Gaz de Van der Waals

[langcheuv]

Bonjour,

Pour une mole de gaz, on a pour un gaz de Van der Waals,



À partir de là comment monter que est indépendant de ?

On voit bien que mais le volume est ici constant donc ça ne m'apporte rien.
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[gts2]

U est une fonction (suffisamment dérivable ...), donc les dérivées secondes de U respectent le théorème de Schwarz, ce qui donne en thermo la règle des dérivées croisées :

[langcheuv]

Ok ça marche mais dans le terme comment je gère la pression ?

[gts2]

Qu'entendez-vous par "gérer la pression dans a/V²" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[langcheuv]

OK je me suis peut être compliqué la vie à exprimer en fonction de dans l'équation d'état puis dériver.

Est-ce évident que ?

[gts2]

Oui c'est bien cela.
a est constant et avec comme variable T et V, la dérivée de V, à V constant, par rapport à T, est nulle.

On tombe sur le problème classique de la thermo, la différentielle n'est "pas" (!?) celle de U l'énergie interne, mais celle de la fonction U(T,V).
(C'est mal dit ...)

[langcheuv]

C'est ça qui me pose problème, comment ça V ne dépend pas de T. Il sont bien relié par l'équation d'état non ? Un truc m'échappe certainement.

[gts2]

Voir la discussion : "Sur le concept de différentielle totale en thermodynamique"

Quand on écrit dU=a dV + b dT, on suppose que U=U(T,V), donc que l'on décrit un état quelconque par ces deux variables. Par exemple la pression s'obtient à partir de V et T par la relation de Van der Waals.

Si vous dites que V dépend de T et P, cela signifie que vous prenez comme variables primitives T et P.

Un fluide (simple) dépend de deux variables à choisir parmi (T,V), (T,P), (V,P) ; voir la notion de fonction d'état. Donc mathématiquement, on a bien affaire à deux variables indépendantes.

[langcheuv]

OK c'est compris mais quelque chose me taraude: on cherche à savoir si Cv dépend de V mais on travaille à volume constant. Si on part de là on va forcément trouver que Cv ne dépend pas de V non ?

[gts2]

Supposons que U=a*V²+b*T,

Si on travaille à volume constant , avec a priori

[langcheuv]

J'avoue que je ne vous suis pas,

?

[gts2]

Excusez-moi, je m'étais emmêlé les pinceaux, je recommence : ; mais et les dérivées croisées sont bien égales à b.


Une dérivée partielle par rapport à x, n'a aucune raison de ne pas dépendre de x.

[langcheuv]

Ok je vois ce que vous voulez dire, on peut imaginer des cas où on a pas forcément (bien que le volume soit fixé) . Mais là c'était évident à la tête de la differentielle.

Merci pour votre aide.

[langcheuv]

Oups fausse manip