Équation de d'Alembert en 3D

[mik2000]

Bonjour a tous,
Ma question concerne la résolution de l équation de
d'Alembert en 3D
Tout d'abord je signale que j'ai compris la résolution de l équation a une dimension.

En 3D, ça se complique mais j'ai réussi à démontrer le résultat suivant donné ci joint.

Ma première question est : la réciproque de mon énoncé est t elle vraie ?

En cherchant sur Google je n'ai trouvé que l article de Wikipédia suivant :
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_des_ondes

Et le résultat fournit dans la section " trois dimensions" me surprend , ils parlent d'onde sphérique solution alors que j'ai trouvé des ondes planes solutions...

Bref, quelles sont TOUTES les solutions de l équation ?
Merci d'avance
Mickael
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[gts2]

Ce que vous avez écrit est une solution paramètrée par , il reste à faire la somme sur tous les u possible.
Usuellement, on raisonne en ondes planes harmoniques, , soit et la somme s'écrit

Il reste à savoir si toute fonction solution s'écrit comme une somme...

[mik2000]

Merci pour votre réponse, je comprends.
La résolution de l équation de d Alembert paraît difficile alors.
En revanche l énoncé wikipédia affirme que les solutions sont toutes des ondes sphériques et la solution que j'ai trouvée est plane. Comment est ce possible ? Cela paraît contradictoire.
Merci

[gts2]

Les équations aux dérivées partielles même linéaires, n'ont pas l'équivalent de la solution générale des EDO linéaires dont il ne reste à déterminer que les constantes.
En particulier, la dépendance aux conditions aux limites est plus importante que celle aux conditions initiales.

Pour ce qui est de Wikipedia, ils n'ont cherché que les solutions u(x,y,z,t)=u(r,t) ce qui restreint sérieusement le champ des solutions. Dans ce cadre, la solution est générale.

A une dimension, le fait que "toute" fonction soit développable en série de Fourier est connu, le tout étant de préciser l'espace de fonctions dans lequel le "toute" est vrai.

Il y a l'équivalent dans l'espace mais je ne connais pas, dans ce cadre, la définition précise du "toute".

Le développement en onde planes est utilisé dans l'étude de la diffraction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Ce qu'on fait dans les deux cas, c'est chercher une base de l'espace vectoriel des solutions. Comme la base est, par définition, complète, toute solution sera une combinaison linéaire des fonctions (les "vecteurs") de la base. Il existe des infinités (et même non dénombrables) de bases possibles, et on choisit celle qui est la plus appropriée.

Si le problème possèdait une symétrie de translation, la base que vous avez choisie serait la plus simple.

Mais, le plus souvent, on est dans un autre cas, avec des conditions aux limites sur un domaine fini et zero à l'infini, et dans ce cas la base des fonctions sphériques est la plus intéressante. On peut même se limiter aux solutions retardées, si on considère que les fonctions avancées n'ont pas de sens physique (c'est toujours vrai en classique)

[mik2000]

Bonjour,
Alors j'ai compris ce que vous voulez dire , on peut donc résumer en disant que l'équation de d'Alembert en 3D admet des solutions à symétrie sphérique ( ondes sphériques) et des solutions ondes planes. Et que pour savoir quelle est la solution à notre problème il faudra donner les " conditions aux limites".


Ps : je n' avais pas vu que wikipédia ne donnait que des solutions à symétrie sphérique.... Je pensais qu'il les donnait toutes !

Mickael