Calcul des équations d'Euler-Lagrange.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous
Je dispose du Lagrangien suivant,
Comment en déduire, à partir des équations d'Euler-Lagrange, que, , où :
Merci d'avance.
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[ThM55]

Donc



L'équation par rapport à donne de la même manière l'équation conjuguée. Elle est équivalente si V est réel.

[Anonyme007]

Merci beaucoup ThM55.
Peux tu me montrer comment tu as fait pour écrire que, et ?
Je n'ai pas compris comment.
Merci d'avance.

[ThM55]

Je dois t'avouer que c'est troublant de voir ce genre de question posée sur un forum. En effet si on étudie les équations d'Euler-Lagrange pour un champ scalaire complexe, c'est qu'on est arrivé à l'étude de la théorie quantique des champs, donc les prérequis tels que la relativité restreinte, la mécanique analytique lagrangienne et hamiltonienne, ainsi que la mécanique quantique, sont acquis. Le cours explique normalement les notations et leur signification et ce genre de dérivation ne devrait pas poser de problème... à moins qu'on ait fait l'impasse sur ces prérequis, mais alors je conseillerais d'y revenir. Je ne peux que recopier l'explication standard qu'on trouve dans l'introduction de tous les cours de théorie des champs. Comme je ne sais pas si c'est vraiment utile et comme je n'aime pas trop qu'on joue avec mes pieds, je pourrais plus simplement te renvoyer à un cours. Mais bon, j'écris tout de même cette ultime réponse et j'espère que ces explications pourront t'aider ou en aider d'autres qui auraient les mêmes problèmes de compréhension.

On fait exactement comme en mécanique analytique lagrangienne, que je suppose connue (sinon: lire Landau-Lifchitz volume 1). La seule différence est qu'on est ici dans le cas des champs, c'est-à-dire un système avec une infinité de degrés de liberté. La valeur de en chaque point x, est une des coordonnées généralisées et il y en a donc une infinité. La coordonnée d'espace-temps x n'est pas une variable dynamique, elle joue le même rôle que l'indice i dans la coordonnée généralisée en mécanique lagrangienne. L'analogue de la dérivée des coordonnées sera les dérivées partielles .

La densité lagrangienne est une fonction de deux ensembles de variables: , .

On a donc

En faisant jouer la correspondance "coordonnées généralisées <-> valeur des champs" on remplace par (se rappeler que x joue le rôle de l'indice et que leur nombre tend vers l'infini) et par et on applique la convention d'Einstein pour la sommation des indices de Minkowski. Il faut comprendre les dérivées comme des variables indépendantes de , de la même manière qu'en mécanique lagrangienne les vitesses généralisées qui sont prises pour les sont traitées indépendamment des .

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Dans le lagrangien, le seul terme qui dépend des est . Et le premier terme ne dépend que des , d'où le résultat pour les dérivées partielles du lagrangien.

Il s'agit du cas d'un champ scalaire complexe. On traite le champ et son conjugué complexe comme deux champs complètement indépendants dans le principe variationnel. Ils sont variés indépendamment à condition de respecter la contrainte de conjugaison. Mais on peut aussi si on préfère passer aux parties réelle et imaginaire en écrivant . On a alors deux champs réels couplés par le terme .

Voilà.

[Anonyme007]

Merci beaucoup ThM55, c'est très clair. J'ai compris. Merci.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Je suis un petit peu familier à l'utilisation du Lagrangien en QFT. Je suis un petit peu conscient de sa vocation et de son utilité. Par contre, pour le Hamiltonien, je n'arrive pas à connaitre à quoi sert-t-il exactement. A quoi sert-il parallèlement au Lagrangien, en QFT ? Quelle est sa finalité ?

Merci d'avance.

[albanxiii]

Bonjour,

Simple question : avez-vous déjà fait des calculs de QFT ?

[Anonyme007]

Bonjour,

Simple question : avez-vous déjà fait des calculs de QFT ?

Non, je me suis concentré uniquement sur l'aspect théorique des notions que j'ai acquises. Je n'ai pas eu assez de temps de les mettre en pratique, et faire des calculs en détail. ... etc.

[ThM55]

Mais en mécanique classique? Vous avez fait de la mécanique analytique? Le hamiltonien, les crochets de Poisson, les transformations canoniques, l'équation de Hamilton-Jacobi? Si non, zou, volume 1 de Landau-Lifchitz! C'est 33€, par exemple: https://www.amazon.fr/Physique-Th%C3...0525383&sr=8-1
.


Par contre je ne cautionne pas le nom rapporté par Amazon: Landau ne s'appelait pas Alice, il s'appelait Lev.

[Anonyme007]

Mais en mécanique classique? Vous avez fait de la mécanique analytique? Le hamiltonien, les crochets de Poisson, les transformations canoniques, l'équation de Hamilton-Jacobi? Si non, zou, volume 1 de Landau-Lifchitz! C'est 33€, par exemple: https://www.amazon.fr/Physique-Th%C3...0525383&sr=8-1
.
Par contre je ne cautionne pas le nom rapporté par Amazon: Landau ne s'appelait pas Alice, il s'appelait Lev.

Je suis mathématicien de formation, et non physicien. Sur l'autre fil où tu me vois parler de tout ça, parce qu'on apprend ça en géométrie différentielle.
Mon histoire par rapport à la physique se résume à de la culture générale. Ce qui m'a fait sauté beaucoup d'étapes est ma formation solide en géométrie différentielle. J'ai pu facilement réussir à apprendre la théorie de Yang Mills juste en quelques heures sans approfondir beaucoup ces notions de point de vue physiques; C'est pourquoi, quant tu me poses ce genre de question, je reste un petit peu perplexe, et je n'arrive pas à te répondre.

Je n'aimerais pas approfondir ces notions en détail. J'aimerais simplement les comprendre, et ça, ça me suffit. C'est à dire, j'aimerais simplement savoir pourquoi elles existent ? C'est pour une utilité. Non ?

[invite84967875]

Comme quoi les maths sans la physique ne servent à rien (ne pas hurler)...Je suis perplexe quand je lis:

J'ai pu facilement réussir à apprendre la théorie de Yang Mills juste en quelques heures sans approfondir beaucoup ces notions de point de vue physiques

Savoir jouer avec les équations c'est bien, mais ce n'est pas ce que l'on peut appeler comprendre.
Sinon, le lagrangien détermine l'action à minimiser, cela donne les équations du mouvement.L'hamiltonien parle de l'énergie. Ce sont des notions de base (c'est pour cela que la question a été posé en mécanique classique), alors si on ne comprend pas cela, je vois mal comment on peut comprendre des choses plus complexes. Même si les maths sont le langage, faut "la pierre de rosette".

[Anonyme007]

@Art137,
Merci pour ces précisions.
Tu affirmes que, le lagrangien détermine l'action à minimiser, cela donne les équations du mouvement.L'hamiltonien parle de l'énergie.
Et il sert à quoi l'Hamiltonien interprété comme étant une énergie ?. Autrement dit, quelle information ou utilité tire-t-on de ce Hamiltonien lorsqu'il est vu comme énergie ?.

[invite84967875]

Son utilité est de déterminer l'évolution temporelle d'un état via l'équation de Schrödinger donc l'Hamiltonien est utile pour le coté dynamique avec une difficulté quand on est dans un cadre relativiste (que je laisse le soin de comprendre, si cela n'est pas immédiat, penser relativiste est souvent penser transformation de Lorentz, la difficulté apparaîtra rapidement, et elle se contourne facilement, faire l'exercice et donner la recette pourrait être sympa pour comprendre le sens physique de ces bêbêtes), à mon avis).

[Anonyme007]

Merci Art137,
Est ce que toute énergie est un Hamiltonien, et tout Hamiltonien est une énergie ?
Est ce que le Hamiltonien est un opérateur qui vérifie l'équation de Schrodinger ?
Est ce que tout opérateur solution de l'équation de Schrodinger est un Hamiltonien ?
Merci d'avance.

[invite84967875]

Il est tard, donc je ne répondrais pas tout de suite, d'ailleurs je me demande si il faudrait répondre...
Je reprends ceci:

Je n'aimerais pas approfondir ces notions en détail. J'aimerais simplement les comprendre, et ça, ça me suffit. C'est à dire, j'aimerais simplement savoir pourquoi elles existent ? C'est pour une utilité. Non ?

Pour comprendre il faut aussi approfondir, sinon c'est l'impasse, et savoir pourquoi ça existe ne permettra pas de comprendre, la preuve dans les dernières questions posées.
La physique ce n'est pas juste manipuler les mathématiques, c'est comprendre pourquoi et comment on peut les utiliser, c'était le but de l'exo que j'ai proposé, qui aurait pu permettre de trouver la recette et voir que pour le résoudre on peut passe parle Lagrangien.
Peut-être que les autres intervenants auront un avis différent.
Pour ma part je suis dubitatif, je suis vraiment pas sûr que cela apporte une aide mais plutôt le contraire, cela risquerait d'emmêler les choses et faire un bon gros sac de noeuds, et après faudra désapprendre, c'est encore pire qu'apprendre, si la physique vous intéresse c'est pas un service à vous rendre.

[ThM55]

A l'origine, William Rowan Hamilton était un jeune et brillant mathématicien qui fut nommé astronome alors qu'il était encore étudiant à Dublin. Il s'intéressait surtout aux branches théoriques et annexes de l'astronomie et pas du tout à l'observation. Cela l'a amené à l'étude l'optique géométrique pour laquelle on connaissait déjà des principes variationnels et à la mécanique analytique avec un autre principe variationnel, le principe de Maupertuis (lui aussi un personnage très original et intéressant). Il a montré comment on pouvait unifier tout cela et tout déduire d'une seule fonction et d'un principe variationnel. Sa fonction est naturellement appelée le Hamiltonien. Sa théorie a été reprise par Jacobi qui a trouvé des méthodes puissantes d'intégration des équations, comme par exemple les transformations canoniques, qui exploitent la structure symplectique présente dans la théorie de Hamilton, et l'équation de Hamilton-Jacobi. Le hamiltonien est relié au lagrangien par une transformation de Legendre, mais cette simple phrase cache pas mal de subtiles complications, surtout en mécanique quantique et surtout dans les théories de jauge.

De Broglie racontait qu'il avait été amené à ses hypothèses en faisant en mécanique un processus parallèle au passage de l'optique géométrique à l'optique ondulatoire. Et en effet l'équation de Hamilton-Jacobi peut être vue comme une limite aux faibles longueurs d'onde de l'équation de Schrödinger.

Voici un site qui donne accès aux articles mathématique de Hamilton: https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMat...on/Papers.html .