Somme directe en mécanique quantique

[Abitbol C137]

Bonjour à toutes et à tous,

je reviens à la charge après vous avoir embêté sur le spin. Je (re)précise que je suis une personne qui ne fait habituellement que des maths et qui a du mal avec le jargon physicien en général.

J'ai bien compris que si H_1 et H_2 sont les espaces de Hilbert représentant deux systèmes S_1 et S_2, le produit tensoriel H_1\otimes H_2 représente le système obtenu en considérant S_1 et S_2 comme deux sous-systèmes de ce système-là (c'est donc "S_1 et S_2").

De même, si on a un système S et son Hilbert H, le carré symétrique de H (S^2 H, je crois qu'on le note comme ça) représente le système formé de deux copies indiscernables de S ; et le carré extérieur, c'est le système formé de deux copies de S qui ont l'interdiction d'avoir le même état.

Mais, comment s'interprète la somme directe ? Si j'ai le Hilbert H_1 d'un chat, et le Hilbert H_2 d'un dragon, H_1 \oplus H_2 c'est le Hilbert associé à "un chat ou un dragon" ?

Merci pour vos réponses !
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[DidierGr]

Bonjour,
Entre les balises [tex] et [/tex] les formules seront probablement plus lisibles.
LaTeX : explications et mode d'emploi

[ThM55]

C'est une question intéressante. A ma connaissance la somme directe n'a pas de signification physique intéressante en mécanique quantique.

Je vais essayer d'expliquer pourquoi. Je pense rester ici sur les rails de la mécanique quantique standard, sans exposer de théorie personnelle, ceci dit à l'intention des modérateurs. C'est une explication un peu formelle mais je ne vois pas de manière plus intuitive de l'exprimer.

Quand on a une somme directe de deux espaces vectoriels, on peut décomposer tout vecteur en la somme de deux vecteurs de chaque espace, de manière unique. Une base de la somme directe est obtenue en mettant deux bases des sous-espaces bout à bout (je ne sais pas si je m'exprime bien, il faudrait demander à un matheux). Supposons que l'état du système combiné soit exprimable dans une somme directe. Alors, celui des deux sous-systèmes est parfaitement connu si cet état est connu et chacun est indépendant l'un de l'autre. Mais en réalité (expérimentalement) dans un système composite ce n'est pas le cas, on peut avoir une superposition de deux ou plusieurs états composés tels qu'aucun des deux états ne soit déterminé de manière unique. Ce n'est rien d'autre que les états intriqués. Et cela ne peut s'exprimer que dans le produit tensoriel.

D'autre part, dans cette version "somme directe" de l'espace des états, il deviendrait difficile de décrire l'interaction entre les deux sous-systèmes. Quand on fait une mesure sur un des sous-systèmes on projette son état sur un vecteur propre d'un opérateur. Mais ce vecteur propre se décompose lui-même en deux vecteurs supplémentaires de manière unique et la mesure des deux sous-systèmes restera indépendante. Cela ne me semble pas physique, en tout cas cela ne correspond pas à ce qu'on observe.

Il est possible qu'un produit tensoriel contienne de manière canonique la somme directe de ses facteurs... je ne sais pas si c'est vrai, mes notions sont assez vagues et lointaines dans ce domaine. Si c'est le cas, cela pourrait représenter les états des deux sous-systèmes qui sont sans intrication. Mais je n'en suis pas sûr.

[Antonium]

Hello,

La somme directe d'espaces de Hilbert est utilisée pour construire l'espace de Fock associé à un problème quantique à plusieurs corps. Le nombre total de particules pouvant varier, il est difficile de choisir un espace de Hilbert pour étudier le problème étant donné qu'on ne sait pas combien de produits tensoriels il faut faire. Dans ce cas l'espace de Fock est plus approprié. Une bonne base pour cet espace est la base des états à nombre de particules déterminé (les états de Fock).

Normalement on utilise plutôt les espaces de Fock pour des problèmes à particules identiques (à ma connaissance), mais j'imagine qu'on peut sans problème interpréter la somme directe des espaces de Hilbert associés au chat et au dragon comme l'espace d'un système qui peut prendre tous les états possibles pour le chat et pour le dragon.
Par contre ces états ne sont pas couplés comme avec le produit tensoriel, et donc pas d'intrication possible. Et ils ne décrivent même pas des états purs du produit tensoriel car il serait possible de mettre le système seulement dans un état chat mort ou dans un état dragon vivant, alors qu'avec le produit tensoriel il faudrait nécessairement des contributions du dragon et du chat.

Donc en peut je pense en gros dire que le système total est le système "chat ou dragon", mais le "ou" n'est pas exclusif : les deux peuvent être présents.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

La question à un lien avec: https://fr.wikipedia.org/wiki/Particules_indiscernables

[Deedee81]

Bonjour,

Bien vu l'espace de Fock. Voir ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_de_Fock

[Abitbol C137]

@ThM55 : Il est interdit d'exposer une théorie personnelle ? Bon, comme ce ne sont que les maths qui m'intéressent, et comme je vais vérifier tout ce que tu dis, cela ne pose pas de problème si tu me donnes une théorie personnelle.
Je suis d'accord avec ton argumentation sur le fait que c'est bien le produit tensoriel (et pas la somme directe) qui encode un système composé de sous-systèmes ; et tu as raison de dire qu'une base d'une somme directe peut être formée en mettant bout à bout deux bases des morceaux.
Pour la question de savoir si la somme directe se plonge canoniquement dans le produit tensoriel, d'un point de vue formel, je ne sais pas répondre de manière précise (il faudrait formuler la question en langage catégorique, déjà) ; mais je pense que la réponse est non, pour la raison que pour des espaces de dimension un, la somme directe est de dimension deux et le produit tensoriel est de dimension un, donc dans ce cas ce n'est pas possible du tout (ni canoniquement, ni rien d'autre) ; donc toute construction canonique d'un éventuel plongement serait obligée d'exiger une certaine dimension. Et puis, autre raison, si ce plongement existait, il aurait un nom et je pense que je le connaîtrais

@Antonium : Oui, je connaissais l'espace de Fock. En des termes informels, je pense à ses vecteurs d'état comme "un peu zéro particule dans tel état + un peu une particule dans tel état + ... + un peu quarante particules dans tel état + ...". C'est ça qui m'a conduit à penser que c'était une sorte de "ou" (non-exclusif, comme tu dis).

@Tout le monde : je pose la question parce que j'ai récemment vu que le produit tensoriel de deux représentations de spin se décomposait en somme directe de représentations de spin. Par exemple, si représente la représentation de spin , on a . Comme j'ai appris, dans un autre fil, que était isomorphe au produit symétrique de copies de et qu'on pouvait y penser comme particules de spin indiscernables.

Donc, si on colle à l'analogie de , ça nous fait que... un spin ET un spin , c'est la même chose qu'un spin OU deux spin indiscernables ?

[ThM55]

Je n'avais pas pensé à l'espace de Fock. En effet c'est une somme directe de secteurs à nombre de particules différents.

Pour les théories personnelles, je crois avoir lu cela un jour quelque part dans les règles du forum.

[ThM55]

Et en effet pour les deux particules de spin 1/2, c'est un peu particulier car on parle de représentations du groupe des rotations: le produit de deux représentations de spin 1/2 se décompose en somme de deux représentations irréductibles. D'où cela vient-il? Pour un moment angulaire total l, le moment angulaire azimutal peut prendre les valeurs de -l à +l. Si l=1/2, cela fait -1/2 et 1/2. Pour deux particules on a donc en principe 4 états de base dans le produit tensoriel (qui a d'ailleurs 4 dimensions complexes). Mais ces états sont des états propres de Sz, le moment angulaire azimutal et pour qu'ils correspondent à un moment angulaire total qui est compatible, il faut les regrouper en un triplet (l=1) et un singulet (l=0).

Mais au total on a quand même toujours le même espace d'états. Simplement, le groupe des rotations agit sur cet espace en laissant chaque composante de la somme invariante: la représentation de dimension 4 est réductible et se décompose en deux représentations irréductibles. L'expression des vecteurs de base de ces représentations est un sujet bateau, avec les coefficients de Clebsh-Gordan, etc.

Peut-on superposer deux états de spin total différents? Je pense que rien ne l'interdit en principe dans les postulats de la MQ, mais il n'y a sans doute pas de procédure expérimentale permettant de réaliser cette superposition (il faudrait vérifier cela, j'y ai un peu réfléchi mais je ne me souviens plus bien des arguments à ce sujet, ela doit venir de la théorie des groupes et des règles de sélection). Donc en effet dans ce cas la somme directe correspondrait à un "ou". Il faudrait confirmer cela, je ne suis pas sûr de moi sur ce coup-ci, je vais essayer de trouver des références.

[Abitbol C137]

Ok alors quand tu dis :

Mais ces états sont des états propres de Sz, le moment angulaire azimutal et pour qu'ils correspondent à un moment angulaire total qui est compatible, il faut les regrouper en un triplet (l=1) et un singulet (l=0).

c'est exactement le genre de truc que je ne comprends pas est-ce que tu peux m'expliquer un peu plus en détail ?

Parce que je vois bien que le produit tensoriel des deux copies de la représentation est de dimension , et que les dimensions, dans la décomposition en somme directe de sous-représentations, sont et ( est la dimension de l'espace de Hilbert du spin et est la dimension de l'espace de Hilbert du spin ) ; et que le sous-espace de dimension trois est engendré par et que le sous-espace de dimension un est engendré par .

Donc j'ai l'impression qu'au niveau de la physique, ton état singulet est la même chose qu'un état de spin et que ton état triplet est la même chose qu'un état de spin . Dis-moi si je me trompe !

Je compte me renseigner sur ces coefficients de Clebsch-Gordan bientôt ! Je voulais d'abord réussir à interpréter le .

Peut-on superposer deux états de spin total différents? Je pense que rien ne l'interdit en principe dans les postulats de la MQ, mais il n'y a sans doute pas de procédure expérimentale permettant de réaliser cette superposition

Ben tout ceci me donne l'impression que mathématiquement, oui, il suffit de faire une somme directe Par contre expérimentalement, je ne sais pas...

j'y ai un peu réfléchi mais je ne me souviens plus bien des arguments à ce sujet, ela doit venir de la théorie des groupes et des règles de sélection

Si c'est de la théorie des groupes, je peux comprendre (c'est-à-dire qu'il me suffira de lire les maths pour -peut-être après vingt ans, certes- comprendre) ; par contre, les règles de sélection, j'ai pas bien compris ce que ça veut dire.

[ThM55]

Il y a le cadre mathématique et la réalité expérimentale. Et on sait par exemple qu'il est impossible de créer (en théorie quantique des champs) un état de superposition de deux charges différentes. C'est sûrement lié à la conservation de la charge; mais à part cela, je ne vois pas une telle limitation dans les postulats de base de la quantique.

Pour l'explication il suffit de considérer les 4 états de base et de voir que Sz a comme seules valeurs propres possibles 1,0 et -1. On décompose le produit en somme de sous-espaes invariants. Cela ne peut pas être de dimension 4; pour cela le spin total serait 3/2 et les valeurs propres de Sz seraient -3/2, -1/2, 1/2, 3/2: contradiction. On élimine ainsi les autres combinaisons sauf une, avec un singulet (dim 1) et un triplet (dim 3).

[Abitbol C137]

La charge je ne sais pas du tout ce que c'est. Pour le reste de ta réponse, je crois comprendre (ça donne un schéma de démonstration du fait que la décomposition en irréductibles de ce produit tensoriel est celle-là) mais je ne suis pas sûr que c'est exactement ça que tu voulais dire. C'est quoi, mathématiquement, un état singulet et un état triplet ?

[azizovsky]

C'est très subtile, une explication pas mal dans MQ 2 de Claude Aslangul à partir de la page 998, ces état coïncident avec les états intriqués de Bell, l'état complète est un produit de l'espace par une fonction de spin: intrication entre entre degré de liberté d'espace et degré de liberté de spin ...., et à partir de ceci est introduite les postulats de symétrisation et d'antisymétrisation.....

[ThM55]

Les termes "triplet" et "singulet" sont du jargon pour représenter des états dans des espaces de dimension respectivement 3 et 1. Je n'ai pas donné la dérivation formelle, on la trouve dans tous les manuels de MQ. J'ai juste indiqué une argument heuristique. Voici par exemple comment c'est expliqué à l'ENS (une excellente référence pour la physique théorique, je crois): http://www.phys.ens.fr/~dalibard/tra...010/cours6.pdf . Ils passent par le calcul de l'opérateur S^2, carré du spin total, dont les valeurs propres doivent être s(s+1). J'avais expliqué exactement ce qui est montré sur ces slides il y a 40 ans pendant un oral. Il y a comme ça des choses qui restent en mémoire même quand on a oublié tout le reste!

En fait cela a un sens expérimental directement observable pour un système de deux particules de spin 1/2 qui sont dans un état lié. On va en effet observer les effets du spin total dans des expériences pour lesquelles le transfert d'énergie est largement inférieur à l'énergie de liaison et donc insuffisants pour séparer les deux particules en particules libres. Des exemples concrets sont l'atome d'hydrogène (énergie de liaison de 13 eV), noyau de deutérium (dans les MeV). Le type d'expériences qui distinguent les états de spin font intervenir par exemple l'interaction du moment magnétique avec un champ magnétique. Je pourrais aussi parler du positronium (état lié d'un électron et d'un positron): le critère n'est pas rempli et sa durée de vie est très brève mais l'état de spin a des conséquences observables lors de la désintégration.

[Abitbol C137]

Ok ben la personne qui a écrit ce texte écrit, à un moment, "spin 1" et "spin 0" et je vais m'arrêter là ! Je n'ai pas bien compris qui est ce S^2 mais à mon avis, il s'agit du (ou d'un multiple du) projecteur orthogonal sur la sous-représentation de dimension 3.

ThM55 : Je veux bien écouter tout ce que tu as à me dire à propos des règles de sélection ! Par contre, la fin de ton dernier post, j'y ai rien compris

[coussin]

On se rend compte ici de la différence énorme de langage entre physiciens et mathématiciens Difficile de se comprendre...
N'y aurait-il pas un "interprète" capable de faire le lien entre thM55 et Abitbol ?

[Morrslieb]

Bonjour,

Je n’ai pas lu toute la discussion, mais je confirme que la somme direct peut signifier un “ou exclusif” en physique. Par exemple, considérez le terme de masse das quarks dans le modèle standard: , où désigne un quark; il se transforme dans la représentation fondamentale de , i.e. il s’agit d’un triplet de . La quantité désigne un anti-quark. Si on fait le produit tensoriel des deux, on obtient dans l’écriture des physiciens: , où désigne un singulet sous et un octet, en fait la représentation adjointe de . Physiquement, cela signifie qu’un quark interagit avec un anti-quark pour donner un singulet ou un octet. L’état a une énergie négative et correspond à un état combiné. L’état obtenu ici a une énergie positive et correspond à une diffusion répulsive. L’état est donc favorable d’un point de vue énergétique, ce qui est bien, puisqu’on veut que le terme de masse soit invariant.
Notez que les physiciens ont la tendance de désigner les représentations par leur dimension, ce qui n’est pas bien, car des représentations différentes non équivalentes peuvent avoir la même dimension. Il vaut mieux utiliser les diagrammes de Young: https://en.wikipedia.org/wiki/Young_tableau .

Ensuite, il me semble que j’avais lu quelque part la question ce que représente la charge en mathématiques. Entre autres, la charge correspond au poids d’une représentation, voir la page wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Weight...tation_theory).

[Morrslieb]

Désolé pour le flood, je n'avais pas vu la question sur S^2. En fait, S^2 correspond simplement à l'élément de Casimir de SU(2), voir https://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_element .