Poussée Archimède pour un amateur un peu éclairé

[Roberto52]

Bonjour

Je suis très curieux et sceptique à la fois

Je n'ai jamais trouvé de démonstration rigoureuse permettant de d'établir, grâce à un modèle mathématique
que le centre de la poussée d'Archimède s'exerçant sur un corps
- complètement immergé dans un fluide au repos (de l'eau par exemple)
- en équilibre ( immobile) dans ce fluide, par rapport à un repère terrestre Galiléen local
serait le centre de masse G du volume de fluide "déplacé" par le corps,
c'est à dire le volume contenu dans la surface fermée du corps, mouillée par le fluide
et ce, quelque soient:
- la position du corps par rapport à la surface libre du fluide (à l'air atmosphérique)
- l'orientation angulaire du corps.

Je serais extrêmement reconnaissant et enchanté de découvrir cette démarche et le développement mathématique résolvant.

Merci à tous
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[Kemiste]

Bonsoir et bienvenue sur le forum.

Tu avais posté dans le forum présentation qui sert exclusivement à se présenter. J'ai donc déplacé ton message dans la rubrique appropriée.

[gts2]

Le plus simple est de le faire sans mathématique : c'est le notion de fluide déplacé.
Hypothèse : la pression à la surface du corps est la même que celle qui existerait en remplaçant le corps par le fluide.
On est en statique, le fluide est donc en équilibre. Donc le torseur des forces de pression est opposé à celui du poids, qui au centre de gravité est bien caractérisé par une résultante, le poids, et un moment nul.
Remarque : attention à la notion de centre de poussée, on vient de voir que le moment en G est nul, mais il est aussi nul en tout point de la droite verticale passant par G.

[Roberto52]

Bonsoir
je te remercie pour ta bienveillance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Bonsoir
je te remercie pour ta bienveillance.

Sinon, on trouve des démonstrations sur le Net comme ça : http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_...ontenu_15.html

[Roberto52]

Merci pour la réponse
Je suis tout à fait d'accord
mais
c'est parce que, en prenant:
- une forme de corps, particulière
- une orientation variable
- une pression bien plus faible que la pression atmosphérique ( obtenue en laboratoire par exemple)mais cependant obéissant à la loi de l'hydrostatique.

j'ai trouvé, par intégration sur toute la surface mouillée particulière que, le centre de poussée n'était pas forcément en G (calcul intégral d'un torseur local : vérifié)
d'où
mon interrogation.

or pour démontrer: Poussarch = ro * g *vol
il existe bien le théorème du gradient:
je simplifie; intégrale sur toute la surface mouillée du scalaire pression = intégrale sur tout le volume immergé du vecteur gradient de pression
c'est un calcul formel, sans particulariser la forme, ni calculs locaux, qui donne le résultat en une ligne.

alors , je ne vois pas pourquoi (et surtout comment), on ne pourrait pas démontrer, dans le cas général :
désolé pour la lourdeur orthographique;
le VECTEUR SOMME, des moments ( exprimés par rapport au point G) des forces de pression élémentaire, s'exerçant sur une surface infinitésimale de la surface mouillée,
EST NUL

c'est cette démonstration qui me fait défaut

[Roberto52]

Merci pour le site du net

j'ai effectivement trouvé la démonstration pour l'expression de la poussée, par l'utilisation du théorème dit "du gradient"

c'est la détermination du centre de poussée qui m'interpelle.

[gts2]

Il existe l'équivalent du théorème du gradient pour le produit vectoriel : .

En prenant et à l'aide de , cela doit donner le résultat attendu.

[soliris]

c'est la détermination du centre de poussée qui m'interpelle.

Il y a un raisonnement par l'absurde, car pour une fois, je ne suis pas d'accord avec le calcul de l'habituel du "centre de gravité du liquide déplacé".. .



L'action d'une poussée est dynamique et bien qu'elle change au fur et à mesure du lestage du bateau, elle se résume au contour du bateau sur la ligne de flottaison, là où les pressions s'annulent, cad exactement sur le niveau de la mer. Si la poussée s'exerçait plus haut que le niveau de la mer, le bateau ou l'iceberg s'envolerait (ou planerait ?). S'il était situé plus bas, l'objet coulerait.

Et il est plus facile de déterminer un centre de pousssée d'une surface entourée d'un contour (la ligne de flottaison), que de s'zssayer à cela en 3 dimensions; ce qui est d'ailleurs inutile.

[Dynamix]

Salut

L'action d'une poussée est dynamique

Ou statique , suivant cas

elle se résume au contour du bateau sur la ligne de flottaison

La partie immergée ne compte pas

là où les pressions s'annulent

Les pressions ?
La pression hydrostatique et ...?

Si la poussée s'exerçait plus haut que le niveau de la mer, le bateau ou l'iceberg s'envolerait (ou planerait ?). S'il était situé plus bas, l'objet coulerait.

Influence du point d' application sur le vol des iceberg .
Trop de confinement , bonjour les dégâts

[obi76]

Bonjour,

on s'était posé sensiblement la même question ici : https://forums.futura-sciences.com/p...e-bateaux.html

[Roberto52]

Merci pour la formule
Je planche dessus; il y a certainement des évidences qui m'échappent encore.

[Roberto52]

Désolé, je suis encore très gauche sur le site; ma réponse est sans doute en doublon.

la nullité de l'intégrale n'est toujours pas une évidence pour moi

[gts2]

Je poursuis le calcul en utilisant les relations du message #8, la loi de statique des fluides et :


Soit traduit en français : le moment par rapport à un point quelconque O des forces de pression est égal au moment de l'opposé du poids du fluide déplacé.

[gts2]

Après relecture, attention j'ai pris un dS entrant.

[Roberto52]

Merci

Juste une première remarque avant d'approfondir.

rot (OM) = 0 OM (x,y,z) est donc le gradient d'une fonction (phi) ; ce qui voudrait dire que l'ordre de l'équation cartésienne d'une surface fermée ne peut être >2

[gts2]

"rot(OM) = 0 ; OM(x,y,z) est donc le gradient d'une fonction (phi)". Oui : phi=r^2/2. Sinon on peut calculer directement rot(OM).

"ce qui voudrait dire que l'ordre de l'équation cartésienne d'une surface fermée ne peut être >2 "
Que voulez-vous dire par là ? Et quel rapport avec le rotationnel ?

[Roberto52]

Rot grad =0 toujours vrai d'où tentative d'identification du potentiel "Phi" représentatif du problème posé;

en quoi r^2/2 répond t'il à la question, si ce n'est par la forme de la surface frontière du volume sous pression,
sinon tous vecteurs OM(x.y.z) quelconques appartenant au domaine d'intégration, mais aussi à l'extérieur, dérivent de phi, et c'est un non sens;

phi= constante, correspond à une sphère (équation d'ordre 2, d'où ma remarque)

"Sinon on peut calculer directement rot(OM)" : de la même façon, comment faire ce calcul sans l'équation de la surface; sinon je ne vois pas ce qui pourrait donner une expression spécifique aux composantes (x,y,z )

Est ce que le rotationnel de OM, M appartenant à une surface fermée est, est forcément nul?

En d'autres termes, qu'est ce qui rend nul le rotationnel?

[Roberto52]

Est ce que le rotationnel de OM, M appartenant à une surface fermée est, est forcément nul? ou bien son intégration sur le volume

[gts2]

Je crois qu'il y a un problème de dialogue de sourd : on ne parle pas de la même chose.
Je vais donc préciser ce que j'entends par OM = vecteur position permettant de repérer un point M à partir d'un point origine O.
Donc en sphériques donc dérive d'un potentiel donc rotationnel nul.
En cartésiennes ,

"M appartenant à une surface fermée" : l'intégrale avec le rotationnel est une intégrale en volume donc M est à l'intérieur de la surface, la surface n'apparait que pour les bornes d'intégration.

"comment faire ce calcul sans l'équation de la surface" : on ne fait pas le calcul, on constate que c'est la définition du moment du poids au point O.

C'est le même raisonnement qu'avec le théorème du gradient :

[Roberto52]

Merci, c'est parfaitement clair

1) j'avais mal envisagé les composantes du vecteur OM, pour le calcul du rotationnel OM [ U(x,y,z) =x ; V(x,y,z) =y ; W(x,y,z) =z ] les variables x,y,z étant indépendantes
les di/dj sont tous nuls; une zone d'ombre pour l'amateur.

2) Le résultat final en 14# est logique
le corps est en équilibre sous l'action de 2 torseurs et c'est le théorème des moments, exprimé en un point O quelconque, qui est retrouvé.

ce qui me fait dire que, la proposition "le VECTEUR SOMME, des moments ( exprimés par rapport au point G) des forces de pression élémentaire, s'exerçant sur une surface infinitésimale de la surface mouillée, EST NUL
Bien que validée donc,
est une condition nécessaire pour définir le centre de poussée C des actions de pression,mais pas suffisante pour le différencier du centre de gravité G du fluide déplacé.
c'est la définition (peu commode) de C qui, à mon sens, provoque souvent la controverse,et, la confusion C=G que l'on trouve encore dans la littérature scolaire ou bien c'est de la pédagogie intrusive.

Bonne soirée et bon courage