re : Relativité Générale : Métrique de Schwarzschild

[invite2078b59f]

Bon je sais pas trop si je dois caser mon message dans la catégorie maths ou physique, mais bon je me lance :
Dans le cadre d'étude des outils de la Relativité générale, j'ai trouvé de bonnes démonstrations sur l'équation des géodésiques, les symboles de christoffel et le tenseur de Riemanne et Ricci, mais par contre je ne trouve pas de démonstration (si ce n'est d'énormes démonstrations de plusieurs pages que je ne saisis pas assez bien) pour la métrique de schwarzschild, le mieux auquel je suis arrivé c'est de savoir d'où viennent les termes qui correspondent au déplacement élémentaire en coordonnées sphériques, mais ai du mal à savoir pourquoi et comment on déduit et intègre à l'équation le terme ''1-Rs'' qui y apparait deux fois par exemple.
pour rappel la métrique donne ça :




donc si quelqu'un a une bonne démonstration, ou une piste de démonstration, ou juste des liens intéressants, je suis preneur !
Cordialement.
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[invite2078b59f]

j'ai déjà envoyé le même message dans la rubrique ''mathématiques : supérieur'', mais je pense qu'il est bon de la poster ici :

Bon je sais pas trop si je dois caser mon message dans la catégorie maths ou physique, mais bon je me lance :
Dans le cadre d'étude des outils de la Relativité générale, j'ai trouvé de bonnes démonstrations sur l'équation des géodésiques, les symboles de christoffel et le tenseur de Riemanne et Ricci, mais par contre je ne trouve pas de démonstration (si ce n'est d'énormes démonstrations de plusieurs pages que je ne saisis pas assez bien) pour la métrique de schwarzschild, le mieux auquel je suis arrivé c'est de savoir d'où viennent les termes qui correspondent au déplacement élémentaire en coordonnées sphériques, mais ai du mal à savoir pourquoi et comment on déduit et intègre à l'équation le terme ''1-Rs'' qui y apparait deux fois par exemple.
pour rappel la métrique donne ça : Pièce jointe 411579Pièce jointe 411579




donc si quelqu'un a une bonne démonstration, ou une piste de démonstration, ou juste des liens intéressants, je suis preneur !



note du modérateur : j'ai déplacé vos deux messages ici (bizarrement la pièce jointe du message #2 ne s'affiche pas chez moi). Les doublons sont interdits. Si vous ne savez pas où poster un message, tentez une rubrique, et si vous n'avez pas de réponse demandez à un modérateur de le déplacer.

[ThM55]

Bonjour. Dirac le faisait en moins de 3 pages (voir pages 28,29, 30) dans son livre The General Theory of Relativity, 1975 (réédité chez Princeton University Press). Je ne sais pas si le lien sur archive.org est légal, si les modérateurs éditent le message pour l'enlever, vous le trouverez via votre moteur de recherche favori:

https://archive.org/details/DiracGen...e/n27/mode/2up

Je recommande ce livre. C'est le livre le plus concis du monde pour expliquer la relativité générale et ses méthodes de base. Mais pas un mot sur les idées physiques qui ont mené à cette théorie. Du Dirac typique.

[Sethy]

Ce qu'il faut peut-être rappeler, c'est que la métrique de Schwarschild est une solution "en champ faible". Autrement dit, plusieurs approximations sont nécessaires à son élaboration.

Autre manière de dire la même chose, c'est que le produit des 2 premiers termes diagonaux (ceux en dt2 et dr2) doit valloir c2. Jusque là, si je ne me trompe pas, la démonstration est rigoureuse. C'est à ce moment là, qu'afin de trouver la forme de ces deux termes, les approximations sont introduites.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite741b54dd]

Bonsoir,

Ce qu'il faut peut-être rappeler, c'est que la métrique de Schwarschild est une solution "en champ faible". Autrement dit, plusieurs approximations sont nécessaires à son élaboration.

absolument pas. Et c'est justement le fait que ce soit une solution exacte trouvée très peu de temps après la pondaison des équations qui avait bluffé Einstein (il pensait dans un premier temps qu'on ne découvrirait jamais de solution exacte à ses jolies équations)... votre méprise vient du fait que l'on utilise, pour déterminer une constante d'intégration, le fait qu'en champ faible elle doit être compatible avec la théorie de Newton. Mais elle est bel et bien valable en champ fort si la RG l'est (d'ailleurs Schwarzschild est même une solution dans certaines théories de gravitation modifiée).

[invite2078b59f]

Je te remercie ThM55 ^^

[invite2078b59f]

tiens tiens des approximations...

[invite2078b59f]

Bon je me trompe peut être, et je vous laisse me corriger, mais en lisant la démonstration qui m'a été proposée par ThMM5 Effectivement dans certains cas, on se permet des sortes d'approximations lorsqu'on effectue les calculs les plus élémentaires, ça permet à priori de rendre les formules plus ''pratiques'' ou utilisables. Je ne saurais te dire après qu'elle est l'impact de ces approximations, mais je présume qu'il est ultra négligeable. Après comme vous dites AnotherBrick, oui et évidemment (et tant mieux) la démarche est rigoureuse.
Bonne journée.

[ThM55]

Je ne vois pas d'approximation, c'est une solution exacte des équations d'Einstein dans le vide.

[Sethy]

Si j'ai dit une bêtise, je le reconnais volontiers.

Ce que je pensais avoir compris, c'est qu'au moment où les contraintes sont établies (notamment le produit des coefficients en dt2.dr2=c2), à ce moment là, on utilisait la limite en champ faible de Newton.

Je viens de vérifier et dans le cours de Richard Taillet, épisode 13 à la 14ème minute, il parle bien de limite newtonienne (sous-entendu, pour moi, qu'il s'agit d'une approximation).

Source : https://podcloud.fr/podcast/cours-di...ivite-generale (il faut malheureusement télécharger l'épisode en entier).

[ThM55]

J'ai regardé la vidéo. Vous l'avez mal comprise. La solution de Schwarzschild est bien une solution exacte des équations d'Einstein. Il le dit à la minute 12'30 à 33 et il le répète assez clairement quelques secondes plus tard.

Mais la constante a qui apparaît dans la solution est une constante d'intégration. On ne sait pas à ce stade ce qu'elle vaut. Il faut l'interpréter.

Pour cela on passe à la limite newtonienne et on compare. On voit que l'expression de $g_00$ est similaire. Dans le livre de Dirac que j'ai donné en référence, on montre au paragraphe 16 qu'à cette approximation où V est le potentiel newtonien. Dirac le fait en partant de l'équation des géodésiques et en passant à la limite des champs faibles et des faibles vitesses. Son résultat est général, il ne concerne pas seulement la symétrie sphérique. La comparaison montre qu'il est naturel de dire que a est égal à 2Gm/c^2 où m est la masse du corps central. Sur la vidéo il le dit à 12'45: il dit "cette expression est vraie tout le temps", il veut dire que c'est une solution exacte, même en champ fort. C'est qu'il veut dire par "tout le temps". Ensuite il passe au champs faibles et il compare pour identifier ce que vaut a. D'ailleurs pour arriver à la solution il ne fait pas la moindre hypothèse d'approximation. Il fait tout cela très vite, c'est dommage du point de vue pédagogique. Il faut au contraire insister lourdement sur ce genre de point. Le calcul lui-même n'est pas aussi intéressant.

C'est particulièrement simple, ce qui peut expliquer la confusion. Il est remarquable en effet que g_00 ait la même expression en champ faible et dans la solution exacte. Mais ce n'est plus le cas pour g_11. A l'approximation newtonienne l'expression est différente de celle de Schwarzschild.

[jacknicklaus]

Bonjour
vous confondez Rs et 2GM. Je m'explique : la solution (exacte, rigoureuse) fait intervenir une constante d'intégration souvent appellée Rs, dans les termes dt et dr : respectivement : -(1-Rs/r) dt² et (1-Rs/r)^-1 dr². A ce moment, c'est absolument exact et général.

Ensuite, on se dit qu'à grande distance, il serait souhaitable de se raccrocher à la solution Newtonienne. ce qui n'est ni plus ni moins qu'un manière tout à fait habituelle de déterminer une constante d'intégration avec les conditions physique aux limites, obtenues par l'expérience. ca donne Rs = 2GM et ca n'a rien à voir avec une approximation en champ faible.

[edit] grillé par thm55

[Sethy]

Tout d'abord, merci à tous les deux d'avoir pris le temps de regarder la vidéo et de la commenter !

Une question encore alors, a-t-il raison de modifier le signe d'égalité dans l'équation g00 = ?

Edit : je précise que je ne remettais pas en cause que la solution de Schwarzschild soit exacte. Elle est bien rigoureusement solution des équations d'Einstein. De ça, je ne discutais pas (c'est d'ailleurs ce que je précisais dans ma première intevention). C'est plus dans la suite, comme jacknicklaus le dit, lorsqu'il est question d'apporter une valeur à la constante d'intégration que je comprenais apparemment mal la portée des propos de R. Taillet.

[markusbloch]

Dans la solution de Schwarzschild (comme je suppose dans toutes les métriques de la RG), l'espace-temps est défini par une structure pseudo-riemannienne. Est-ce que cet espace vide contient quand même une densité d'énergie (qui serait générée par la courbure)? Si oui, pour quelle raison n'itère t'on pas le calcul en tenant compte de cette supposée énergie, puisque toute énergie est supposée influer sur le champ de gravitation?

[mach3]

Le sujet a été abordé à l'occasion d'une longue discussion sur le gravitoelectromagnetisme. Je vous mets un lien vers le message à partir duquel la discussion s'oriente vers un possible "tenseur énergie-impulsion" du champ gravitationnel:
https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post5207549
Il faut en particulier lire les messages d'universus et chaverondier.
Par contre il faut s'accrocher, c'est très technique.

m@ch3

[markusbloch]

Merci de l'info. C'est effectivement difficile à suivre!

[AtomeKid]

Cher ThM55,
Comment compareriez-vous cet ouvrage de Dirac avec le cours de physique théorique (Théorie des Champs) de Landau et Lifschitz ? Et, pendant que nous y sommes, à d'autres exposés de Relativité restreinte et générale (avec vos conseils).
J'ai été autrefois surpris et un peu choqué par la "dérivation" par ces derniers du tenseur de courbure, par exemple, où il assimile le rapport de deux variations mettons à une dérivée partielle .
Plus haut, j'ai également été un peu désappointé par la preuve de l'invariance du en Relativité restreinte, sauf dans le cas de l'invariance de la vitesse de la lumière ().
Ainsi, j'ai eu un peu l'impression d'entendre Einstein dire "ce ne sont que des mathématiques" ; d'un naturel inquiet, j'aimerais avoir une preuve "rassurante" de tout, que je peux vérifier même si cela me fait perdre du temps.
A propos, j'affectionne l'équation de Dirac et tout ce qu'elle a apporté de développements, mais je n'ai pas lu Dirac lui-même (disons Björken & Drell, par exemple, ou des cours de DEA en 1972).
Vers 1974, j'ai été extrêmement intéressé par la supersymétrie et la supergravité, à l'époque assez récente, mais à présent, je désespère un peu que la gravité soit une interaction au sens quantique du terme. C'est un sentiment fortement intuitif, sans plus, mais cet enthousiasme ancien a reçu un sérieux coup. La beauté de la gravitation quantique à boucles ne suffit plus à me rendre cet enthousiasme de jeunesse. La beauté d'une théorie (et sa simplicité) est une condition nécessaire mais non suffisante à sa valeur réelle dans l'avancement de notre connaissance de l'univers.
Merci de vos lumières !
AK.

[ThM55]

Cher ThM55,
Comment compareriez-vous cet ouvrage de Dirac avec le cours de physique théorique (Théorie des Champs) de Landau et Lifschitz ? Et, pendant que nous y sommes, à d'autres exposés de Relativité restreinte et générale (avec vos conseils).

Le Dirac et le Landau&Lifchitz ne sont pas du tout du même niveau. Le but de Dirac était de "liquider" l'appréhension que les étudiants pouvaient avoir devant l'appareillage mathématique en abordant la relativité générale. Il voulait arriver aux équations d'Einstein, à la solution de Schwarschild et aux principes variationnels le plus rapidement possible. Il en résulte qu'il passe sous silence la plupart des tests expérimentaux, ce n'est pas du tout son sujet, pas non plus de cosmologie, rien sur les ondes gravitationnelles (à part une curieuse preuve qu'elles sont de spin 2). C'est peu connu mais Dirac a énormément travaillé sur la relativité générale et la cosmologie et a enseignée ces matières à la fin de sa vie dans les années 1970 en Floride où il s'était établi.

Par contre le Landau&Lifschitz est sans concession, il aborde de front toutes les difficultés. Les exercices de ce cours sont connus pour leur difficulté, mais la solution est toujours donnée. Il n'est pas non plus complet, il date un peu.

Il y a beaucoup de cours plus récents. Dans ma jeunesse j'avais presque tout appris dans le Misner-Thorne-Wheeler (réédité récemment à un prix raisonnable pour un tel volume). Mais parmi les plus récents, je ferai juste une liste d'auteurs de difficulté croissante: Bernard Schutz, Ray d'Inverno (réédité et mis à jour récemment avec un co-auteur), Sean Carroll, Robert Wald, Yvonne Choquet-Bruhat. Je m'aperçois qu 'ils sont tous en anglais. Il doit en exister en français mais je ne les connais pas.

Dans le choix, il faut d'abord se demander dans quel but on étudie la relativité générale. Si c'est pour les maths et la nature des équations, il vaut mieux étudier Choquet-Bruhat. Pour les fondements théoriques et la profondeur, Wald. A l'opposé, s'il s'agit de comprendre surtout les applications à l'astrophysique et à la cosmologie, sans toutefois négliger les bases théoriques de la RG mais sans trop s'apesantir sur le formalisme, je propose le livre de Mike Guidry: Modern General Relativity. Si c'est dans le but de prolonger vers la supergravité et les cordes, un livre tout récent que j'ai eu l'occasion de feuilleter est celui de Horatio Nastase, "General Relativity" (Cambridge), mais il suppose un certain niveau en théorie des champs, y compris quantiques. Il est utile de consulter la table des matières sur le site des éditeurs ou sur les sites marchands.

[ordage]

Bonjour

Une référence sur une démonstration très claire de Painlevé en 1921 d'une forme générale du problème dont la métrique de Schwarzschild est un cas particulier (démonstration dans la deuxième partie, relative à la relativité générale, de l'article).

Painlevé P. (1921b), « La gravitation dans la Mécanique de Newton et dans la Mécanique d’Einstein », C.R.A.S., T.173, 873-887.
(à noter une coquille évidente il manque une parenthèse, dans la partie spatiale à symétrie sphérique d'une équation).

Cette contribution avait été discutée avec Mach3.


Cordialement

[mach3]

Bonjour

Une référence sur une démonstration très claire de Painlevé en 1921 d'une forme générale du problème dont la métrique de Schwarzschild est un cas particulier (démonstration dans la deuxième partie, relative à la relativité générale, de l'article).

Painlevé P. (1921b), « La gravitation dans la Mécanique de Newton et dans la Mécanique d’Einstein », C.R.A.S., T.173, 873-887.
(à noter une coquille évidente il manque une parenthèse, dans la partie spatiale à symétrie sphérique d'une équation).

Cette contribution avait été discutée avec Mach3.

voir ce fil : https://forums.futura-sciences.com/h...-generale.html

et éventuellement ce fil, où une démonstration est faite d'une forme encore plus générale que celle de Painlevé : https://forums.futura-sciences.com/a...-painleve.html

m@ch3