En vue de comprendre le modèle standard de la physique des particules

[Abitbol C137]

Bonjour à toutes et à tous,

je recherche à comprendre le "modèle standard de la physique des particules". En fait, je voudrais savoir ce que sont les objets mathématiques qui entrent en jeu dans cette histoire.

J'ai plein de questions :

1) Avez-vous une référence mathématique qui parlerait de ça ?

2) Est-ce que le "modèle standard" est un théorème du style : "il ne peut y avoir que telle ou telle ou telle particule élémentaire" ? Du style le théorème qui dit qu'il y a dix-sept pavages périodiques du plan, pas un de moins, pas un de plus ? Si oui, c'est quoi une "particule"

3) Est-ce que "particule" veut dire "représentation unitaire irréductible de dimension finie de tel groupe" ? Si oui, qui est ce groupe ?

4) Je commence à cerner ce que le mot "spin" veut dire mais "charge", et "masse", je ne connais pas... C'est des représentations de groupes ?

Par exemple, la page wiki de "interaction forte" dit

D'après cette théorie, chaque quark porte une charge de couleur1 qui peut prendre trois valeurs : « bleue », « verte » ou « rouge ». Ces « couleurs » n'ont rien à voir avec la perception visuelle, c'est une analogie choisie pour rendre compte du fait qu'on obtient une charge neutre en combinant les trois charges de base, comme on peut obtenir du blanc en combinant de la lumière bleue, verte et rouge. Les antiquarks de leur côté portent une charge « antibleue » (nommée aussi jaune, et équivalente à vert+rouge), « antiverte » (nommée aussi magenta = bleu+rouge) ou « antirouge » (nommée aussi cyan = bleu+vert). Un hadron ne peut exister que si sa couleur totale est neutre ou « blanche » (ce que l'on appelle aussi un singulet de couleur). Ainsi un méson est composé d'une paire quark-antiquark qui ne peut être qu'une combinaison symétrique de « bleue » – « antibleue », « verte » – « antiverte » ou « rouge » – « antirouge ». De même un baryon est formé de trois quarks (ou trois antiquarks) qui devront porter chacun une couleur différente « bleue », « verte » et « rouge » (ou « antibleue », « antiverte » et « antirouge »), la somme des trois couleurs étant neutre.

Je ne vous cache pas que pour moi, ça ressemble à du charabia ; mais je crois que je commence à connaître la musique et je flaire des représentations de groupes là-dessous.

Bref, j'espère avoir assez étalé mon inculture et mes envies pour que vous puissiez m'orienter dans la bonne direction.

Bonne soirée !
-----

[ThM55]

1) Oui. Il y en a plein. Mais que voulez-vous dire par l'adjectif "mathématique"?

2) Non, ce n'est pas un théorème. Cela ressemble plus à un modèle (son nom ne l'indique-t-il pas?). On a un cadre théorique général qui a pour l'essentiel quatre piliers: la relativité restreinte, la théorie quantique, l'hypothèse que la théorie doit être construite sur des principes variationnels, et pour certains champs une invariance sous un groupe de jauge. Dans ce cadre on a inséré un siècle d'observations expérimentales qui dictent le contenu concret plein de champs, de termes de couplages et de constantes expérimentales. Ce contenu concret est placé et articulé dans ce cadre à 4 piliers. Remarque: la relativité générale ne fait pas partie du modèle standard.

3) Voir les premiers chapitres du volume 1 du traité de Steven Weinberg sur la théorie quantique des champs, un bon point de départ. Il explique la classification des représentations irréductibles du groupe de Poincaré (produit semi-direct du groupe de Lorentz et du groupe des translations de l'espace-temps de Minkowski) qui reproduit les caractéristiques essentielles des particules qui sont observées dans la nature, plus d'autres qui sont plus difficiles à comprendre.

4) La charge électrique est un paramètre relatif à l'invariance de jauge. On peut la comprendre comme une constante de couplage entre certains champs. La masse est encore mal comprise du point de vue théorique. Une partie de la masse observée résulte d'une brisure spontanée de la symétrie de jauge (encore un concept théorique, historiquement apparu en physique de l'état solide pour expliquer la supraconductivité et "importé" en physique des particules dans les années 1960). Une autre partie de la masse a une origine dynamique, comme énergie de liaison des particules composites. Les représentations du groupe de Poincaré distinguent nettement les états quantiques de particules massives des particules de masse nulle, comme on peut s'y attendre d'après la relativité restreinte. Mais elles ne permettent pas de comprendre pourquoi l'électron a telle masse, pourquoi les quarks en ont une autre. Par exemple la masse du muon et du lepton tau restent un mystère (du moins pour moi). Il est possible que dans le futur on finisse par mieux comprendre la masse des particules dans d'autres cadres théoriques (comme la théorie des cordes), ou pas, je n'en sais rien. Mais le modèle standard n'apporte pas d'explication.

Je l'ai peut-être déjà expliqué sur ce forum ou sur un autre: la physique théorique doit s'étudier par étapes successives. Cela ressemble à une initiation, chaque étape suppose connus des concepts et des techniques appris dans les étapes précédentes. Il est inutile pour un mathématicien d'entrer par le haut et de se dire, tiens quelles sont les représentations de groupes qu'ils utilisent? Si je le sais je vais tout comprendre. Ça ne marcherait pas. Comme je l'ai dit, il faut connaître le cadre, cela prend déjà deux ou trois ans , puis étudier le contenu et cela prend aussi du temps, c'est assez touffu (théorie quantique des champs, renormalisation, théories de jauge, brisure spontanée de la symétrie de jauge, etc). Bonne chance.

[Abitbol C137]

Je vous vouvoie puisque vous le faites vis-à-vis de moi ; mais je vous tutoierai volontiers, si vous m'y invitez (et n'hésitez pas à faire de même pour moi).

1) Ben, je ne sais pas mais quand je lis un texte de physique, j'ai l'impression qu'on est en train de m'embobiner, alors qu'un texte de maths, je peux suivre les définitions, démonstrations, etc.
En fait, je cherche juste à ce qu'on me mette un objet mathématique sous le nez et qu'on me dise "tiens, voilà un quark/lepton/truc de masse tant, de couleur ceci, de saveur cela". Ou mieux, si vous avez un texte qui dit "selon le modèle standard de la physique des particules, une particule est une représentation unitaire irréductible de tel groupe blablabla, une interaction est un trucbidule", alors ma quête sera terminée.

2) Ca ne m'arrange pas, je ne sais pas non plus ce que veut dire "modèle". Vous me dites que ce modèle contient un siècle d'observations expérimentales, et cela m'interroge. Que voulez-vous dire par là ? Est-ce que vous voulez dire quelque chose du style : "il y a des phénomènes observés expérimentalement qui contredisent les théories à propos des neutrons, protons et électrons (héhé, j'ai quelques restes de ma terminale !) que l'on avait jusque là, et qui ont nécessité l'invention théorique de plus petits morceaux pour en rendre compte", je vous répondrai que c'est votre affaire, à vous les physiciens ; ce qui m'intéresse, moi, c'est de savoir si (au hasard, je ne sais même pas si cette phrase a un sens), ce "modèle" énonce une phrase du style "un proton est un (sous-espace) du produit tensoriel de trois représentations de groupes de quark, deux up et un down".

3) Je crois que chez les mathématiciens, la théorie quantique des champs a mauvaise presse, au motif qu'elle ne serait pas mathématiquement fondée... Je veux bien regarder mais j'ai peur d'y trouver ce que je ne veux pas voir. Par contre, cette histoire de classification des représentations de ce groupe, là, c'est quelque chose sur laquelle mon imagination aura plus de prise.

4) Je suis désolé, mais je ne sais pas ce qu'est l'"invariance de jauge" ni ce qu'est un "couplage". Mais je note que "la masse est encore mal comprise". En ce qui concerne le chemin naturel pour étudier la physique théorique, ben... J'ai l'idée générale que souvent l'enseignement d'une discipline sélectionne de manière inconsciente, parmi les personnes qui l'étudient, celles qui arrivent à comprendre certaines choses d'elles-mêmes, ceci étant vrai en maths et probablement en physique. Je m'estime parmi les sélectionnés en maths, mais parmi les "recalés" de la physique (la preuve, j'ai du mal avec tous les textes de physique que je rencontre). Ainsi, je crois sincèrement que le chemin que vous me proposez mènera à un échec. D'ailleurs, je ne sais pas si vous avez bien cerné mon but : je ne souhaite pas "comprendre la physique théorique" (d'ailleurs, je ne sais même pas ce que ça veut dire). Je veux savoir quel est l'objet mathématique sous-jacent (comme, de manière simplifiée, les équations différentielles du second ordre sont l'objet mathématique sous-jacent à la mécanique newtonienne), savoir quel genre de difficultés mathématiques apparaissent, avoir une vague idée des raisons historiques qui ont poussé les physiciens à étudier ces choses, faire de jolies maths. En un certain sens, ces besoins m'avantagent par rapport à une personne qui voudrait étudier la physique théorique, puisque j'espère justement arriver à extraire la petite partie mathématique qui est la seule qui m'intéressera.

Par exemple, avant de m'intéresser au spin, je pensais que SU(2) était un groupe d'un ennui profond puisque toutes ses représentations irréductibles sont de dimension finie, que c'était le plus petit des SU(n) à ne pas être abélien, et qu'il était juste bon à amuser des générations d'étudiants de mathématiques le temps d'un examen. Mais maintenant que j'ai avancé sur le spin, je ne vais certes pas vous dire que j'ai "compris" le spin, mais je vois SU(2) d'un autre oeil ; ça me permet de faire de l'analyse, de la géométrie et de l'algèbre et ça m'amuse beaucoup ! Au passage, je vous remercie pour tout ce que vous m'avez appris jusque là.

Je vous remercie pour votre mise en garde ; si c'est cela qui vous inquiète, je peux vous promettre que je ne persévérerai pas dans une impasse : je fais ça pour le plaisir et j'ai une tonne d'autres choses sur la liste des maths que je voudrais connaître avant de mourir, alors j'irai faire autre chose si la physique ne me réussit pas ! Mais je dois dire que pour l'instant, ce que j'ai appris sur le spin me donne envie de continuer dans cette voie.

[ThM55]

Sur un forum, si on ne se connait pas personnellement on a le choix entre le vouvoiement de politesse ou le tutoiement de camaraderie (que j'assimile au tutoiement révolutionnaire). Je n'ai pas de préférence, mais comme "tu" a deux lettres et "vous" en contient quatre, ce sera plus économique de se tutoyer.

D'ailleurs, je ne sais pas si vous avez bien cerné mon but : je ne souhaite pas "comprendre la physique théorique"

. Pourtant ton titre parle de "comprendre le modèle standard."

Je crois que l'éloignement des mathématiciens et des physiciens est dommageable pour tout le monde. Elle est due d'abord à des questions de langage. Un exemple entre mille: j'ai sous les yeux un article de physique où l'auteur utilise le même symbole pour représenter une fonction f et sa transformée de Fourier. Il les distingue simplement en désignant l'argument de l'une par x et et celui de l'autre par k: . Jamais un mathématicien ne fera cela. Pour le mathématicien, le symbole f désigne une fonction unique et pas sa transformée, qui est une autre fonction. C'est pourtant très commun en physique. Le plus flagrant est la thermodynamique où diverses fonctions sont désignées par le même symbole selon les variables thermodynamiques dont elles dépendent. Pourtant, ce sont des fonctions différentes, on les obtient par composition avec des fonctions distinctes. On le fait car in fine elle représentent toutes la même grandeur physique (par exemple l'entropie, toujours désignée par S quel que soit l'ensemble des variables dépendantes choisi). Quand on prend les dérivées partielles on est alors obligé de spécifier quelles variables sont laissées constantes. J'ai connu un grand professeur de mathématiques qui n'avait jamais pu comprendre la thermodynamique à cause de cela jusqu'au jour où je lui expliqué le truc.

Il y a aussi un état d'esprit différent. Le mathématicien et physicien bien connu Robert Ritchmyer (assistant de Von Neumann et Courant) avait comparé cela avec une équipe de déchiffrement de codes militaires en temps de guerre. Les mathématiciens ont souvent joué un rôle essentiel dans cette activité. On connaît bien Turing, mais on oublie qu'un des meilleurs cryptanalystes de Bletchley Park à l'époque était un helléniste habitué à déchiffrer des manuscrits anciens. Le cryptanalyste utilise tous les moyens à sa disposition, par exemple des erreurs commises par l'ennemi dans l'utilisation des appareils de chiffrement, son intuition, qui peut être très fine et en partie inconsciente, etc. S'il fait une trouvaille et obtient à partir des éléments qu'il a rassemblés un texte parfaitement clair écrit (pour le cas de Bletchley Park) dans un allemand correct et avec une signification complètement sensée, il va arrêter là ses recherches. En particulier, si un mathématicien intervient à ce moment et veut lui prouver un théorème d'unicité pour s'assurer qu'il a bien trouvé la bonne manière de déchiffrer, le cryptanalyste va accueillir cette proposition avec une certain indifférence teintée de mépris. C'est un peu la même chose pour le physicien. La théorie quantique des champs a occupé ces dernier temps de grands mathématiciens (comme Deligne) mais leurs efforts viennent largement en retard, les physiciens "savent" que ce qu'ils ont trouvé tient la route et est suffisant pour expliquer les expériences. Ils ne lisent même pas ce que les mathématiciens écrivent sur le sujet. Ils ont tort à mon avis, mais c'est cet état d'esprit qu'il faut comprendre.

Il n'y a pas que la théorie des groupes qui joue un rôle. Ce rôle reste d'ailleurs selon moi un peu mineur malgré sa centralité: il ne permet de déchiffrer qu'une moitié des données expérimentales. Le reste fait intervenir d'autres branches des mathématiques comme l'analyse fonctionnelle ou la topologie. La théorie quantique des chamsp a mauvaise réputation chez les mathématiciens à cause du procédé de renormalisation qui semble faire quelque chose comme . Mais c'est une erreur, il est possible de formuler cette théorie en exprimant tout du début à la fin avec seulement des grandeurs finies et mesurables. Les champs sont formulés dans le cadre parfaitement rigoureux de la théorie des distributions. Seulement cette formulation mathématiquement correcte a été trouvée par Esptein et Glaser à la fin des années 1960, soit 20 ans après la découverte de la méthode de renormalisation par Schwinger, Feynman et Tomonaga. Et pratiquement personne ne l'enseigne, ce qui fait que des générations de physiciens l'ignorent. Certain théorèmes, comme le théorème spin-statistique (essentiel pour le modèle standard) et le théorème CPT ont une formulation mathématiquement irréprochable dans le cadre de la théorie des champs. Je pourrais te donner quelques références sur le théorie des champs qui parlent de ces sujets.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Abitbol C137]

Ouf, alors va pour le tutoiement de camaraderie.

Ce que je voulais dire c'est que le mot "comprendre" a un sens qui dépend beaucoup de si la personne qui le prononce est mathématicienne ou physicienne. Par exemple, le fameux théorème de Noether sur les symétries : j'ai le souvenir d'avoir entendu des matheux dire que c'était une trivialité, alors que la page wiki a l'air d'y accorder une très grande importance en physique. Et donc, vu que ma sensibilité est matheuse et que je n'ai jamais lu l'énoncé de ce théorème, je pense que j'arriverai plus rapidement à me dire que j'ai "compris" ce théorème (au sens matheux) qu'un physicien qui voudrait "comprendre" ce théorème (au sens physicien), c'est tout !

Et je suis bien d'accord avec le reste : une notation qui ne différencierait pas une fonction de sa transformée de Fourier me rendrait la lecture très pénible, et il faudrait que je réécrive entièrement le texte avec des notations "correctes" avant de pouvoir commencer à le lire sereinement. Pour tout vous dire, la convention de sommation d'Einstein est pour moi un mystère ! Mais je suis fier de dire qu'après plusieurs années d'efforts, j'ai compris la notation "bra-ket" hahahaha !

Enfin, je vais te donner deux exemples pour que tu voies un peu quelle compréhension je recherche. J'avais beaucoup de mal à comprendre pourquoi les observables de la mécanique quantique étaient des opérateurs, notamment par le fait que les opérateurs, en mathématiques, ont vocation à manger un vecteur et en sortir un autre ; or, physiquement, cela n'a pas de sens de parler de l'image d'un état par une observable. Bref, jusqu'au moment où j'ai compris (grâce à un livre de Constantin Piron et un autre de Valter Moretti) que la clef du truc, c'était que l'objet mathématique "opérateur auto-adjoint" était seulement une manière très pratique d'encoder les "projection-valued measures" ("mesures spectrales" en français) à valeurs dans l'ensemble des réels. Et là, ma compréhension a fait un bond phénoménal.
Ensuite, l'opérateur quantité de mouvement me donnait des maux de ventre, jusqu'à ce que je me rende compte qu'en dimension 1, les (le LaTeX ne semble plus marcher chez moi, quand j'en écris, j'ai une petit image bizarre ; et d'ailleurs, il y a une petite image bizarre comme ça, dans ton message, ThM55)

x flèche e^{iax}

enfin, les rayons associés à ces fonctions, sont exactement ceux qui sont fixes simultanément par toutes les symétries d'espace ; et quand on a un tel rayon en face de soi, comment faire pour retrouver le "a" ? Il suffit de dériver. Et, "comme par hasard", comme en dimension un, les symétries d'espaces forment un groupe à un paramètre de symétries, quel est le générateur infinitésimal ? L'opérateur quantité de mouvement.

Je dois dire que je me demande encore pourquoi mon chemin vers ces idées a été si tortueux, et si je n'ai pas loupé une référence bien connue des physiciens qui l'explique dans ce langage-ci.

Eh bien, pour le modèle standard, c'est ça que je voudrais : voir s'il n'y a pas un objet mathématique que les physiciens manipuleraient avec une telle liberté et virtuosité que ce qu'il est vraiment m'est rendu invisible.

Bon, en ce moment, je suis en train d'avancer vers l'idée suivante : j'ai l'impression que ce ne sont pas toutes les observables qui intéressent les physiciens, mais souvent (seulement ?) celles qui proviennent de générateurs infinitésimaux de groupes à un paramètre de symétries (le spin étant celui des rotations autour d'un axe et l'hamiltonien comme celui du groupe d'évolution temporelle) ; je crois que ça a un truc avoir avec le théorème de Noether... D'ailleurs, n'hésitez pas à me corriger si je dis des bêtises.

En tout cas, c'est pour ça que j'espère que le modèle standard, ce n'est que des représentations de groupes : si c'est le cas, je regarderai lesquelles, j'essaierai de trouver des générateurs infinitésimaux, constaterai que ce sont, comme par hasard, les observables qui vous intéressent, et bingo, j'aurai "compris".

[Gilgamesh]

Si tu veux comprendre un peu en quoi consiste les mathématiques du modèle standard, je te conseille cette chaîne : Scientia Egregia

[Abitbol C137]

Chouette, merci, je vais regarder !

[Resartus]

Bonjour,

En tout cas, c'est pour ça que j'espère que le modèle standard, ce n'est que des représentations de groupes

Décidément, quand on n'a qu'un marteau, on essaye de tout faire passer pour des clous…

Ben non, la physique, ce n'est pas que des maths, même quand elle utilise énormément de théories mathématiques complexes. La réponse de Thm55 me semblait pourtant parfaitement claire...

[Abitbol C137]

Décidément, quand on n'a qu'un marteau, on essaye de tout faire passer pour des clous…

Oui, oui, c'est ça ! Je suis un marteau mathématique, et donc j'ai le souhait de ne rencontrer que des clous mathématiques. Le contraire serait étonnant, non ?

Ben non, la physique, ce n'est pas que des maths

Qui a dit ça ? J'ai dit le contraire : je ne veux comprendre, de cette partie de la physique, que le tout petit morceau de mathématiques. C'est moi qui ne suis peut-être pas clair...

J'ai l'impression que tu es agacé, au motif que je serais en train de vouloir réduire la physique aux maths. Je suis désolé si tu es agacé. Je vais user d'une autre métaphore : mettons que vous, les physiciens, êtes les auteurs d'une grande bande dessinée. Moi, j'arrive, n'étant intéressé que par des questions typographiques ; mais j'ai du mal à tirer ce que je veux de votre BD, car le texte est en surimpression sur des images contenant beaucoup de détails. Le dialogue est difficile, car pour vous, bien sûr, le texte a beaucoup à voir avec les images, et le plaisir intellectuel que vous retirez de cette BD, c'est le subtil mélange des deux. Moi, je suis insensible aux images, par contre, les polices avec ou sans serif, ça oui, c'est ça qui m'inspire. Du coup, si un jour, je m'exclame de joie en disant : "Oh, mais c'est bon, j'ai compris : en fait, vous n'utilisez que du Times New Roman !", devrais-tu te sentir agacé ?

Je ne vais pas m'étendre plus sur mes motivations. Je vais essayer de mettre en signature quelque chose qui va dans ce sens.

[Gilgamesh]

Là, par exemple moi je viens de me régaler avec Séries divergentes, mécanique quantique et intégrales de chemin.

[Abitbol C137]

Désolé, je vais écrire des formules sans LaTeX parce que je ne les vois pas, sur mon ordi (je ne vois que des images bizarres, comme celles que mon navigateur affiche quand il n'arrive pas à afficher une image sur un site).

@Gilgamesh : Je viens de regarder la première vidéo sur le scalaire libre, et la vidéo sur les séries divergentes, la mécanique quantique et les intégrales de chemin. Tout d'abord, je te remercie de m'avoir montré cette chaîne.
Voici ce que j'en ai pensé :
Sur le scalaire libre, j'ai été très surpris. En fait, je ne comprends pas ce qui est quantique là-dedans. Si on se donne un ensemble E, muni d'une mesure mu de probabilité, et une fonction f de E vers R, on peut considérer sa moyenne, comme l'intégrale de cette fonction f sur E, par rapport à la mesure mu. En théorie des probabilités, on appelle ce nombre l'espérance de f. C'est fondamentalement classique, non ? N'est-ce pas ce que vous appelez la mécanique statistique ? J'ai l'impression qu'ici, il choisit, pour E, l'espace des "champs", et munit E, sans révéler les problèmes mathématiques qu'il y a derrière (et je le comprends) d'une probabilité à l'aide d'une densité qui est censée charger d'autant plus les champs dont l'"action" est petite. Eh bien, je ne vois pas ce qui est quantique, là-dedans... Je veux dire que si les observables sont des fonctions sur un espace (l'espace des champs ou une variété ou autre chose) alors je considère que c'est classique ; et que par contre, si les observables sont (faisons un raccourci) des opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert, alors je considère que c'est quantique. Qu'en penses-tu et qu'en pensez-vous ? Si je dis des bêtises, n'hésitez pas à me le dire !
Sur les séries divergentes (au passage, je croyais que le "entière" de "série entière" faisait référence aux puissances, qui sont entières, et pas au fait que la série n'est pas tronquée, et donc est entière ) je dois dire que ce qu'il explique sur l'intégrale de chemin ne m'a pas plus éclairé que ce que j'ai pu lire dans le livre de Zinn-Justin.

[invite741b54dd]

Bonsoir,

Si on se donne un ensemble E, muni d'une mesure mu de probabilité, et une fonction f de E vers R, on peut considérer sa moyenne, comme l'intégrale de cette fonction f sur E, par rapport à la mesure mu. En théorie des probabilités, on appelle ce nombre l'espérance de f. C'est fondamentalement classique, non ?

ça dépend. En physique quantique (à la Feynman), il y a des grandeurs imaginaires qui surgissent naturellement et font qu'un mathématicien hésitera à utiliser les mots et expressions que vous employez.

N'est-ce pas ce que vous appelez la mécanique statistique ?

quand tout reste réel, oui. Le lien entre les deux est simple et obscur à la fois :

https://en.wikipedia.org/wiki/Wick_rotation
https://ncatlab.org/nlab/show/Wick+rotation

je pense que vous pourriez commencer par lire la page wikipedia sur l'intégrale de chemin... elle contient de nombreuses informations qui semblent vous avoir échappé :

https://en.wikipedia.org/wiki/Path_i...interpretation

[Gilgamesh]

Désolé, je vais écrire des formules sans LaTeX parce que je ne les vois pas, sur mon ordi (je ne vois que des images bizarres, comme celles que mon navigateur affiche quand il n'arrive pas à afficher une image sur un site).

@Gilgamesh : Je viens de regarder la première vidéo sur le scalaire libre, et la vidéo sur les séries divergentes, la mécanique quantique et les intégrales de chemin. Tout d'abord, je te remercie de m'avoir montré cette chaîne.
Voici ce que j'en ai pensé :
Sur le scalaire libre, j'ai été très surpris. En fait, je ne comprends pas ce qui est quantique là-dedans. Si on se donne un ensemble E, muni d'une mesure mu de probabilité, et une fonction f de E vers R, on peut considérer sa moyenne, comme l'intégrale de cette fonction f sur E, par rapport à la mesure mu. En théorie des probabilités, on appelle ce nombre l'espérance de f. C'est fondamentalement classique, non ? N'est-ce pas ce que vous appelez la mécanique statistique ? J'ai l'impression qu'ici, il choisit, pour E, l'espace des "champs", et munit E, sans révéler les problèmes mathématiques qu'il y a derrière (et je le comprends) d'une probabilité à l'aide d'une densité qui est censée charger d'autant plus les champs dont l'"action" est petite. Eh bien, je ne vois pas ce qui est quantique, là-dedans... Je veux dire que si les observables sont des fonctions sur un espace (l'espace des champs ou une variété ou autre chose) alors je considère que c'est classique ; et que par contre, si les observables sont (faisons un raccourci) des opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert, alors je considère que c'est quantique. Qu'en penses-tu et qu'en pensez-vous ? Si je dis des bêtises, n'hésitez pas à me le dire !
Sur les séries divergentes (au passage, je croyais que le "entière" de "série entière" faisait référence aux puissances, qui sont entières, et pas au fait que la série n'est pas tronquée, et donc est entière ) je dois dire que ce qu'il explique sur l'intégrale de chemin ne m'a pas plus éclairé que ce que j'ai pu lire dans le livre de Zinn-Justin.

La thématique de sa chaîne est effectivement plus générique.

Ensuite si la vidéo sur l'intégrale de chemin ne vous a rien appris, effectivement je ne pense pas qu'un contenu en ligne pourra vous faire avancer

[Abitbol C137]

Comme pour ThM55, je préfère que vous me tutoyiez. Je vous vouvoierai jusqu'à obtenir votre accord pour un tutoiement. En outre, je souhaite préciser que je ne fais preuve d'aucune ironie, et si ces messages étaient ceux d'une discussion de la vraie vie, ils seraient énoncés sur le ton calme et prudent d'une personne qui souhaite humblement apprendre des choses, mais qui est convaincue que des différences langagières et de sensibilité peuvent troubler la communication.

En physique quantique (à la Feynman), il y a des grandeurs imaginaires qui surgissent naturellement et font qu'un mathématicien hésitera à utiliser les mots et expressions que vous employez.

Mmmmh, j'avoue ne pas voir pourquoi. Le côté de la quantique qui m'intéresse, c'est le fait que les observables ne soient pas des fonctions sur un espace de configurations. Je ne veux pas croire que la théorie quantique des champs soit d'une nature "classique" (au sens que j'ai essayé de décrire, n'hésitez pas à me dire si ce n'est pas clair ou si je dis des bêtises) ; si j'étais convaincu que c'était le cas, j'arrêterai tout de suite de vouloir en savoir plus. Je voudrais pouvoir me plonger dans les détails, voir s'il y a un espace de Hilbert et des opérateurs auto-adjoints dessus pour me prononcer.

Quand à la page wiki à laquelle vous faites référence, si j'ai bien compris, et en quelques mots, il s'agit de considérer que le temps est l'ensemble des nombres complexes et pas l'ensemble des nombres réels ? Je ne vois pas bien ce que ça change ; d'ailleurs je ne suis pas sûr de savoir ce qu'est le temps.

Quand à l'intégrale de chemin, pouvez-vous préciser ? Là, pour le coup, je suis sûr qu'il y a quelque chose là-dedans qui me ravira quand je l'aurai compris ! C'est juste que pour l'instant, je n'ai pas compris ; mais je trouve que la page wiki ne m'aide pas beaucoup sur le chemin que je souhaite prendre.

@Gilgamesh : Comment ça, un contenu en ligne ne pourrait rien m'apporter ? Je me suis mal exprimé. Ce que je voulais dire, mais que je n'ai pas dit, c'est que ce qu'il a expliqué, à propos de l'intégrale de chemin, il semble l'avoir très bien expliqué. Malheureusement pour moi, son explication répond à des questions qui ne m'intéressent pas. Et je ne veux pas dire que j'ai compris ce qu'il a dit ; je veux dire que je ne suis pas encore sûr d'avoir envie de comprendre ce qu'il a dit.

@toutes et tous : Tenez, un exemple : dans cette vidéo, en cinq minutes, cet homme dresse un portrait du modèle standard. Il semble dire qu'un fermion, c'est tout juste (une section d')un fibré sur une variété, dont les fibres sont des espaces vectoriels sur C de dimension finie, munies d'une action d'un groupe qu'il dit "de jauge". Après, pour les bosons, il dit un truc mathématique que je ne comprends pas parce que dedans, il y a des mots et des notations que je ne connais pas (mais bon, si je google "dérivée covariante", au bout d'un moment - peut-être vingt ans, j'ai une phobie du calcul différentiel - je devrais comprendre, sauf s'il a fait des abus de langage auxquels je ne suis pas encore initié). Et puis boum, le boson de Higgs est une application de la variété vers l'ensemble des nombres complexes.
Est-ce qu'il a tort ? Est-ce que j'ai mal compris ? Est-ce qu'il ne dit qu'une infime partie de la théorie ? Est-ce que les bosons sont aussi des sections d'un fibré ? Est-ce que ce qu'il dit vous déplaît ? Est-ce qu'il vous semble être un rustre qui se contenterait de vous donner la partition d'un concerto de Mozart sans vous le jouer et vous permettre d'apprécier la mélodie ? Aucune de ces questions n'est ironique, je vous prie de le croire. Je pense que vos réponses à ces questions m'aiderait un peu à comprendre l'ampleur du malentendu.

[invite741b54dd]

Bonsoir,

si ces messages étaient ceux d'une discussion de la vraie vie, ils seraient énoncés sur le ton calme et prudent d'une personne qui souhaite humblement apprendre des choses, mais qui est convaincue que des différences langagières et de sensibilité peuvent troubler la communication.

certes. Mais, pour reprendre votre métaphore, vous donnez l'impression de quelqu'un qui ne s'intéresse même pas à toute la typographie, mais uniquement à l'étude d'une partie de certaines lettres... en tant que mathématicien, vous comprendrez aisément que ce n'est pas la meilleure façon d'acquérir une vision globale, fut-ce-t'elle uniquement typographique. Si vous voulez juste lire des textes dans lesquels vous reconnaissez des mots que vous aimez bien, pourquoi vous embêter à regarder de la physique ? Ou pourquoi aller lire des choses quantiques ? on peut parfaitement introduire de beaux espaces de Hilbert et des opérateurs hermitiens dans un cadre classique (au sens non-quantique).

Mmmmh, j'avoue ne pas voir pourquoi. Le côté de la quantique qui m'intéresse, c'est le fait que les observables ne soient pas des fonctions sur un espace de configurations.

vous avez en tête une formulation précise de la physique quantique. Mais, tout comme la mécanique classique peut-être formulée à l'aide des lois de Newton (forces menant directement à des équations différentielles) ou en termes de géométrie symplectique (formalisme de Poisson), il n'y a pas UNE SEULE formulation de la physique quantique. Si vous n'êtes pas prêt à faire l'effort de lire quelques lignes qui expliquent comment un formalisme proche de celui des marches aléatoires mais intégrant des nombres complexes mène à une théorie qui englobe celle que vous avez en tête, je ne pense rien pouvoir faire pour vous.

Je ne veux pas croire que la théorie quantique des champs soit d'une nature "classique" (au sens que j'ai essayé de décrire, n'hésitez pas à me dire si ce n'est pas clair ou si je dis des bêtises) ; si j'étais convaincu que c'était le cas, j'arrêterai tout de suite de vouloir en savoir plus.

la croyance n'a pas sa place en science. Si vous savez déjà, pourquoi lire ?

Je voudrais pouvoir me plonger dans les détails, voir s'il y a un espace de Hilbert et des opérateurs auto-adjoints dessus pour me prononcer.

Le formalisme en terme d'intégrales de chemin est bien plus riche que ce que vous recherchez (et on peut parfaitement l'utiliser sans qu'il y ait la moindre référence à la notion d'espace de Hilbert même si le physicien préférera mélanger les formulations mathématiques pour avoir une vision plus riche) :

Dirac's work did not provide a precise prescription to calculate the sum over paths, and he did not show that one could recover the Schrödinger equation or the canonical commutation relations from this rule. This was done by Feynman

Feynman showed that this formulation of quantum mechanics is equivalent to the canonical approach to quantum mechanics when the Hamiltonian is at most quadratic in the momentum. An amplitude computed according to Feynman's principles will also obey the Schrödinger equation for the Hamiltonian corresponding to the given action.

(...) For these reasons, the Feynman path integral has made earlier formalisms largely obsolete.

(...) The path integral itself also deals with larger mathematical spaces than is usual, which requires more careful mathematics, not all of which has been fully worked out.

quant à l'identification de l'espace de Hilbert correct, c'est en quelque sorte le problème fondamental et irrésolu de la gravitation quantique (en formalisme canonique). Vous comprendrez que ce n'est pas toujours une affaire aisée.

Je ne vois pas bien ce que ça change ; d'ailleurs je ne suis pas sûr de savoir ce qu'est le temps.

aucune importance. Dans un premier temps vous pouvez garder la définition newtonienne voire antique : le nombre du mouvement.

Est-ce qu'il a tort ? Est-ce que j'ai mal compris ? Est-ce qu'il ne dit qu'une infime partie de la théorie ? Est-ce que les bosons sont aussi des sections d'un fibré ?

dès que vous lisez le mot "champ" dans un cadre physique vous pouvez entendre "section d'un fibré" si ça vous fait plaisir. Pas besoin d'être quantique ou même relativiste pour cela. Au risque de me répéter : il n'y a pas UNE formulation mathématique de la physique, qu'elle soit newtonienne, einsteinienne ou quantique... Si vous décidez de vous concentrer sur une seule approche, vous serez un peu comme quelqu'un qui veut étudier la typographie en ne regardant que la moitié supérieure des lettres. Ce n'est pas interdit, mais... Et j'ajouterais que la précipitation avec laquelle vous semblez vouloir aborder tout cela ne me paraît pas propice à une bonne compréhension. Je n'ai pas regardé la vidéo, mais ce que vous en citez semble cohérent. Quant à l'intérêt d'accumuler autant de concepts physico-mathématiques sans les préciser, je ne me prononcerai pas dessus...

[Abitbol C137]

vous comprendrez aisément que ce n'est pas la meilleure façon d'acquérir une vision globale

Oui, je suis d'accord. C'est pour ça que ce n'est pas mon but !

Si vous voulez juste lire des textes dans lesquels vous reconnaissez des mots que vous aimez bien, pourquoi vous embêter à regarder de la physique ? Ou pourquoi aller lire des choses quantiques ?

Ben les "mystères quantiques" font quand même partie des plus belles choses de ce monde, non ? A vrai dire, le gros de mon intérêt est porté sur l'informatique quantique et sur les problèmes des fondations de la mécanique quantique. Et je prétends que pour arriver à saisir ce qu'ont de miraculeux les algorithmes de Deutsch et Grover (Shor, je ne connais pas encore), il n'y a pas besoin de mathématiques bien compliquées (un tout petit peu d'algèbre hermitienne !), ni de beaucoup de physique.
On est d'accord que la mécanique quantique défie l'intuition, dans certaines situations, n'est-ce pas ? Ce que j'aime, c'est arriver à toucher du doigt ces mystères-là en faisant le moins de physique possible, parce que je suis nul en physique. Et ce, pour mon plaisir personnel uniquement, je ne compte pas devenir physicien théoricien. J'espère que je suis clair.

vous avez en tête une formulation précise de la physique quantique.

C'est vrai ! Mais je crois avoir déjà pas mal réfléchi à ce qui, dans ce cadre, autorise les mystères quantiques.

Si vous n'êtes pas prêt à faire l'effort de lire quelques lignes qui expliquent comment un formalisme proche de celui des marches aléatoires mais intégrant des nombres complexes mène à une théorie qui englobe celle que vous avez en tête

Ben, d'un point de vue "structure de la théorie", c'est plus que "je n'y crois pas" : c'est "je crois fermement que ce n'est pas possible" : la théorie des marches aléatoires comme on la fait dans un cours de probabilités est (dites-moi si je me trompe) une théorie déterministe à variables cachées et vu les théorèmes d'impossibilité, c'est une théorie "banale" au sens de la force des corrélations non locales qu'elle autorise. Et je ne vois pas pourquoi autoriser des amplitudes de probabilité complexes va y changer quelque chose. Je parle bien d'une intuition technique, ici. J'insiste encore un coup : je fais l'affirmation de portée scientifique que la théorie des marches aléatoires classique ne peut décrire des phénomènes intrinsèquement quantiques comme la "magie de l'intrication". Donc, justement, c'est pour ça que je ne suis impatient d'apprendre la partie qui ressemble à la théorie des marches aléatoires : c'est que je crois que ce qui m'intéresse n'y est pas.

la croyance n'a pas sa place en science. Si vous savez déjà, pourquoi lire ?

Là, je le prends plutôt sur le ton de la boutade : je ne vais pas construire une centrale nucléaire, je cherche des sujets de réflexion pour mon propre plaisir intellectuel quand je suis à la plage ou que je n'arrive pas à dormir la nuit.

Le formalisme en terme d'intégrales de chemin est bien plus riche que ce que vous recherchez (et on peut parfaitement l'utiliser sans qu'il y ait la moindre référence à la notion d'espace de Hilbert

Je pense avoir déjà répondu ci-dessus.

one could recover the Schrödinger equation or the canonical commutation relations from this rule

D'accord, mais pour moi, l'équation de Schrödinger n'est qu'un corollaire du fait que l'évolution temporelle se fait via un groupe à un paramètre d'unitaires. Ce n'est pas ce qui m'amuse le plus, en mécanique quantique. J'avoue ne pas savoir exactement de quoi l'article parle quand il dit qu'on peut récupérer les relations de commutation canoniques avec l'intégrale de chemin. Je vais essayer de regarder.

this formulation of quantum mechanics is equivalent to the canonical approach to quantum mechanics

A mon avis, c'est une phrase beaucoup trop vague pour je puisse en tirer quelque chose de concret. Que veut dire "équivalent" ? Je pense qu'on en aurait pour des heures. Et au vu de mes objections simples, je pense juste que l'article wikipédia n'entend pas la même chose que moi, même si je n'arrive pas à formuler précisément ce que veut dire "équivalent", à mes yeux.

the Feynman path integral has made earlier formalisms largely obsolete

Bon, c'est une phrase militante plus qu'autre chose, non ?

The path integral itself also deals with larger mathematical spaces than is usual, which requires more careful mathematics, not all of which has been fully worked out.

Oui, oui, c'est galère de trouver une mesure sur un espace de chemins en général, et du coup il faut se lever de bonne heure et faire de l'analyse très pointue. D'accord. Mais je ne vois pas où tu veux en venir en citant ce passage.

quant à l'identification de l'espace de Hilbert correct, c'est en quelque sorte le problème fondamental et irrésolu de la gravitation quantique (en formalisme canonique)

Ah oui ? Mince alors !

dès que vous lisez le mot "champ" dans un cadre physique vous pouvez entendre "section d'un fibré" si ça vous fait plaisir

Ah, chouette, merci ! Et est-ce que vous pouvez me dire quelles sont les fibres des fibrés dont les bosons seraient les sections ?

Et j'ajouterais que la précipitation avec laquelle vous semblez vouloir aborder tout cela ne me paraît pas propice à une bonne compréhension.

Merci de me le préciser franchement. J'en prends note.

Quant à l'intérêt d'accumuler autant de concepts physico-mathématiques sans les préciser, je ne me prononcerai pas dessus...

Est-ce moi ou le monsieur de la vidéo que j'ai postée que vous accusez ? Si c'est le monsieur, je crois que je suis d'accord pour dire que sa vidéo n'a pratiquement pas de contenu informatif... Mais c'est quand même la première personne à m'avoir dit qu'un fermion était une section d'un fibré de fibre un espace vectoriel complexe de dimension finie.

[invite741b54dd]

Bonjour,

Ben les "mystères quantiques" font quand même partie des plus belles choses de ce monde, non ?

oui, c'est pour ça que je ne comprends pas trop votre approche qui consiste quand même un peu à essayer dès le départ de faire tout pour ne pas pouvoir "véritablement" les comprendre/aborder.

A vrai dire, le gros de mon intérêt est porté sur l'informatique quantique et sur les problèmes des fondations de la mécanique quantique.

pour le premier, vous pouvez effectivement rester dans le formalisme canonique si vous voulez, mais si les fondations de la physique quantique vous intéressent, refuser d'aller regarder de près la formulation à la Feynman est un non-sens.

Et je prétends que pour arriver à saisir ce qu'ont de miraculeux les algorithmes de Deutsch et Grover (Shor, je ne connais pas encore), il n'y a pas besoin de mathématiques bien compliquées (un tout petit peu d'algèbre hermitienne !), ni de beaucoup de physique.

effectivement

On est d'accord que la mécanique quantique défie l'intuition, dans certaines situations, n'est-ce pas ? Ce que j'aime, c'est arriver à toucher du doigt ces mystères-là en faisant le moins de physique possible, parce que je suis nul en physique. Et ce, pour mon plaisir personnel uniquement, je ne compte pas devenir physicien théoricien. J'espère que je suis clair.

oui, mais dans ce cas-là ne perdez pas votre temps à essayer de comprendre les "principes fondamentaux". Vous toucherez au mieux les "postulats d'une approche incomplète de la physique quantique". Ceci dit, ça peut déjà être très intéressant, donc vous privez pas

C'est vrai ! Mais je crois avoir déjà pas mal réfléchi à ce qui, dans ce cadre, autorise les mystères quantiques.

je n'en doute pas

Ben, d'un point de vue "structure de la théorie", c'est plus que "je n'y crois pas" : c'est "je crois fermement que ce n'est pas possible" : la théorie des marches aléatoires comme on la fait dans un cours de probabilités est (dites-moi si je me trompe) une théorie déterministe à variables cachées et vu les théorèmes d'impossibilité, c'est une théorie "banale" au sens de la force des corrélations non locales qu'elle autorise. Et je ne vois pas pourquoi autoriser des amplitudes de probabilité complexes va y changer quelque chose. Je parle bien d'une intuition technique, ici. J'insiste encore un coup : je fais l'affirmation de portée scientifique que la théorie des marches aléatoires classique ne peut décrire des phénomènes intrinsèquement quantiques comme la "magie de l'intrication". Donc, justement, c'est pour ça que je ne suis impatient d'apprendre la partie qui ressemble à la théorie des marches aléatoires : c'est que je crois que ce qui m'intéresse n'y est pas.

vous vous trompez sur tout ça. Comme indiqué dans les citations qui précèdent, Feynman a ouvert une boîte de Pandore et prouvé que l'on retrouve toute l'algèbre quantique à partir de sa formulation. Ce qui vous semble n'être qu'un simple "i" (dont le carré vaut -1) change énormément de choses. Vous avez la même situation en relativité générale : passer d'une variété riemannienne à une variété pseudo-riemannienne, ce qui peut se faire par un simple rotation de Wick (cf message précédent), a de nombreuses conséquences non-triviales, tant mathématiques que physiques.

Là, je le prends plutôt sur le ton de la boutade : je ne vais pas construire une centrale nucléaire, je cherche des sujets de réflexion pour mon propre plaisir intellectuel quand je suis à la plage ou que je n'arrive pas à dormir la nuit.

c'est parfaitement louable. D'ailleurs, que les choses soient bien claires : je ne critique pas (au sens péjoratif ou négatif de ce terme) votre approche, je dis juste en toute franchise qu'elle me semble un peu incohérente si elle a d'autres ambitions que le jeu intellectuel.

D'accord, mais pour moi, l'équation de Schrödinger n'est qu'un corollaire du fait que l'évolution temporelle se fait via un groupe à un paramètre d'unitaires. Ce n'est pas ce qui m'amuse le plus, en mécanique quantique.

nous sommes bien d'accord. Cette simple phrase prend l'équation de S comme un exemple : le principe reste valable pour n'importe quelle évolution unitaire.

J'avoue ne pas savoir exactement de quoi l'article parle quand il dit qu'on peut récupérer les relations de commutation canoniques avec l'intégrale de chemin. Je vais essayer de regarder.

c'est l'un des points les plus intéressants si vous souhaitez réfléchir aux fondements

Bon, c'est une phrase militante plus qu'autre chose, non ?

non. Pragmatique.

Oui, oui, c'est galère de trouver une mesure sur un espace de chemins en général, et du coup il faut se lever de bonne heure et faire de l'analyse très pointue. D'accord. Mais je ne vois pas où tu veux en venir en citant ce passage.

je ne sais plus moi-même ce que j'avais en tête

Ah, chouette, merci ! Et est-ce que vous pouvez me dire quelles sont les fibres des fibrés dont les bosons seraient les sections ?

ça dépend de la particule. Pour les bosons de jauge :
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_...ical_formalism

Pour le Higgs :
https://en.wikipedia.org/wiki/Higgs_field_(classical)

Est-ce moi ou le monsieur de la vidéo que j'ai postée que vous accusez ? Si c'est le monsieur, je crois que je suis d'accord pour dire que sa vidéo n'a pratiquement pas de contenu informatif... Mais c'est quand même la première personne à m'avoir dit qu'un fermion était une section d'un fibré de fibre un espace vectoriel complexe de dimension finie.

je parlais du monsieur. Mais sans l'avoir écouté et en me reposant uniquement sur votre résumé donc je suis possiblement injuste...

[Abitbol C137]

si les fondations de la physique quantique vous intéressent, refuser d'aller regarder de près la formulation à la Feynman est un non-sens

Bon, je vais vous faire confiance sur ce point-là, alors... Et creuser un peu cette histoire de relations de commutation. Le paragraphe de wikipédia est court donc j'y comprendrai peut-être quelque chose.

Vous toucherez au mieux les "postulats d'une approche incomplète de la physique quantique"

Je ne suis pas sûr de comprendre. Pouvez-vous préciser ?

vous vous trompez sur tout ça [je précise : sur le fait que les miracles quantiques ne vont pas émerger de marches aléatoires classiques ?]

Non mais d'accord, l'intégrale de chemin de Feynman donne une interprétation de l'amplitude de probabilité pour un truc localisé en x, de se retrouver après un temps t, en y, en terme de sommes sur toutes les histoires possibles qui vont de x à y en un temps t. Effectivement, ça a l'air super intéressant... Mais j'ai parlé de choses assez précises, et je peux même en rajouter une couche : les fonctions sur l'espace des courbes forment une algèbre commutative, les opérateurs sur un Hilbert forment une algèbre non-commutative. C'est ce passage-là qui m'intéresse. Pouvez-vous pointer un passage précis de mon paragraphe où je me trompe ?

J'ai rien pigé aux pages wikipédia auxquelles vous faites référence, mais je vais regarder à nouveau.

[ThM55]

Quand on me parle de sections de fibrés principaux, je sors mon mouchoir (je suis non-violent).

Il faut savoir qu'il existe en effet une magnifique théorie mathématique des théories de jauge, qui débouche sur des choses intéressantes en topologie algébrique. Cela dépasse largement mes compétences. Mais cette théorie parle essentiellement de champs classiques. A ma connaissance on n'a jamais quantifié (=exprimé au moyen d'opérateurs) les sections d'un fibré et sa topologie, mais il est possible que ceci soit seulement un reflet de mon ignorance. Les champs de jauge sont un élément important du modèle standard, ils constituent son armature, mais on veut les traiter comme des systèmes quantiques et pour l'essentiel on le fait par la méthode des intégrales de chemins avec l'aide du déterminant de Faddeev-Popov et de la quantification BRST, des "trucs" qui, je suppose, rendent les mathématiciens très perplexes. Le lien avec les maths reste tout de même très étroit. N'oublions pas que Witten (un physicien) a obtenu la médaille Field.

Une suggestion de lecture. Il y a une quinzaine d'années, le mathématicien allemand Eberhard Zeidler avait commencé la rédaction d'un traité appelé "Quantum Field Theory, a bridge between mathematicians and physicists" (Springer, en anglais). Il voulait apprendre aux mathématiciens et aux physiciens à se comprendre. Il explique comment comprendre mathématiquement la théorie quantique des champs et son projet devrait s'étendre bien au delà du modèle standard. Cela n'a strictement rien a voir avec les traités de "maths pour physiciens", c'est plutôt la vision d'un mathématicien expert en analyse fonctionnelle de la TQC et de son contenu mathématique examiné en profondeur. Ce traité devait comporter 6 volumes mais Zeidler est décédé après en avoir publié 3 (une introduction générale, un volume sur l'électrodynamique quantique, un volume sur les théories de jauge). J'ai entendu dire que ses assistants réunissent ses derniers manuscrits pour publier le quatrième volume, mais ce n'est pas confirmé par l'éditeur. Ce sont des livres très touffus, avec beaucoup de répétitions et de digressions mathématiques de toutes sortes, mais c'est ce côté un peu foutraque qui est amusant et passionnant. Je continue à en relire des passages de temps en temps (surtout récemment depuis que j'ai un peu de temps pour ressortir d'anciennes lectures).

[Abitbol C137]

@ThM55 : Bonjour ! Au ouais, bon ben ça me fait beaucoup de lecture, les oeuvres de ce monsieur Zeidler...

@AnotherBrick : Bon, je vais vous (tu, non ? Allez, tutoyons-nous !) montrer, dans le passage (wiki qui parle des relations de commutations et de l'intégrale de Feynman), mon niveau d'incompréhension, pas à pas. Pouvez-vous m'aider à y voir plus clair ? Je vais faire des observations, dites-moi à chaque fois si je me trompe, s'il-vous-plaît. Je pars de la version anglaise mais traduis mot à mot en ce que Wiki raconte.

Bon.
1) Wiki prend l'action avec potentiel nul, pour simplifier, j'imagine.
2) La quantité "x(t)" est fluctuante, ça veut juste dire que X est en fait une variable aléatoire (de loi le mouvement brownien).
3) Le brownien B vérifie que pour tout t, s, B(t) - B(s) est une gaussienne d'espérance zéro et de variance t-s. Et de ce genre de propriétés on tire que le brownien n'est, presque sûrement, dérivable nulle part.
4) La quantité xx' est ambigüe puisque x' est lui-même ambigu, puisque x est presque sûrement dérivable nulle part. Pourquoi lui donner deux sens bizarres et différents ?
5) Bon il va falloir que je passe au LaTeX, j'espère que vous pouvez voir. Cela dit, si et sont des réels, avec , si je pose et (je n'écris volontairement pas à la place de pour ne pas tricher), alors on a bien qui suit alors une loi du chi-deux à un degré de liberté. Cette loi est d'espérance et de variance , alors je pardonne à Wiki d'écrire .

6) Cela dit, à partir de là, ça part complètement en vrille : "donc est une quantité rapidement fluctuante, de valeur moyenne égale à , i.e. un "processus gaussien" normalisé. Les fluctuations d'une telle quantité peuvent être décrites par un lagrangien statistique et les équations du mouvement pour que l'on dérive en cherchant les extrema de l'action par rapport à font que c'est . En physique, une telle quantité est "égale à comme une identité d'opérateurs", et en maths, on dit que ça "converge faiblement vers "." Attendez, quoi ? Pourquoi ça va si vite sur ce passage ? Qui converge faiblement vers ? Quand quoi tend vers quoi ?

7) Ca continue : "Dans tout les cas, c'est pour "n'importe quelle espérance" (les guillemets sont de moi ; qu'est-ce que ça veut dire ?) ou moyenné sur n'importe quel intégrale, à toutes fin pratique". Il y a un sens précis, là derrière ?

8) A partir de là, je suis quand même découragé, mais je continue : quel sens cela pourrait bien avoir, de "définir l'ordre temporel comme étant l'ordre des opérateurs" ? Ca veut juste dire que (avec une limite sous-entendue) et que ? Ca, pourquoi pas ! Mais quel sens donner à ? Le crochet, c'est pour des opérateurs, non ? était une variable aléatoire (sans parler de qui n'est pas défini) ?

9) Cela s'appellerait le lemme d'Ito. Mais quand je clique sur le lien vers la page Wiki du lemme d'Ito, je ne trouve aucune référence à cette drôle d'égalité.

10) Et après, sans autre forme de jugement, (en fait, c'est probablement où et sont les vrais opérateurs de position et d'impulsion). Quel est le rapport ? Il n'y avait aucun opérateur, et d'un coup il y en a.

Vous voyez ? Je ne retire absolument rien de la lecture de ce paragraphe ! Je me fatigue à déchiffrer quelque chose qui a pour moi l'apparence du charabia, et surtout, qui occulte complètement l'unique passage qui m'intéresse, à savoir où les fonctions deviendraient des opérateurs.


Et surtout, j'ai du mal à savoir quelle serait votre réaction face au texte de Wiki.

[coussin]

C'est l'histoire de la tour de Babel. On ne se comprend pas si on ne parle pas le même langage...
Juste une remarque rapide : les crochets signifient un commutateur. Par ailleurs, tout ce paragraphe est en quantités réduites (y a pas de hbar par exemple).

[Abitbol C137]

Oui oui, commutateur, mais pas il n'y a pas d'opérateur (ou au moins, pas d'opérateur apparent) ! Le commutateur, par défaut, dans une algèbre, c'est défini par où désigne le produit dans cette algèbre. Mais ici, je ne sais pas qui est l'algèbre : une algèbre de fonctions est commutative, donc tout crochet vaut . Dans une algèbre d'opérateurs, les crochets peuvent être non nuls... Mais là je ne les vois pas, les opérateurs...

Et puis, pour autant que ça me concerne, hbar peut être égal à .

[0577]

Bonjour,

l'intégrale de chemin est une méthode de quantification: il s'agit de définir une théorie quantique à partir d'une théorie classique.
Dans la théorie classique, les observables sont les fonctions sur l'espace des configurations et forment une algèbre commutative.
Dans la théorie quantique, les observables sont les opérateurs agissant sur un espace de Hilbert et forment une algèbre non-commutative.
Par quantification, on s'attend à ce qu'une observable classique A définisse une observable quantique .
Il me semble qu'une partie de la confusion provient du fait que certaines personnes utilisent la même notation pour l'observable classique et l'observable quantique.

Le formalisme de l'intégrale de chemin définit (ou calcule si on le compare à un autre formalisme) certains éléments de matrice de l'observable quantique en termes de la moyenne de l'observable classique sur tous les chemins pondérés par , où S est l'action de la théorie classique. Le calcul d'un élément de matrice de l'opérateur semble faire intervenir la moyenne de l'observable classique AB, ce qui semble en contradiction avec la non-commutativité des opérateurs.

En fait, il n'y a pas de contradiction: en général, la moyenne de l'observable classique AB n'est pas définie. En effet, l'intégrale sur les chemins (comme toute intégrale) est une limite continue d'une somme discrétisée, et la discrétisation du produit AB est en général ambigue: différents choix produisent différentes réponses. La volonté de calculer un élément de matrice de plutôt que de se traduit par un choix de discrétisation. Plus précisément, il n'y a pas d'ambiguité dans la discrétisation de A(t)B(0) où l'observable classique A est calculée au temps t non-nul du chemin, alors que l'observable classique B est calculée au temps nul. Par définition du formalisme de l'intégrale de chemin (ou par calcul en
comparaison avec un autre formalisme de quantification), les éléments de matrices de sont obtenus en prenant la moyenne de l'opérateur classique A(t)B(0) pour t>0 et en prenant la limite t->0. De même, les éléments de matrice de sont obtenus en prenant la moyenne de l'opérateur classique A(t)B(0) pour t<0 et en prenant la limite t->0. La non-commutativité des opérateurs et est la traduction du fait que la moyenne de l'observable classique A(t)B(0), vue comme fonction de t, n'est pas continue en t=0.

[Abitbol C137]

Aaaaah, bon, je ne comprends pas du premier coup mais au moins j'ai l'impression qu'on parle la même langue. Merci, ça me donne beaucoup de grain à moudre !

[Morrslieb]

Bonjour,

Pour info concernant le message 22, l'algèbre en question est l'algèbre de Heisenberg. Voir l'article de Wiki suivant:https://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_group
On y explique aussi le lien avec le quantique.

[Abitbol C137]

Bon, on ne se tutoie pas, alors ?

@Morrslieb : Mmmmh, pourriez-vous être plus précis ? Où voyez-vous que l'article de Wiki, dans le paragraphe sur la déduction des relations de commutation à partir de l'intégrale de Feynman, parle de l'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg ?

@0577 : J'ai un tout petit peu réfléchi, mais je n'ai pas beaucoup avancé et voudrais déjà vous demander quelques précisions.
Je crois avoir compris l'idée générale de ce qu'est une quantification. Je voudrais voir un peu, dans ce cas particulier, ce dont il s'agit précisément. Je vais essayer de préciser moi-même ce que vous dites, alors n'hésitez pas à me dire si je ne vais pas dans la direction où vous vouliez m'emmener. Je dois dire qu'à certains moments, j'ai l'impression de jouer aux fléchettes avec les yeux bandés alors n'hésitez pas à me dire si je tire à l'opposé de la cible.

Quelque chose me turlupine quand vous dites que la non-commutativité découlerait d'un choix d'une ambiguïté de discrétisation, parce que ça sonne, à mes oreilles, un peu comme "la non-localité de notre monde découle du fait qu'on a un petit problème technique au niveau des maths". Donc je voudrais creuser ça.

1) Plaçons-nous dans le cas d'une dimension d'espace.
2) L'espace des configurations classiques (la "source" de notre quantification) est donc le fibré tangent de , ou, de manière plus pédestre, le produit cartésien .
3) L'espace de Hilbert (le "but" de notre quantification) est l'espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable de dans .
4) On a l'espace des trajectoires classiques qui est l'ensemble des courbes, i.e. l'ensemble des applications, disons, de dans lui-même.
5) Une observable classique est une fonction (donc, de source l'espace des configurations). C'est là que j'attends votre avis parce que c'est là que le loup se cache, à mon avis. De telles applications, il y en a, disons, qui ne dépendent que de la première coordonnée (donc, que de la "position"), d'autres qui dépendent de la deuxième coordonnée (donc, du "vecteur tangent") et la plupart des autres qui dépendent des deux en même temps.
6) Pour une observable classique qui ne dépendrait que de la position, si je comprends bien, on fabrique l'opérateur auto-adjoint tel que pour tout , est la limite de la moyenne de parmi toutes les courbes qui partent de en et qui arrivent en au temps... euh, je ne sais pas ? C'est un truc dans ce genre-là ?
7) Non mais enfin bref, je crois que je voudrais que vous précisiez (ou que vous me donniez une référence où c'est défini précisément) comment à partir d'une observable classique on définit (ou calcule) l'observable quantique associée.

[ThM55]

Non mais enfin bref, je crois que je voudrais que vous précisiez (ou que vous me donniez une référence où c'est défini précisément) comment à partir d'une observable classique on définit (ou calcule) l'observable quantique associée.

Malheureusement je crois qu'il n'existe pas de méthode pour accomplir cela. Dirac proposait de partir du crochet de Poisson entre les variables dynamiques et de définir le commutateur entre les opérateur par le remplacement . Mais cela ne donne que les commutateurs, il reste à en tirer les opérateurs et ce n'est pas toujours possible. Un sujet de perplexité pour tous les étudiants: quand les opérateurs ne commutent pas, quel ordre doit-on choisir si une observable classique contient un produit de ces grandeurs? En théorie quantique des champs, c'est encore pire: les opérateurs de champ sont en réalité des distributions à valeurs dans un espace d'opérateurs. Mais il n'est en général pas légitime de faire le produit de deux distributions. Pourtant, les interactions, par exemple entre l'électron et le photon, se formulent dans le lagrangien comme un tel produit. A côté de la quantification canonique et de l'intégrale de chemin, il y a aussi la quantification géométrique ou la formulation algébrique de la TQC. Mais mes compétences ne vont pas jusque là malheureusement (je ne désespère pas de les apprendre plus tard).

John Baez a écrit un sympathique article sur le sujet: "From classical to quantum and back". Il envisage la quantification comme un foncteur en théorie des catégories, il montre pourquoi cela ne marche pas, et ensuite il montre comment la quantification géométrique peut contourner le problème. Je suis vraiment loin de comprendre tout cela, mais cela a l'air intéressant. Lien ci-dessous:

http://math.ucr.edu/home/baez/gq/

[Abitbol C137]

Malheureusement je crois qu'il n'existe pas de méthode pour accomplir cela.

Ah oui ? Même dans cette histoire d'intégrale de chemin ? Si oui, j'ai du mal à voir comment je pourrais me convaincre que ces règles de commutation se déduisent de l'intégrale de chemin, si le procédé même de quantification est ambigu ou impossible... Je vais regarder ce qu'en raconte Baez.

les opérateurs de champ sont en réalité des distributions à valeurs dans un espace d'opérateurs

Ah eh bien si j'arrive à comprendre en quoi le fait d'utiliser ce genre d'objet mathématique-là simplifie le problème, j'aurai vraiment l'impression d'avoir compris quelque chose !

[ThM55]

Ca ne simplifie pas le problème, ça le complique . C'est imposé par la théorie. Cela vient du fait que dans tous les cas une mesure d'une observable de champ est en fait une moyennisation qui peut être définie par une fonction test. On ne mesure jamais l'observable précisément en un point, cela n'est pas possible.

[Abitbol C137]

Oui, pardon, je voulais dire que si le problème original n'a pas de solution en termes d'opérateurs, mais qu'il en a une en termes de distribution à valeurs opérateurs, alors il y a quelque chose de mathématiquement intéressant !

J'ai feuilleté Baez, et je connaissais un peu le contexte de la question de la quantification, dans le cadre "variété symplectique vers espace de Hilbert". En tout cas il y a des informations très intéressantes. Par contre, son histoire qui dit que le projectivisé d'un Hilbert est une variété symplectique Kähler machin-truc etc. pile-poil ce qu'il faut pour faire la quantification géométrique, et qu'en faisant cette quantification, on retombe sur le Hilbert de départ, ça me semble un peu trop beau, trop trivial mathématiquement (c'est comme si tout était fait pour que ça marche) et donc je ne sais pas trop sur quel pied danser...