tropique, etc. On pourrait poser autrement la question de Doryphore
Construire une expérience permettant de déterminer Pi avec la plus grande précision possible
L'expérience la plus simple faite à l'école primaire consiste à prendre une boîte de camembert , un mètre de couturière...

[mach3]

Moi j'aime bien cette approche là pour la mesure expérimentale de pi :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon

m@ch3

[Deedee81]

Moi j'aime bien cette approche là pour la mesure expérimentale de pi :

Voir message 13. Paaaaaas bien ça. Faut lire la discussion

[doryphore]

Sinon, j'en ai trouvé une autre, c'est très lié à l'aiguille de Buffon et c'est sous le mode des marches aléatoires. J'essaie aussi de trouver une interprétation physique (peut être un lien abstrait avec la partie imaginaire des fonctions d'onde)

Je vous envoie le programme Python :

from random import random
from math import pi
from math import sin
from math import cos
from math import sqrt

def longueur(n):
return 1/n

def theta():
return pi*random()

def h(n):
return longueur(n)*sin(theta())

def d(n):
return (longueur(n)*cos(theta()))**2

def chemin(n):
s=0
l=0
while s<2:
s=s+h(n)
l=l+longueur(n)
return l

[doryphore]

En fait ça détermine la longueur d'un chemin qui permet d'avancer d'une unité dans une direction tout en ayant la liberté de s'orienter librement.
On peut aussi modifier le programme pour faire varier le degré de liberté angulaire à volonté pour voir alors de combien on avance.
Par exemple si on choisit d'avancer de pi, sans surprise avec un degré de liberté de 0 on avance de Pi.
Je ne me souviens plus trop mais je crois que j'obtenais sqrt 2 pour Pi/2, on obtient bien 1 pour Pi, et 0 pour 2 Pi.
Finalement, on obtient une arctan de mémoire, il faudrait que je retrouve mon programme.

[Deedee81]

Ah ! Super bien vu doryphore, le mouvement brownien. J'avais cherché d'autres méthodes amusantes sans trouver. Mais en utilisant ça dans le moteur de recherche on trouve facilement.
http://www.pi314.net/fr/aleatoire.php

[doryphore]

Aïe ! Pi (moi, je préfère Pi/2), est sans doute une clé pour comprendre le monde, mais la serrure est fichtrement compliquée.

[Deedee81]

mais la serrure est fichtrement compliquée.

Tu veux du compliqué ? Calcule-moi les décimales de la constante omega de Chaitin
https://fr.wikipedia.org/wiki/Om%C3%A9ga_de_Chaitin

[Opabinia]

Bonjour,

1°) La convergence des suites pseudo-aléatoires est désespérément lente, et la limite théorique est très difficile à cerner.
Un très grand nombre d'essais ne conduira qu'à une approximation décevante de la grandeur cherchée.

Je vous envoie le programme Python :

from random import random

... / ...
Par exemple si on choisit d'avancer de pi ...

2°) Cela n'a aucun sens, parce que les déplacements envisagés ne se produisent pas dans dans un domaine continu de R³, mais dans un domaine discrétisé constitué d'un nombre fini de points, dont la position se ramène implicitement à un triplet d'entiers.

3°) L'intervention d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires pourra conduire à des résultats discutables, parce que l'algorithme en cause n'est pas forcément exempt de biais statistiques.

Plus généralement, le titre même du sujet constitue un oxymore: (π) est une constante mathématique dont la détermination ne relève pas d'une mesure physique.
Si la masse d'une sphère ne correspond pas au résultat donné par la formule m = (4π/3)ρr³ , c'est que la masse volumique (ρ) est inexacte, ou le rayon (r) ... ou que l'objet n'est pas sphérique.

[Deedee81]

Hummmmm.... je n'ai pas trop envie de discuter chaque point, juste un commentaire là-dessus :

3°) L'intervention d'un générateur de nombres pseudo-aléatoires pourra conduire à des résultats discutables, parce que l'algorithme en cause n'est pas forcément exempt de biais statistiques.

Je confirme et c'est vicieux. Dans la simulation de Buffon que j'ai évoqué plus haut, j'ai eut des difficultés. C'était la principale raison pour laquelle je n'arrivais pas à améliorer le résultat même en laissant tourner trèèèès longtemps.

[pm42]

Tu veux du compliqué ? Calcule-moi les décimales de la constante omega de Chaitin

C'est rare que tu sois méchant

[mach3]

Voir message 13. Paaaaaas bien ça. Faut lire la discussion

J'ignore ce qui s'est passé, j'ai peut-être oublié de rafraichir la page depuis hier soir...

m@ch3

[doryphore]

L'erreur semble proportionnelle à 1/sqrt n.

Et dans la simulation, la longueur du chemin est de Ent(n*pi)/n et pas de pi effectivement.

[Deedee81]

Dans les processus brownien sur grille (donc avec nombre entiers), on peut calculer les probabilités de retour, les probabilités de recoupement de la trajectoire etc...
Et pi peut apparaitre (sans partie entière). Mais ça nécessite de retrouver les formules (j'ai ça dans un bouquin) et de générer de nombreuses trajectoires (c'est encore plus couteux que Buffon).

Notons que 1/sqrt n est assez médiocre (vis à vis d'autres méthodes) mais c'est déjà pas si mal.

Certaines formules (Chudnosky, Bellard,...) peuvent donner plusieurs dizaines de décimales à chaque itération ! C'est avec ça qu'on calcule des milliards de décimales.

Autre méthode, extraordinairement simple :
On calcule (A+B)² / 4C selon la méthode suivante:

Y = A
A = (A+B)/2
B = rac(BY)
C = C – X(A-Y)²
X = 2X
Pi = (A+B)² / 4C

Avec les valeurs initiales:
A = X = 1
B = 1/rac(2)
C = 1/4

En quatre itérations tu as 14 décimales !!!! (source : DicoNombres)

[eudea-panjclinne]

C'est l'algorithme de Brent-Salamin(1976). Il converge quadratiquement vers Pi. C'est à dire que chaque itération donne un nombre de décimales exactes double de la précédente.
On utilise ce genre d'algorithme sur des ordinateurs en leur faisant calculer des valeurs de Pi à plusieurs millions de décimales pour vérifier qu'il ne font pas d'erreur sur de très grands nombres d'opérations.
source:The quest for Pi, Borwein, Plouffe, etc

Avec Sage:

a=1;b=1/sqrt(2);s=1/2
for i in range(5):
aprec=a
a=(a+b)/2
b=sqrt(aprec*b)
c=a**2-b**2
s=s-2**(i+1)*c
p=2*a**2/s
print('p(',i,')=',numerical_ap prox(p,digits=50))
print(pi,numerical_approx(pi,d igits=50))

p( 0 )= 3.1876726427121086272019299705253 692326510535718594
p( 1 )= 3.141680293297653293918070424560009 3827957194388154
p( 2 )= 3.141592653895446496002914758818043486108 8792372613
p( 3 )= 3.1415926535897932384663606027066313217577024113424
p( 4 )= 3.1415926535897932384626433832 795028841971699491649

pi = 3.1415926535897932384626433832 795028841971693993751