Travail et énergie potentielle élastique.

[Newtonien]

Bonsoir,
Cherchant le lien entre énergie potentielle élastique d'un ressort et travail de la force de compression je suis arrivé sur cette page:

http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_...ntenu_092.html

Mes questions portent d'avantage sur les conventions d'écritures que sur le contenu lui même, la section mathématique est peut être plus appropriée à ma demande ?

1) Pourquoi un symbole Delta minuscule devant le symbole W du travail de la force ?
2) Il me semblait que dans une intégrale le dx avait pour fonction d'indiquer x comme variable. Alors quel est le sens d'une multiplication de T par dl ?
3) i doit être vecteur unitaire de T. Alors pourquoi passes-t-on de -kxi . dx i à -kxdx En principe les deux thermes d'une équation doivent êtres vectoriels au risque de perdre une information... Pouvez-vous m’expliquer ?
4) Meme question que 2) pour -kxdx D'où sort ce d ?

Merci de m'avoir lus !
J'attends vos réponses avec impatience,
Cordialement.
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[chris28000]

Bonsoir
1) le travail n'est pas une différentielle exacte.
2) T est une force, T.dl est le travail de T sur le petit chemin dl et T est une fonction de l
3) la multiplication de deux vecteurs est un produit scalaire i fois i = norme de i² =1 et puis de toutes façons le travail est une grandeur scalaire.
4) dx est la projection de dl sur l'axe des x

[Newtonien]

Bonsoir, merci de m'avoir répondu si vite.

1) J'ai essayé de me renseigner sur les formes différentielles mais ce n'est apparemment pas de mon niveau en mathématiques. Pouvez-vous m'en dire plus à ce sujet ?
2) dl est donc un élément infinitésimal de la logeur l c'est bien ça ? T est une fonction de l car il n'est pas constant sur l'intervalle ?
3) Comment différencier le produit du produit scalaire puisque les américains utilisent un point pour la multiplication ?
4) D'où la transformation de l en x puisque seul cette projection est importante ?

[albanxiii]

Bonjour,

1. vous pouvez retenir, en tant que physicien, que le travail effectué par une force entre deux points peut dépendre ou ne pas dépendre du chemin suivi. S'il en dépend, le travail élémentaire n'est pas une différentielle exacte, et s'il n'en dépend pas, c'en est une. Dans ce dernier cas, on peut aussi montrer que la force dérive d'une énergie potentielle (force = - gradient de l'énergie potentielle).
Pour vérifier si vous avez compris, vous pouvez essayer de donner des exemples de forces dont le travail élémentaire est ou n'est pas une différentielle

2. oui

3. Il suffit de regarder ce qu'on multiple, des vecteurs, des nombres, des fonctions... et vous aurez la signification du symbole

Par curiosité, vous êtes à quel niveau d'études en physique et en maths ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Newtonien]

Bonjour,

1) Si j'ai bien compris un travail est dit "différentielle exacte" si la force est non conservative, car un tel travail dépends du trajet emprunté ?
Le travail du poids est donc une différentielle exacte, car le poids est conservatif ?
Le delta minuscule dont traitait ma question permet donc d'indiquer que le travail n'est pas une différentielle exacte ?
D'où le delta devant W(T) car T n'est pas conservative contrairement au poids.

2) Merci.

3) Cela me semble logique après coup.
Une somme vectorielle consiste à additionner coordonnées à coordonnées, il n'y a pas d'équivalent pour le produit ?

Mon niveau en Maths et en physique est faible puisque je ne suis qu'en terminale S.

[albanxiii]

Re,

1) Si j'ai bien compris un travail est dit "différentielle exacte" si la force est non conservative, car un tel travail dépends du trajet emprunté ?

Je pense que vous avez fait un lapsus écrit
Différentielle exacte c'est quand le travail ne dépend pas du trajet emprunté.
Et si on voulait être (un peu plus) rigoureux, on dirait "le travail est représenté par une différentielle exacte / non exacte", mais là on se comprend, c'est le principal.

Le travail du poids est donc une différentielle exacte, car le poids est conservatif ?

Oui.
Traduction : le travail du poids entre deux points ne dépend pas du chemin parcouru. Le travail du poids de votre pack d'eau pour aller de l'étage 3 à l'étage 2 est le même si vous faites le chemin 3 -> 2 ou bien 3 -> 8 -> 2 (on parle du travail du poids, pas de celui que vous vous fournissez pour trimballer la flotte !).
Une autre façon d'exprimer qu'une force est conservative c'est de vérifier que le travail sur un chemin fermé est nul.

Le delta minuscule dont traitait ma question permet donc d'indiquer que le travail n'est pas une différentielle exacte ?

Oui.
Remarquez qu'en général, on écrit le travail avec un petit delta (), même si la force est conservative (ce sont des habitudes de notation). Ce qui n'empêche pas, dans ce cas, de chercher ensuite le potentiel dont dérive cette force....

D'où le delta devant W(T) car T n'est pas conservative contrairement au poids.

Oui.
Mais voir aussi ma remarque précédente.

Une somme vectorielle consiste à additionner coordonnées à coordonnées, il n'y a pas d'équivalent pour le produit ?

On pourrait, les physiciens n'hésitent pas à inventer des mathématiques si cela les sert, mais là il ne me vient pas d'exemple où on a ce besoin.

Mon niveau en Maths et en physique est faible puisque je ne suis qu'en terminale S.

Quand je vous parle de gradient, ou si je dis qu'une force dérive d'un potentiel, vous voyez de quoi il s'agit ?

[Dynamix]

Salut

Une somme vectorielle consiste à additionner coordonnées à coordonnées, il n'y a pas d'équivalent pour le produit ?

Si , le produit scalaire .
Vecteur par vecteur = scalaire .

Il y a aussi le produit vectoriel .
vecteur par vecteur = vecteur .

Si google est ton ami profites en .

[Newtonien]

Merci pour ces indications. J'ai effectivement fais une erreur à 1)

Je viens de faire quelques recherches mais je ne vois pas ce qu'est un "potentiel" au sens large en dehors des potentiels à l'origine de forces (potentiel électrique, pression, énergie potentiel de pesanteur etc...) le potentiel renvois à une différence de grandeur entre une position et une autre non ? (ou je suis à coté de la plaque ^^ )

Je n'ai jamais travaillé sur des fonctions à plusieurs variables (sauf dans les systèmes d'équations évidemment)
Le gradient est la dérivée d'une fonction à deux variables c'est bien ça ? J'ai du mal à me représenter la chose puisque j'associe souvent les objets mathématiques à des objets géométriques pour que se soit plus clair (dérivée = coef de la tangente par exemple).

[Dynamix]

Le gradient est la dérivée d'une fonction à deux variables c'est bien ça ?

NON
Le gradient caractérise les variations d' un champs dans l' espace .
Si tu n' as pas étudié les champs , laisse tomber , tu verras plus tard .
De même pour les opérations sur les vecteurs .
Il faut prendre les choses dans l' ordre , sinon tu seras vite dégoutté .

[Newtonien]

Merci pour la rectification.
Je vais tout de même faire des recherches sur les champs de vecteurs (en mettant tout ce que je pourrai lire entre parenthèse afin de ne pas mélanger connaissances et mauvaises interprétation)

[albanxiii]

Là on entre dans le monde merveilleux des fonctions de plusieurs variables. Cela peut-être déroutant au début.

En maths, vous connaissez les fonctions d'une variable, les "machins" qu'on note f(x). Il y a deux choses à repérer et à comprendre : le x est une variable, qui prend ses valeurs dans un ensemble (ensemble de départ pour simplifier, vous avez l'habitude que cela soit un sous ensemble de R l'ensemble des nombres réels), et la valeur de la fonction au point x est f(x), qui prend ses valeurs aussi dans un ensemble (ensemble d'arrivée, même remarque que pour x).

En physique (et en maths du supérieur encore plus) on peut avoir des variables à valeurs dans n'importe quel ensemble de départ, et des fonctions à valeur dans n'importe quel ensemble d'arrivée également.

Exemple : la température dans une pièce. La valeur que prend la fonction température est un nombre, donc ensemble d'arrivée = R. Le point en lequel on cherche la valeur de la fonction température est caractérisé par ses coordonnées (x, y, z) dans la pièce. Donc ensemble de départ = ensemble des triplets (x,y,z) qui représentent une position dans la pièce (une fois un repère et une origine choisis).

Exemple plus compliqué : le champ électrique. L'ensemble de départ est similaire à celui qu'on a pris pour la température, mais le champ électrique est un vecteur. Donc l'ensemble d'arrivée est un ensemble de vecteurs, à 3 dimensions.

Sur la dérivée : vous savez que la dérivée d'une fonction f (notée f') vous donne des indications sur la façon dont la fonction varie (sens de la pente et valeur de la pente de la tangente en un point)
Pour les fonctions qui ont un ensemble de départ comme ceux des deux exemples et qui ont un ensemble d'arrivée comme celui de la température, le gradient est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de la fonction. Il donne les mêmes informations que la dérivée pour les fonctions "simples") : dans quel direction la fonction varie et avec quelle intensité / force / rapidité.

En fonction des ensembles d'arrivée et de départ, on défini divers opérateurs qui se calculent à base de dérivées et qui donnent divers renseignements.

[Newtonien]

Si je comprends bien nous pouvons exprimer les coordonnées du champs électrique en un point en fonction des coordonnées de ce point... Ne faudrait-il pas aussi tenir compte de la charge électrique Q pour déterminer les coordonnées du champs... Auquel cas le tout se complexifirait puisque Q ne prends pas ses valeurs dans l'entièreté de R mais dans l'ensemble {k*e | R} avec k entier relatif et e charge élémentaire ?
Mais je pense que mes questions sortent largement du cadre du sujet.

Merci pour votre patience