Exercice mécanique 2

**leroisinge** · 30/09/2020, 22h30

Bonsoir,

Pardon de vous déranger aussi tard.

Pourriez vous, s'il vous plait me conseiller pour mon exercice de mécanique, en m'indiquant quelques pistes de réflexions ?
Je posterai mes traces de recherches après avoir eu votre coup de pouce (comme dans mon autre sujet), car je suis bloqué pour l'instant.

Voici l'énoncé :
Vous êtes sur la montagne d'équation z (x,y) = -150 * (4x² + 5y² -93100), au point de coordonnées M (18,3; 14,3) sur la carte. Dans quelle direction (sur la carte) allez vous partir pour espérer atteindre le sommet le plus rapidement ?
On donnera la réponse sous la forme d'un vecteur unitaire.

Réponse : -(0.715 ex + 0.699 ey)
(il y a une flèche sur le e, c'est un vecteur, x et y sont en indice).

Mes suggestions personnelles :
(il s'agit d'un QCM)
Comme nous sommes sur une montagne, et que nous voulons monter, atteindre le sommet, j'avais pensé qu'il fallait éliminer les réponses avec un - devant.
Cependant, ce n'est pas le cas, pourquoi ?

Merci de votre attention
Bonne soirée

**jacknicklaus** · 30/09/2020, 22h45

Envoyé par leroisinge

Comme nous sommes sur une montagne, et que nous voulons monter, atteindre le sommet, j'avais pensé qu'il fallait éliminer les réponses avec un - devant.

mais non. Imagine que tu tiennes une carte de la région montagneuse. les courbes de niveau sur la carte représentent la hauteur des montagnes. La carte elle même permet de choisir des directions, est ouest, nord sud. En coordonnées cartésiennes, ce serait des x et des y avec une origine (0,0) au beau milieu de la carte. Une montagne peut très bien être située du côté des x négatifs et des Y négatifs, pour quoi pas ? Celà signifie que la montagne est vers le sud-ouest par exemple, rien de plus.

Pour résoudre cet exercice, as tu vu en cours la notion de gradient ?

**langcheuv** · 30/09/2020, 22h49

Bonsoir,

indices : le gradient, ensuite relation entre vecteur unitaire et vecteur.

**leroisinge** · 01/10/2020, 06h16

Pour résoudre cet exercice, as tu vu en cours la notion de gradient ?

Bonsoir,

indices : le gradient, ensuite relation entre vecteur unitaire et vecteur.

Merci de vos conseils.
Oulala... le gradient c'est tout nouveau ca ! on vient juste de voir ca !
Bon, je me met au travail, je vous tiens au courant

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**phys4** · 01/10/2020, 10h08

Envoyé par leroisinge

Vous êtes sur la montagne d'équation z (x,y) = -150 * (4x² + 5y² -93100), au point de coordonnées M (18,3; 14,3) sur la carte. Dans quelle direction (sur la carte) allez vous partir pour espérer atteindre le sommet le plus rapidement ?
On donnera la réponse sous la forme d'un vecteur unitaire.

Réponse : -(0.715 ex + 0.699 ey)
(il y a une flèche sur le e, c'est un vecteur, x et y sont en indice).

Problème visiblement mal posé, le sommet est en (0,0) puisque le max de z est évident sur ce point et de forme elliptique. Qu'appelle t-on atteindre le sommet le plus rapidement ?
Sans autre précision, le chemin le plus court est la ligne directe vers le sommet, ce qui donnerait (-0,788 ex, -0.616 ey) qui ne correspond pas à la réponse voulue. Qu'est ce qui dans l'énoncé interdit une montée en oblique ?
L'auteur a probablement fait l'analogie avec l'écoulement d'un filet d'eau, qui serait un autre problème.

**XK150** · 01/10/2020, 10h23

Bonjour phys4 ,

Ah oui , j'avais trouvé le sommet de l'ellipsoïde , donc je suis content !!!

Mais pour aller plus loin , à quel trajet correspond la réponse donnée ? Sauriez vous la retrouver ( ... pas moi ) ?

**jacknicklaus** · 01/10/2020, 10h48

Envoyé par phys4

Qu'appelle t-on atteindre le sommet le plus rapidement ?

l'auteur de l'exercice ayant en tête le vecteur suivant (à normaliser)
$\text{[math]}$

sa formulation n'est en effet pas très claire.

**leroisinge** · 01/10/2020, 16h26

Bonjour Messieurs !

J'ai compris et ai résolu la moitié de mon exercice. Je vous mets mon travail en PJ
Que dois je faire maintenant ? Pourquoi ne puis je pas développer la parenthèse ?

Merci de votre attention !

1 pièce jointe :

**jacknicklaus** · 01/10/2020, 16h46

Envoyé par leroisinge

Que dois je faire maintenant ?

Relire la question qui t'es posée. je cite :

On donnera la réponse sous la forme d'un vecteur unitaire.

Envoyé par leroisinge

Pourquoi ne puis je pas développer la parenthèse ?

Que veux tu faire de plus ? Tu as calculé un vecteur et donné ses deux composantes. "développer la parenthèse" n'a aucun sens, sauf faire rentrer le 150 dans la parenthèse, ce qui n'est pas très utile vu que tu dois faire ceci :

On donnera la réponse sous la forme d'un vecteur unitaire.

Tu as tous les éléments , prends toi en main au lieu de demander "que dois-je faire" à chaque étape. Sers toi de tes capacités !

**leroisinge** · 01/10/2020, 16h51

Tu as tous les éléments , prends toi en main au lieu de demander "que dois-je faire" à chaque étape. Sers toi de tes capacités !

Maisssss

C'est nouveau ca pour moi les gradientttssss
C'est pour ca que j'ai besoin d'être un peu accompagné et que je poste sur le forum... sinon je l'aurai fait tout seul

(au passage, je le redis, vous m'aidez beaucoup, ca m'est très utile, je vous en remercie)

azizovsky · 01/10/2020, 17h49

Il faut définir un vecteur unitaire à partir de ce gradient .(vecteur directionnelle selon laquelle le vecteur grad(f) est max $\text{[math]}$ ) avec $\text{[math]}$

pour le max il faut que $\text{[math]}$ on 'a $\text{[math]}$ ==> $\text{[math]}$

**leroisinge** · 02/10/2020, 20h54

Merci pour votre réponse Azizovsky.
Je n'avais pas bien compris vos calcul au début, mais là, c'est clair !

Juste une petite question : pourquoi faut t'il que téta = o ? pour le max (dernière ligne de votre message)

Bonne soirée !

**leroisinge** · 03/10/2020, 10h45

Aussi, je n'ai pas bien compris pourquoi il a fallu rajouter des valeurs absolues (premiere ligne de calcul).
Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait ?

Merci d'avance !

**leroisinge** · 03/10/2020, 11h00

Aussi, je n'ai pas bien compris pourquoi il a fallu rajouter des valeurs absolues (premiere ligne de calcul).
Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait ?

Merci d'avance !

(pardon, le message a été envoyé deux fois)

**gts2** · 03/10/2020, 12h11

Envoyé par leroisinge

pourquoi faut t'il que theta =0o ?

Maximum d'un cosinus, non ?

**gts2** · 03/10/2020, 12h14

Envoyé par leroisinge

Aussi, je n'ai pas bien compris pourquoi il a fallu rajouter des valeurs absolues (première ligne de calcul).

Définition d'un produit scalaire

**leroisinge** · 03/10/2020, 15h34

Merci pour votre réponses.

Dernière chose, et j'espère ne plus vous déranger après ca. Comment passe t'on de la formule en rouge à celle en bleue ? Car, si on passait le vecteur u de l'autre coté, ca nous donnerait 1/u ? non ?

**gts2** · 03/10/2020, 17h02

Il ne faut pas prendre le implique seulement entre rouge et bleu (dans ce cas c'est faux).
Mais on sait que l'angle $\text{[math]}$ entre les deux est nul, donc le vecteur gradient et $\text{[math]}$ ont même direction. D'autre part $\text{[math]}$ est unitaire,
On a donc $\text{[math]}$ , et en prenant la norme on obtient la relation en bleu.

**leroisinge** · 03/10/2020, 17h15

Il ne faut pas prendre le implique seulement entre rouge et bleu (dans ce cas c'est faux).

Manque t'il un mot dans votre phrase monsieur ?

Mais comment passe t'on exactement de la relation en rouge à celle en bleue ?

**gts2** · 03/10/2020, 17h42

Je réécris ma phrase : "rouge implique bleu" est faux, il faut prendre le message en entier ; on ne peut passer de la relation rouge à la bleue.

Il faut prendre l'ensemble : on montre que
1- le déplacement u est de même direction que le gradient
2- ensuite c'est juste une décomposition du vecteur gradient en norme et direction;

**langcheuv** · 03/10/2020, 18h48

C'est peut être le gradient qui vous embrouille.
Dans un exercice de mécanique de base on repère un point $\text{[math]}$ par rapport à l'origine du repère $\text{[math]}$ par un vecteur $\text{[math]}$ . On définit un vecteur $\text{[math]}$ de norme unité et qui pointe dans la direction de $\text{[math]}$ si bien qu'on peut écrire $\text{[math]}$ . On a donc
$\text{[math]}$ , (quand ya pas de flèche c'est la norme hein).

azizovsky · 03/10/2020, 20h12

La surface est représenté ici https://www.wolframalpha.com/input/?...from+0+to+14.3

oublie la surface, le deuxième plot est les ligne de d'équidistance (projection sur le plan(x,y) comme en géologie pour représenter les montages: points de même hauteur) , pour aller de M(x,y) à O(0,0) ''rapidement'', il faut allé directement, c'est le gradient, la direction =le victeur grad/sa norme .

https://youtu.be/TAHu5q0LDJo?t=210

**leroisinge** · 03/10/2020, 22h05

Merci azizovsky, langcheuv, et gts2.
Je pense avoir assez bien compris le gradient.
Mais vous avez raison, le gradient est nouveau pour moi.

Ce que je n'arrive pas (désolé de vous embeter), c'est de passer du gradient au vecteur unitaire.

Par exemple, dans la pièce jointe, je ne comprends pas les 2 premières lignes de calculs. D'ou viennent t'elles ? que signifient elles ?

Merci de votre aide

**langcheuv** · 03/10/2020, 22h47

Si vous parlez du message du #11, c'est simplement la définition du gradient. Le gradient est une généralisation de la notion de de dérivée, pour une fonction de une seule variable on écrirait $\text{[math]}$ . Pour une fonction d'une seule variable, il n'y a qu'une seule tangente en un point de la courbe representative de la fonction. Pour une fonction de deux variables c'est plus une courbe, mais une surface (ici une montagne en gros) si bien qu'il existe une infinité de tangente en un point considéré (un plan en fait). Une petite variation de f s'écrit $\text{[math]}$ . Où $\text{[math]}$ est un vecteur qui pointe vers les plus fortes variations de f (dans cette exemple, dans la direction où la pente est la plus forte) . Mais il existe d'autres tangentes contenues dans le plan (voir plus haut), si vous vous éloignez selon une autre direction que le gradient (selon un vecteur $\text{[math]}$ ) vous allez "montez moins vite". C'est plus facile avec dessin.

**gts2** · 03/10/2020, 23h04

Pour ce qui est de la première ligne, c'est la définition "géométrique" d'un vecteur $\text{[math]}$ , il a une direction, $\text{[math]}$ (vecteur unitaire de norme 1), et une "longueur" V.

On a donc $\text{[math]}$ , si on prend la norme $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$

azizovsky · 04/10/2020, 00h13

Je va essayer de simplifier, soit la fonction $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ des constante données de tel façon que l'équation représente la moitié d'une pomme de terre (surface), si on fixe $\text{[math]}$ ce qui signifie qu'on prend un plan qui passe passe par $\text{[math]}$ qui coupe la surface parallèle au plan (y,z), l'intersection de ce plan avec la surface est la courbe $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , donc la dérivée de $\text{[math]}$ de la même manière si on coupe notre moitié de la pomme de terre dans l'autre sens orthogonale à la première coupe, l'intersection est courbe $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ , au point d'intersection des deux coupe sur la surface, on peut écrire la différentielle $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ représente les variation des courbes selon les coupes et la somme la courbe sur la surface.

on voit que $\text{[math]}$ est un produit scalaire de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ,i.e: $\text{[math]}$

le vecteur $\text{[math]}$ est dans le plan (x,y) d'après ses coordonnées

on voit que $\text{[math]}$ (à cause du $\text{[math]}$ )

donc la variation est grande pour $\text{[math]}$

càd $\text{[math]}$ ==> $\text{[math]}$ (sans supposer le vecteur unitaire dès le départ ) .

azizovsky · 04/10/2020, 00h31

Soit: $\text{[math]}$ sur un schéma on voit que $\text{[math]}$ , i.e $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ une vecteur unitaire car $\text{[math]}$

**leroisinge** · 04/10/2020, 20h14

azizovsky, gts2, langcheuv, merci d'avoir pris le temps de m'écrire.
Vos efforts n'ont pas été vains, j'ai compris !

J'ai résolu l'exercice (voulez vous le "voir" en PJ)
Je peux vous le mettre si vous voulez, pour vous montrer que je l'ai bien recherché (comme ce qu'indique les règles du forum) ?

Merci de votre attention, et bonne soirée !
A bientot pour de nouvelles aventures en physique-chimie !

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