Equa-diff classique de l'oscillateur.

[velosiraptor]

Bonjour à tous !

J’ai un « petit soucis » à propos de l’exponentielle complexe et de la résolution des équa-diffs. Là je parle des équa-diffs très simples, à coefficients constants et qu’on retrouve par exemple dans les oscillateurs.
Je veux l’avis de Physiciens, c’est pour ça que je passe par ce forum …

Donc, pour la classique :


En utilisant l’équation caractéristique, on a les racines :
et

Puis on a la forme de la solution avec ses deux constantes réelles (???) A et B :


Mais, où je ne suis plus c’est lorsqu’on dit ensuite :
La solution est :


Je ne vois pas trop comment on passe de l’expression de gauche (expression complexe) à celle de droite (expression réelle). J’ai vu ce truc écrit dans pas mal de cours et de bouquins (par ex. C. Aslangul « Des Mathématiques Pour Les Sciences T1 p 762), mais je ne vois pas ce qui permet de l’écrire …

Merci de m’éclairer.
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[albanxiii]

Bonjour,

En effet, ça n'est pas si immédiat que ça. Les conditions aux limites, ou plutôt le fait que la position initiale et la vitesse initiale sont des valeurs réelles, permettent d'avoir une relation entre A et B qui permet, en remplaçant les exponentielles complexes par cos + i sin d'arriver à l'expression en cos et sin.

[velosiraptor]

Salut.
Merci pour ta réponse.
En effet, je peux comprendre que les conditions initiales amènent le Physicien à "ce qu'il veut" (à savoir une solution réelle et périodique) mais, ce qui me surprend c'est cette égalité écrite quasiment systématiquement, même dans des ouvrages très rigoureux (comme celui de C. Aslangul) ...
On a l'impression d'une "vraie" égalité ... Or, cette égalité ne peut avoir lieu (enfin, il me semble) que si A et B sont complexes et avec B* = A ... J'avoue que je suis un peu paumé devant ce truc.
Surtout que, comme "tout le monde" j'ai bien sûr utilisé et exploité ce résultat.

[gts2]

Bonjour,




Et, en effet B est le conjugué de A.

[A voir en vidéo sur Futura]

[velosiraptor]

Salut gts2.
Oui, nous sommes d'accord (j'ai été moins subtil en posant A = a1 + jb1 et B = a2 + jb2) ... Sauf qu'a priori, A et B sont 2 constantes réelles pour la solution générale d'après les cours que je lis ... et donc pas forcément conjuguées
De plus, en me disant : en Physique, on se contente de la partie réelle, c'est insuffisant puisqu'alors il n'y a plus besoin que d'une constante ((A + B) dans ce cas).
J'arrive pas à me faire une idée du truc. Je croyais facilement retomber sur mes pieds, mais un truc m'échappe ...

[gts2]

Pourriez-vous donner une référence autre que Aslangul ?

Je n'ai pas vraiment trouver la présentation avec A exp+ + Bexp-, A et B réels à laquelle vous faites allusion.

[velosiraptor]

"L'Essentiel de la Mécanique du Point Matériel" B. Gendreau (Ellipses) dans un résumé (c'est un bouquin d'exos), "Techniques Mathématiques De La Physique" de J. Renault (Dunod) par exemple ...
J'ai quand-même l'impression que l'argument est : A et B sont complexes, mais on ne s'intéresse qu'aux solutions réelles ... donc ...

[albanxiii]

Re,

On peut aborder la résolution de deux façons :

- puisque le problème concerne des fonctions réelles d'une variable réelle, on reste dans les réels, et donc on ne fait pas intervenir d'exponentielles complexes, juste des sinus et cosinus, qui sont bien solutions de l'équation différentielle et donc, toute combinaison linéaire aussi

- comme on sait que l'exponentielle complexe est également solution de l'équation différentielle, on décide de faire une incursion dans le monde des fonctions de variables réelles, mais à valeurs complexes. On trouve donc un ensemble de solutions, qui est une famille de fonctions (combinaisons linéaires d'exponentielles complexes). Cela dit, on ne doit pas oublier que le problème à résoudre n'est pas un problème mathématique, mais un problème physique. Cela restreint donc l'ensemble des "solutions mathématiques" trouvées car on ne doit garder que le sous ensemble qui correspond à des fonctions qui ont des valeurs réelles. Cela impose les relations que vous avez trouvées entre les coefficients A, B, C, D. (c'est équivalent à ce que j'ai dit concernant les conditions aux limites, c'est juste formulé autrement).

La façon de procéder des livres que vous avez lu correspond à deuxième méthode, mais cela n'est pas dit explicitement.

[velosiraptor]

Salut Albanxii.
Oui, je crois que c'est un truc dans ce goût là ... ça m'apprendra à ne fréquenter que des lectures de Physiciens ...

Merci à tous.

[Sethy]

Je me permets d'ajouter mon grain de sel.

Il est également possible de s'en convaincre par les séries de Taylor, voir ici par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Formul...ries_de_Taylor