Résultat absurde: résolution de l’équation de Helmholtz

[Alex1504]

Bonjour,
Je m'intéresse à la résolution de l’équation de Helmholtz dans la matière et j’obtiens en utilisant la transformée de Fourier un résultat surprenant dans le cas où n^2 n’est pas réel: je trouve que la solution est forcément nulle (ce qui est évidemment faux).
Voilà le raisonnement:
Où est l’erreur? N’ai-je pas le droit d’utiliser la transformation de Fourier? Faut-il prendre des bornes dans C^3 et non dans R^3 dans la transformée de Fourier?
Merci d’avance pour vos réponses et à bientôt
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[Alex1504]

En gros, j’ai l’impression qu’on loupe toutes les ondes évanescentes avec cette méthode.

[gts2]

Bonjour,

Pourquoi k ne serait-il pas complexe ?
L'utilisation de k complexe est tout à fait courante, il faudrait peut-être qu'un mathématicien passe dans le coin pour y mettre les formes.

[ThM55]

Bonjour. Vous écrivez que |k|^2 est réel. Dans ce cas pourquoi ne pourrait-il pas être égal à cette grandeur réelle n\omega^2/c^2? Je vois une contradiction entre les lignes 7 et 8 de votre texte. La ligne 7 dit que c'est réel, la ligne 8 dit que la même chose ne peut être réel. C'est incompréhensible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Je suppose que veut dire que n² appartient à C mais pas à R ?

[azizovsky]

Déjà la fonction en question est une transformée de Fourier .

[ThM55]

Cela ne pose pas de problème, c'est déjà une transformée de Fourier mais seulement pour t, donc exprimée en fonction de la fréquence, par pour x,y,z.

La transformée de Fourier effectuée ici est une transformée spatiale sur x,y,z. Mais la ligne 7 exprime si je comprends bien que |k|^2 est réel (n'est pas dans C\R) et la ligne 8 dit que n^2\omega^2/c^2 est réel aussi ("est dans R\C", ce qui est très maladroitement exprimé: pour moi R\C est au mieux l'ensemble vide ou au pire ne veut rien dire du tout dans le langage des ensembles; il vaudrait mieux dire "est dans R"). Bref à mon avis c'est un argument non sequitur, il n'y a pas de raison d'en conclure que la fonction est nulle. Il vaut mieux se demander ce que les conditions aux limites vont apporter comme contraintes sur les fréquences spatiales. Dans ce contexte il faut aussi noter que ce choix de transformée spatiale n'est pas forcément le meilleur, cela peut dépendre de la symétrie des conditions aux limites. Si par exemple on a une symétrie sphérique il vaut mieux passer en coordonnées sphériques, séparer les variables et utiliser les harmoniques sphériques et d'autres fonctions spéciales pour la partie radiale (j'ai un peu oublié les détails, cela date des années 1970 pour moi, mais en cas de besoin je saurais tout retrouver en moins d'une heure). Un cours élémentaire sur les équations aux dérivées partielles s'impose.

Il aurait aussi été plus judicieux d'opérer une rotation horaire de 90 degrés sur la figure pour nous éviter la peine de devoir le faire.

[gts2]

et la ligne 8 dit que n^2\omega^2/c^2 est réel aussi ("est dans R\C", ce qui est très maladroitement exprimé.

Je pense que c'est un pb de présentation et qu'il a voulu dire que k2 réel ne pouvait être égal à n2... non réel.
Mais c'est à Alex 1504 de préciser.

[azizovsky]

D'où sort cette équation ? la fonction dans l'équation de Helmholtz a un seul variable : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...n_de_Helmholtz

[gts2]

Sinon pour répondre à la question initiale : espci ; p.31 pour l'intro et p.48 pour k complexe.

[Alex1504]

Merci pour vos réponses à tous. Effectivement, ne pas appartenir à C\R... c'est assez maladroit! (ça revient à appartenir à R). Et oui, on peut avoir des k complexes quand on représente une onde plane par la partie réelle d'une exponentielle, comme dans le document de l'espci. Mais ce n'est pas le cas quand on manipule des transformées de Fourier: la fonction psi(k, w) transformée de Fourier de psi(r,t) est bien une fonction de variables réelles (la transformée de Fourier inverse se fait de toute manière avec des bornes réelles: c'est la définition mathématique de cette opération).
J'ai demandé ce matin à mon professeur de physique pourquoi j'obtenais psi(r,w) nul si n^2 complexe et il m'a répondu que c'est car les solutions non nulles de l'équation de Helmholtz avec n^2 non réel divergent "fortement" (en gros en exponentielle) et que par conséquent, semble-t-il, ne peuvent pas s'écrire comme une transformée de Fourier (après ça reste flou: je ne connais pas la théorie des distributions). Après, d'après mon prof, d'autres méthodes de résolution existent, mais elles sont plus compliquées (méthode des images par exemple). Cette réponse me satisfait: je comprends pourquoi j'obtiens un résultat étrange

[gts2]

car les solutions non nulles de l'équation de Helmholtz avec n^2 non réel divergent "fortement"

Tout dépend de n², si c'est le n d'un laser, cela va diverger, mais si c'est une solution absorbante, on va avoir une sinusoïde amortie (cf. vos TP Beer Lambert).