Dynamique des systèmes - Système premier ordre
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Dynamique des systèmes - Système premier ordre



  1. #1
    maxime10

    Dynamique des systèmes - Système premier ordre


    ------

    Bonjour à tous,

    Je suis entrain de résoudre un exercice et j'aimerais avoir un avis sur la réponse que j'obtiens car je ne suis pas certain de mon raisonement.

    Il s'agit d'un reservoir ayant un débit sortant et un débit entrant. Le débit entrant est nul entre 0<t<T puis vaut q0 entre T<t<2T puis nul entre 2T<t<3T, .... Le but de l'exercice est de trouver l'expression du débit sortant et de tracer le graph.

    Ce système est représenter par l'equation suivante : où tho = AR et K =R

    Et le débit sortant vaut .

    Si il n'y a pas de débit entrant, la solution de l'equation est
    Si le débit entrant vaut q0, la solution est

    avec comme condition initiale : h(0) = q0*R

    Pour résoudre cet exercice, j'ai résolu l'équation différentielle par intervalle en utilisant les conditions finales de l'intervalle 0<t<T comme conditions initiales de l'intervalle suivant, et ainsi de suite. J'obtiens alors une evolution de ce type :

    Nom : Capture d’écran 2020-10-13 à 11.57.16.png
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Taille : 37,4 Ko

    Je pense que mon raisonnement tient la route. En revanche, je me demande si il n'y a pas un moyen plus rapide pour trouver la réponse.
    Si vous avez une meilleure idée, je serais intéressé de la connaitre.

    Bonne journée à tous,
    Merci d'avance pour votre aide.

    -----

  2. #2
    stefjm

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Salut,
    Ca se fait en 4 lignes de calcul par transformée de Laplace.


    Premier ordre entre débit entrant et h.
    Constante entre h et débit sortant.

    Il suffit d'utiliser l'échelon de Heaviside (et ses retardés), de transformer en Laplace, de multiplier par les fonction de transfert et de revenir à l'original temporel.

    1)


    2) TL en utilisant le th du retard. https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...ion_de_Laplace

    3)
    Multiplication de q par mla fonction de transfert

    4) retour à l'original

    On peut même faire plus joli en utilisant la TL de fonction périodique.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  3. #3
    maxime10

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Bonjour,

    Merci pour votre réponse.

    Donc à l'étape 2, j'aurais :

    A l'étape 3 :

    Et il me reste à revenir en temporel avec la transformée inverse ?

  4. #4
    maxime10

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    A l'étape 4 :



    Je dois avoir une erreur parce que si t<T, mon débit sera nul si je comprends bien mon expression. Je ne trouve pas mon erreur

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    stefjm

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Il n'y a pas d'erreur (ou du moins pas d'évidentes)!

    Les fonction de transfert en Laplace ne permet pas de gerer la condition initiale non nulle ou les composantes continues.
    Il faut le faire après coup.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  7. #6
    maxime10

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    On fait comment pour obtenir les conditions initiales ? Puisque je n'ai plus les constantes d'intégration provenant de l'équation différentielle.
    En fait je voulais une autre méthode afin de pouvoir vérifier mes résultats et mon évolution tempo de q_out car je ne suis pas sûr de mes calculs.

  8. #7
    gts2

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Pourquoi des conditions initiales, il n'y en a qu'une : h=h0.

    Il faut juste traiter la première demi période à part : qui donne soit

    Et cela donne bien les courbes que vous avez donné.

  9. #8
    gts2

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    On peut d'ailleurs tout regrouper ...

  10. #9
    stefjm

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Oui, et pour le faire élégamment avec la TL, il suffit voir que la condition initiale non nulle du premier ordre correspond à la réponse à une impulsion de Dirac en t=0.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  11. #10
    maxime10

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Merci à tous

  12. #11
    maxime10

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Excusez moi pour cette question mais

    Avec la condition initiale, j'obtiens

    Ensuite vous me dites que je peux tout regrouper ensemble, mais je ne vois pas comment faire

  13. #12
    gts2

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Soir en Laplace : qui donne soit

    Soit en s'inspirant de Laplace pour résoudre en temporel : vous avez une suite d'échelons +q0 à (2n-1)T (n=1..) et -q0 à 2nT de solution kq0(1-exp(..)) et kq0(-1+exp(...))
    Il suffit d'ajouter toutes ces solutions (linéarité), avec le décalage temporel adéquat à h0 exp(...) pour avoir la solution.

  14. #13
    maxime10

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Comme ceci ?


  15. #14
    gts2

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Oui, c'est bien cela et cela donne graphiquement :

    Nom : TestLaplace.png
Affichages : 109
Taille : 10,1 Ko

  16. #15
    gts2

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Citation Envoyé par gts2 Voir le message
    En Laplace : qui donne soit
    Ou pour reprendre la suggestion de @stejm qui conduit (heureusement !) à la même chose

    D'où détection d'une faute de parenthèses dans mon expression initiale ! soit

  17. #16
    maxime10

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    Super merci beaucoup

  18. #17
    stefjm

    Re : Dynamique des systèmes - Système premier ordre

    <HS>
    3 forumeurs qui font de la transformée de Laplace sur le même fil de FSG, c'est du jamais vu!
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

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