En vue de comprendre le modèle standard de la physique des particules

[Abitbol C137]

Bonjour,

je relance en précisant des questions. Comme d'habitude, je vais faire des affirmations/questions numérotées. Si une affirmation est incorrecte, n'hésitez pas à me le dire ! Quand j'affirme un truc, c'est que je crois que c'est vrai, et je vous invite à me détromper.

Considérons comme l'espace des phases d'une particule vivant dans un espace euclidien à une dimension : c'est-à-dire que l'état d'une particule, à un instant donné, est décrit par sa position (première coordonnée) et son "vecteur" vitesse, qui est donc un nombre (deuxième coordonnée).

On appelle observable réelle une fonction sur , et on appelle observable quantique un opérateur auto-adjoint (souvent non borné) sur .

1) La quantification a pour but d'associer à toute observable réelle une observable quantique.

2) La quantification de l'observable classique correspondant à l'application première coordonnée est l'opérateur de multiplication par la fonction identité.

3) La quantification de l'observable classique correspondant à l'application deuxième coordonnée est l'opérateur de dérivation, multiplié par et une autre constante qui n'a pas d'intérêt pour moi, pour l'instant.

4) Il y a dès lors un "problème" : la quantification ne peut pas être un morphisme pour la multiplication. En effet, vu que l'algèbre de départ est commutative, son image par un morphisme (pour la multiplication) est une algèbre commutative ; or les deux opérateurs précédents ne commutent pas.

5) Il y a une condition du style "la quantification doit être un morphisme d'algèbres de Lie" où on met le crochet de Poisson à la source et le commutateur au but ; mais elle ne m'intéresse pas pour l'instant ; c'est-à-dire que je n'ai pas compris les raisons (physiques, probablement) de l'imposer.

6) Bref, il y a quelques problèmes.

7) 0577, dans son message précédent, semblait dire qu'on pouvait donner un sens à des produits et en faisant des moyennes le long de chemins, via l'intégrale de Feynman. Je voudrais avoir plus de détails là-dessus. En particulier, j'ai regardé la page Wiki de l'intégrale de Feynman et j'ai décrit plus haut ce que je n'avais pas compris dans le passage "canonical commutation relations".

Merci pour votre aide !
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[0577]

Bonjour,

"la quantification", définie comme une méthode canonique de construction d'une théorie quantique à partir d'une théorie classique, n'existe pas. Ce n'est en soit pas surprenant. En physique, les théories "fondamentales" sont des théories quantiques. Dans certaines limites "", ces théories quantiques peuvent parfois se décrire de manière approchée comme des théories classiques. Des théories quantiques différentes peuvent donner la même théorie classique dans la limite . Il n'est donc pas étonnant que, partant d'une théorie classique, il soit en général nécessaire de faire des choix pour construire une théorie quantique. En pratique, les "bons" choix sont ceux qui produisent des théories quantiques en accord avec l'expérience. En particulier, on s'intéresse en général à des théories quantiques ayant des propriétés particulières (par exemples: locales, compatibles avec la relativité restreinte,...). Etant donné une théorie classique, il est possible qu'il n'y ait aucun choix qui conduise à une théorie quantique ayant les propriétés désirées, ou bien on peut au contraire avoir plusieurs choix produisant une théorie quantique avec les propriétés voulues (et les paramètres supplémentaires de la théorie quantique doivent alors être déterminés expérimentalement).

Dans les notations des questions 1)-4), il n'y a pas de manière canonique d'associer une observable quantique à l'observable classique . On peut choisir , ou , ou ou... Il existe certaines méthodes systématiques: par exemple toujours mettre tous les P à gauche et tous les Q à droite, ou bien mettre tous les Q à gauche et mettre tous les P à droite, ou bien prendre la moyenne de tous les choix d'ordre possibles,... L'intérêt de ces méthodes dépend du problème étudié.

Concernant 5), on peut montrer qu'il n'y a aucune méthode de quantification de qui définisse un morphisme d'algèbre de Lie (avec le crochet de Poisson à la source et le commutateur au but). D'ailleurs, il n'y a aucune raison physique de demander que ce soit le cas. La seule condition physique est que le commutateur redonne le crochet de Poisson à l'ordre dominant en (et non pas de manière exacte), ce qui garantit par exemple que la dynamique quantique se réduise à la dynamique classique dans la limite .

[Abitbol C137]

Ok, d'accord. J'ai vu sur Wiki qu'existait un théorème de Groenewold qui disait que ce n'était pas possible, déjà pour des polynômes de degré 4, et après ça parlait effectivement de trucs approchés.

Bon, mais ce que vous aviez commencé à me raconter sur l'intégrale de chemin (qu'on fait la moyenne de ), pouvez-vous le développer ou me donner une référence qui parle de ça ? Je suis vraiment resté sur ma faim car quelqu'un avait dit de manière assez cash qu'on pouvait récupérer les relations de commutations avec l'intégrale de chemin, et je n'ai pas du tout compris cette histoire-là.

[0577]

Bonjour,

pour l'intégrale de chemins, une référence efficace est l'Appendice A (intitulé "A short course on path integrals") du livre "String Theory. Volume 1", par Joseph Polchinski (une recherche rapide sur un moteur de recherche permet de trouver un pdf). Ce n'est certainement pas un exposé mathématiquement rigoureux mais c'est un bien meilleur point de départ que wikipédia.