Diffusion de quantité de mouvement

[electrotech92310]

Bonjour,
Je suis actuellement en maths spe PSI* et au programme nous avons étudié les différents phénomènes de transport (diffusion de qte de mvt, conduction thermique, transport de charge, diffusion de particule)

Évidemment on remarque très vite, de part leur nature pour leur lois, que les phénomènes sont analogues.
On peut pour chaque grandeur définir un j (définit tel que j.ds = δa/δt (ou a est la grandeur qui se diffuse).
On retrouve également rot(j) = 0 induisant des lois en grad.
Ces dernières lois permettent d'introduire des résistance (thermique, électrique, hydraulique)

On retrouve également des lois de conservation en :
div(j)+ db/dt = c (c un éventuel terme source, b la grandeur qui diffuse en volumique)

Les 2 éléments donnant alors naissance aux équations de diffusions, reliant les dérivés spatiales et temporelle de la grandeur dans le gradient.

J'ai plusieurs question quand au cas de la quantité de mouvement.
Tout d'abord dans mon cours on démontre l'équation de diffusion de la quantité de mouvement en appliquant le pfd sur un dτ et sans introduire de loi en -grad pour la quantité de mouvement.
En existe t-il une ?
Puisque l'équation de diffusion est en vitesse la loi sera donc -grad(v) ?
1. Le fait que la qté de mouvement se diffuse dans les v décroissant est un argument supplémentaire qui me fait pencher vers cette loi.
2. La vitesse étant vectorielle il faudrait alors mettre dans le gradient une composant de la vitesse. Le problème est donc qu'il faudrait traiter composantes par composantes pour avoir une idée de la diffusion en 3D de la quantité de mouvement.

Si une telle loi existe on introduirait un jp (densité de courant de quantité de mouvement ?).
Cependant le cas de la quantité de mouvement est un peu particulier puisqu'il s'agit d'un vecteur et non d'un scalaire (encore ce problème ).
La où tout les j peuvent se mettre sous la forme vecteur(j) = b.vecteur(v) (où b est toujours la grandeur en volumique, et "." la multiplication par un scalaire) on aurait donc un petit problème puisque la quantité de mouvement en volumique c'est le vecteur jm densité de courant massique (vecteur(jm) = μ.vecteur(v)). Ceci amenant alors a avoir soit :
1. vecteur(jp) = vecteur(jm).vecteur(v) (où . serait la multiplication entre 2 vecteurs ce qui est donc impossible ici mathématiquement!!!)
2. jp = vecteur(jm).vecteur(v) (où . serait le produit scalaire canonique mais où donc jp serait scalaire et non plus vectorielle, donc impossible de l'exprimer comme un gradient (à moins de poser vecteur(jp) = jp.vecteur(u), u unitaire et où . désigne la multiplication par un scalaire.))

Comme vous pouvez le voir beaucoup d'incompréhension sur ce genre de diffusion j'espère alors que l'on pourra y voir plus clair !
Bonne journée, bon confinement et je vous remercie par avance de vos réponses !
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[gts2]

Tout d'abord dans mon cours on démontre l'équation de diffusion de la quantité de mouvement en appliquant le pfd sur un dτ et sans introduire de loi en -grad pour la quantité de mouvement.

Vous avez du voir quelque chose du genre , le ressemble quand même bien à un "bout" de gradient. Ce que vous avez là est la composante de la contrainte (force par unité de surface) selon x sur une face perpendiculaire à y. Il y a manifestement neuf composantes de ce type, on obtient alors un tenseur des contraintes proportionnel au gradient de la vitesse, étant l'un des termes de ce gradient.

Le flux sera du même type, il y aura le flux de la composante en x de la quantité de mouvement dans la direction y, etc., de nouveau neuf termes.

Ces tenseurs seront représentés par des matrices 3x3

[electrotech92310]

Merci de votre réponse cependant il semble que vous avez joint des images " quelque chose du genre ??, le ?? ressemble quand même bien à" (ou des caractères qui n'ont pas été lisible) m’empêchant de comprendre la totalité de l'explication (peut être essayez de les montrer sous un autre format ?)
Mais de ce que je comprend pour la quantité de mouvement la loi fera intervenir des matrices 3x3 du aux caractères vectorielles de la quantité de mouvement ?

Vous dites :

Le flux sera du même type, il y aura le flux de la composante en x de la quantité de mouvement dans la direction y, etc., de nouveau neuf termes.

Puisque les lois usuels font intervenir la densité surfacique de flux (soit donc les vecteurs densité de courant) il sera donc possible de diviser les éléments pour avoir une loi de la forme souhaité ?

[gts2]

Bonjour,

Manifestement, les balises TEX ont actuellement un problème.
Je répondrai un peu plus tard quand ces balises fonctionneront de nouveau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[electrotech92310]

Serait-il possible décrire l'objet qui ne s'est pas affiché ? Il s'agissait d'un gradient , d'une dérivée ?

[gts2]

Le même texte sous forme d'un pdf.

[gts2]

Puisque les lois usuelles font intervenir la densité surfacique de flux (soit donc les vecteurs densité de courant) il sera donc possible de diviser les éléments pour avoir une loi de la forme souhaité ?

Qu'entendez-vous par diviser ? Si c'est diviser par la surface, c'est déjà le cas Fx/S=(dpx/dt)/S est un bien une densité surfacique de flux de quantité de mouvement.

[electrotech92310]

Qu'entendez-vous par diviser ? Si c'est diviser par la surface, c'est déjà le cas Fx/S=(dpx/dt)/S est un bien une densité surfacique de flux de quantité de mouvement.

Tout a fait j'avais mal lu votre message l'erreur est de mon côté.
Merci de m'avoir converti le message en format png !
Juste pour être sur d'avoir bien compris.
Compte tenu du caractère vectorielle de la quantité de mouvement la loi décrivant la diffusion dépend de la direction que l'on observe. Sur une direction donné, et sur une surface de normal donné on a alors une lois entre une composante du gradient et la contrainte du a la viscosité.
Ici ce qui joue le rôle de vecteur densité de courant j est alors la contrainte dû aux forces de viscosité c'est bien ça ?

Ceci fait naître une autre question. Est-ce la diffusion de quantité de mouvement (caractériser par la contrainte des forces de viscosité) qui fait naitre la notion de résistance hydraulique ? Dans mon cours on ne démontre l'existence de la résistance hydraulique que dans le cas d'un écoulement de Poiseuille cylindrique, j'aimerais savoir si en partant des composantes du tenseur on peut remonter à l'expression de la résistance hydraulique ? (Comme il est possible de le faire à partir de la loi de Fourrier en thermique ou de la loi d'Ohm en transport de charge).

[gts2]

Merci de m'avoir converti le message en format png !

Ce n'est pas moi qu'il faut remercier mais la modération !

Juste pour être sur d'avoir bien compris...

C'est bien cela.

Est-ce la diffusion de quantité de mouvement (caractériser par la contrainte des forces de viscosité) qui fait naitre la notion de résistance hydraulique ?

Oui

Dans mon cours on ne démontre l'existence de la résistance hydraulique que dans le cas d'un écoulement de Poiseuille cylindrique, j'aimerais savoir si en partant des composantes du tenseur on peut remonter à l'expression de la résistance hydraulique ?

Comme vous avez démontré R=/rho \ell/S ...
Il y a deux choses, je ne suis pas sûr que l'on calcule la résistance hydraulique d'autre chose qu'une conduite cylindrique, et d'autre part, cela ne concerne que les écoulements laminaire (vous avez du voir la loi de Darcy-Weisbach).
Par contre la forme générale peut servir pour étudier des écoulements plus généraux.