Analyse énergétique de systèmes du premier ordre.

[yvon l]

Bonjour,
Dans le cadre de spécialités dans l’enseignement secondaire supérieur (Belgique) , on est amené à étudier le comportement dynamique de systèmes simples du 1er ordre. Par exemple la variation de niveau d’eau dans le temps (H(t)) d’une cuve cylindrique avec un trou de fuite en bas ( et/ou éventuellement la variation de niveau d’eau dans la cuve récupérant cette eau).
Peut-on dire que dans ces systèmes de 1er ordre ont un comportement lié au caractère dissipatif du transfert d’énergie ?
Sinon, pouvez-vous donner un exemple ?
Dans la mesure du possible et vue le contexte, pour les explications, restons dans l’aspect exponentiel (constante de temps) du comportement en évitant toute la batterie de l’analyse mathématique (Laplace) (sauf si nécessaire).
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[gts2]

Les systèmes linéaires d'ordre 1 peuvent être vus comme des systèmes stock-flux, le terme en x' représente la variation du stock et pour que le terme de flux soit en x, il faut une relation type loi d'Ohm, c'est là que se trouve le terme de dissipation énergétique.

Prenons un circuit RC, le flux i fait varier le stock q (donc U) , si on multiplie par u, on tombe sur , on a bien dissipation de l'énergie du condensateur par effet Joule.

Pour votre cuve, c'est la "loi d'Ohm" hydraulique, , le flux est le flux d'eau, l'énergie stockée celle de pesanteur dans la cuve, et la dissipation s'effectue dans les tuyaux.

Donc pour trouver votre comportement, il faut trouver le stock d'énergie et la loi d'Ohm associés à x.

[yvon l]

Merci pour ta réponse.

Les systèmes linéaires d'ordre 1 peuvent être vus comme des systèmes stock-flux, le terme en x' représente la variation du stock et pour que le terme de flux soit en x, il faut une relation type loi d'Ohm, c'est là que se trouve le terme de dissipation énergétique.
(..)

Les exemples tels que charge d'un condensateur ou établissement d'un courant dans une inductance sont associés à une résistance pour obtenir un système de premier ordre. Idem avec un condensateur qui charge un autre condensateur mais la, seul, une partie de l'énergie est dissipée (50% si les C sont identiques)).
En hydraulique également, en transférant du potentiel en thermique. Si par exemple on a 2 cylindres identiques, dont l'un est rempli d'eau, après transfert via une conduite entre les cylindres, le potentiel est diminué par 2 (même masse totale,et centre de gravité divisé par 2 (par rapport à la base des cylindres), donc nécessairement transfert thermique au niveau de la conduite (50% également)

La question pourrait être plus fondamentale. De tels systèmes augmentent-ils toujours l'entropie du système (et de son entourage) pendant pratiquement 5 fois la constante de temps To ( To=caractéristique d'un système d'ordre 1) ?

[gts2]

On pourrait faire une étude thermodynamique, mais en étudiant le système d'un point de vue thermodynamique.
Une EDO linéaire d'ordre 1 est avant tout une modélisation simple (linéaire) d'un système, on ne peut pas en déduire un renseignement thermodynamique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yvon l]

On pourrait faire une étude thermodynamique, mais en étudiant le système d'un point de vue thermodynamique.
Une EDO linéaire d'ordre 1 est avant tout une modélisation simple (linéaire) d'un système, on ne peut pas en déduire un renseignement thermodynamique.

Effectivement. Les modèles des exemples sont dans la réalité du second ordre. Pour les modèles hydrauliques, le second ordre s'impose si on tient compte de l'inertie de la masse d'eau en mouvement et dans le cas des condensateurs de l'énergie des charges en mouvement dans l'inductance (parasite).
Par contre pourquoi ne pas voir, en se référant à des exemples, si à partir de ses modélisations du 1er ordre, on ne peut pas en tirer certaines conclusions en thermodynamique. Un seul exemple de transfert non dissipatif pourrait suffire.

[gts2]

Si on considère que dans un système d'ordre 1, le terme en x provient d'une loi d'Ohm, l'étude thermodynamique de la loi d'Ohm donne l'entropie créée.

Prenons la loi d'Ohm classique U=RI, l'entropie créée par unité de temps est tout simplement dS_c/dt=RI²/T

[stefjm]

Plus généralement, un système du premier ordre convertit de l'énergie noble en énergie thermique.

Inductance-condensateur : conservation énergie électrique mais fuite vers la chaleur par la résistance.
Masse-ressort : conservation de l'énergie mécanique mais fuite vers la chaleur par le frottement.

Avec un asservissement, on peut injecter de l'énergie dans ce système : Résistance négative ou "frottement" qui poussent dans le sens du déplacement. C'est le principe des oscillateurs qui comprensent les pertes.

La modélisation d'un premier ordre peut toujours se faire avec une intégration dont la sortie sera la variable d'état (x courant inductif, ou tension capacitive ou position ou vitesse) et une contre réaction pour la partie résistive (Résistance ou coefficient de frottement).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C...3%A9sentations
Pour un ordre 1, pas besoin de matrice.

D'un point de vu mathématique, la réponse du système en exponentielle réelle correspond au vecteur propres du système linéaire. Un système linéaire transforme une exp en exp. Le signe de la constante de temps donne le sens de transfert :
Constante de temps positive, pôle négatif, système stable car l'exponentielle tend vers 0 pour temps infini.
Constante de temps négative, pôle positif, système instable car l'exponentielle tend vers l'infini pour temps infini.

On a la même chose mais en imaginaire pur pour la réponse des systèmes d'ordre deux sans frottement.
pulsasion wn, deux pôles en +-j.wn, réponse en exp(j.wn.t), soit sin ou cos. Conservation de l'énergie mécanique, électrique, etc... et conversion entre deux formes potentielle et cinétique.
La modélisation d'état correspondant est une double intégration avec contre réaction.

Tout cela sans transformée de Laplace.

[yvon l]

Merci

Plus généralement, un système du premier ordre convertit de l'énergie noble en énergie thermique.

Inductance-condensateur : conservation énergie électrique mais fuite vers la chaleur par la résistance.

ok

Masse-ressort : conservation de l'énergie mécanique mais fuite vers la chaleur par le frottement.

Ok, mais second ordre

Avec un asservissement, on peut injecter de l'énergie dans ce système : Résistance négative ou "frottement" qui poussent dans le sens du déplacement. C'est le principe des oscillateurs qui comprensent les pertes.

Ok résultat = transfert global continu et dissipatif = le flux énergétique entrée/sortie du système est dissipatif.

La modélisation d'un premier ordre peut toujours se faire avec une intégration dont la sortie sera la variable d'état (x courant inductif, ou tension capacitive ou position ou vitesse) et une contre réaction pour la partie résistive (Résistance ou coefficient de frottement).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C...3%A9sentations
Pour un ordre 1, pas besoin de matrice.

Ok, mais j’en suis resté à la représentation avec fonction de transfert ...

D'un point de vu mathématique, la réponse du système en exponentielle réelle correspond au vecteur propres du système linéaire. Un système linéaire transforme une exp en exp. Le signe de la constante de temps donne le sens de transfert :
Constante de temps positive, pôle négatif, système stable car l'exponentielle tend vers 0 pour temps infini.
Constante de temps négative, pôle positif, système instable car l'exponentielle tend vers l'infini pour temps infini.

Sans math. Condition de stabilité ou non d’un système bouclé
Du point de vue énergétique, toujours dissipatif ?

On a la même chose mais en imaginaire pur pour la réponse des systèmes d'ordre deux sans frottement.
pulsasion wn, deux pôles en +-j.wn, réponse en exp(j.wn.t), soit sin ou cos. Conservation de l'énergie mécanique, électrique, etc... et conversion entre deux formes potentielle et cinétique.
La modélisation d'état correspondant est une double intégration avec contre réaction.

Pour les systèmes passif pas de dissipation. (cas théorique)
Pour un système bouclé, l’entretien des oscillations demande un transfert dissipatif.(du flux traversant)

[stefjm]

Ok, mais j’en suis resté à la représentation avec fonction de transfert ...

C'est facile à voir : https://en.wikipedia.org/wiki/Closed...nsfer_function
Une intégration, c'est en boucle ouverte :

Placée avec une contre réaction à retour unitaire c'est en boucle fermée :

Sans math. Condition de stabilité ou non d’un système bouclé

Sans même l'exponentielle réelle ou imaginaire? Difficile.
Une définition de la stabilité est : Laché avec des conditions initiales non nules et une entrée nulle, le système revient à 0.

Du point de vue énergétique, toujours dissipatif ?
Au final, oui, mais cela dépend de ce qu'on regarde.

On injecte de l'énergie dans un LASER et cela fait de l'émission stimulée.

Un premier ordre qui explose en va prendre toute l'énergie disponible dans son environnement.

Pour les systèmes passif pas de dissipation. (cas théorique)
Pour un système bouclé, l’entretien des oscillations demande un transfert dissipatif.(du flux traversant)

Si les oscillations sont seulement entretenues (pas d'amplification ou atténuation au cours du temps), le bilan du transfert dissipatif est nul. Le système consomme juste ce qu'il faut pour compenser ses pertes.

Une double intégration rebouclée donne :

dont la réponse est en .

Pas de terme d'amortissement en p dans la FT et pas de dérivée simple dans l'EDO. Pas d'exponentielle réelle pour amortir ou exploser la réponse du système.

[yvon l]

C'est facile à voir : [URL]

Si les oscillations sont seulement entretenues (pas d'amplification ou atténuation au cours du temps), le bilan du transfert dissipatif est nul. Le système consomme juste ce qu'il faut pour compenser ses pertes.

Quand je parle de transfert ou flux dissipatif, c'est du transfert nécessaire pour entretenir les oscillations. Par exemple en électricité: le système reçoit de l'énergie électrique, et produit de l'énergie thermique. Et cela pour maintenir l'oscillation. L'oscillation contient une énergie constante (1/2LI² ou 1/2CV²).
Le transfert quant à lui à travers le système à une puissance RI²
J'évite de mélanger transfert et énergie. Ici l'énergie est appelée énergie réactive, elle reste dans le système...
Une puissance réactive wLI² ou V²/wC est à la limite pour moi un abus de langage (mais c'est pratique).

[stefjm]

Quand je parle de transfert ou flux dissipatif, c'est du transfert nécessaire pour entretenir les oscillations. Par exemple en
Le transfert quant à lui à travers le système à une puissance RI²

J'ai l'impression que tu ne regardes que les régimes sinus forcés, par exemple par la source de tension ici.
Dans ce cas, la résistance R permet d'éteindre le transitoire à sqrt(LC) et il ne reste que le forcé à 50Hz.

Dans mes exemples de second ordre, je les laisse osciller tout seul et pour que cela dure, il faut que l'énergie apporté au système soit de puissance R.i^2 pour compenser les pertes. Le flux dissipatif est alors nul car compensé par un apport extérieur.

[yvon l]

cond ordre, je les laisse osciller tout seul et pour que cela dure, il faut que l'énergie apporté au système soit de puissance R.i^2 pour compenser les pertes. Le flux dissipatif est alors nul car compensé par un apport extérieur.

On a un problème de vocabulaire .
Pour moi le flux d'énergie qui alimente le système est un transfert par exemple mécanique ->électrique ->chaleur-> thermique.La puissance du transfert est RI². Il est nécessaire pour maintenir l'oscillation du système. Ce flux est d'autant plus important que les pertes sont importantes. C'est le seul transfert qui provient du générateur et qui se retrouve dans l'air du temps sous forme thermique.
A ne pas confondre avec l'énergie interne contenue dans le système lui-même qui est maintenu à une valeur constante.
Bien sur ici l’énergie interne elle-même subit également un transfert périodique d'énergie entre l'inductance et le condensateur .
J'évite de confondre l'énergie interne du système et le flux (puissance) de l'énergie de basse entropie (électrique) qui entre dans le système et qui en ressort avec une forte entropie (thermique). Cette façon de voir est tout à fait générale.
Tu peux voir l’intérêt de cette approche en regardant ici:
https://forums.futura-sciences.com/d...econdaire.html

C'est une approche d'automaticien

[stefjm]

Je crois quand même qu'on est d'accord sur le fond.

Les lois physiques fondamentales peuvent s'écrire sous forme de contre réaction.
A l'odre 1, il y a échange réversible ou irréversible de la nature de l'énergie.
A l'ordre 2 sans ammortissement, il y échange réversible.

Une résistance fictive de modélisation peut d'ailleurs rendre compte d'énergie mécanique, voir le R/g - R du moteur asynchrone.