Coordonnées contravariante et coordonnées covariante

[cc la science]

Bonjour, je voudrais comprendre quelle est la différence et le lien entre Coordonnées contravariante et coordonnées covariante
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[Deedee81]

Salut,

J'ai pas trop le temps de m'attaquer à une description complète ici, mais regarde ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Covari...lin%C3%A9aire)
Ca m'a l'air plutôt bien foutu.

Eventuellement si cela ne te convient pas précise ton niveau de connaissance pour avoir des réponses adaptées.

[mach3]

Salut,

petite explication :

Espace vectoriel et changement de base

Dans espace vectoriel, un vecteur peut s'exprimer comme une combinaison linéaire de vecteurs de base :

(attention les sont des indices haut et bas, pas un exposant et un indice, et on somme implicitement sur les indices répétés en haut et en bas, convention d'Einstein)

Le vecteur a pour coordonnées le n-uplet dans la base formée par les vecteurs de base .

Si on change de base, les vecteurs de la nouvelle base sont liés aux vecteurs de l'ancienne base par une matrice de passage :

(indice non primé = ancienne base, indice primé = nouvelle base)

Dans cette nouvelle base, le vecteur s'exprime :



Les coordonnées dans la nouvelle base sont reliées aux coordonnées dans l'ancienne via la matrice de passage inverse :

(avec , le symbole de Kroenecker qui vaut 1 si ses deux indices sont égaux et 0 sinon)

Comme les coordonnées sont transformées à l'inverse des vecteurs de base, on dit que ces coordonnées sont contravariantes.

On note que les vecteurs de base ont un indice bas, alors que les coordonnées des vecteurs ont un indice haut.

Dual de l'espace vectoriel et 1-formes

Pour tout espace vectoriel V, on peut construire un espace vectoriel dual V*, qui contient les applications linéaires de V vers le corps de base de V, appelées aussi 1-forme. Pour toute base de vecteurs de V, on peut définir une base duale de 1-formes dans V* telle que :



Ainsi, l'application d'une 1-forme à un vecteur donne en termes de coordonnées :



En particulier, l'application de la 1-forme de base sur un vecteur nous donne la coordonnée de ce vecteur et réciproquement, l'application de la 1-forme sur un vecteur de base nous donne la coordonnée de cette 1-forme.

Si on passe d'une base de V à une nouvelle base , il faut passer de la base duale de V* à une nouvelle base duale de façon à avoir :



Cela implique que la base duale se transforme à l'inverse de la base :



et donc que les coordonnées d'une 1-forme se transforment comme la base :



C'est pour cela que les coordonnées de la 1-forme sont dites "covariantes".

On note que les 1-formes de base ont un indice haut, comme les coordonnées des vecteurs, alors que les coordonnées des 1-formes ont un indice bas, comme les vecteurs de base : c'est tout l’intérêt de cette notation avec des indices haut et bas due à Ricci :
indice bas = covariant, qui change comme la base
indice haut = contravariant, qui change à l'inverse de la base

espace muni d'une métrique

Allons un cran plus loin, en considérant un espace vectoriel doté d'une métrique (un espace euclidien par exemple). La métrique est une forme bilinéaire symétrique qui transforme une paire de vecteur en un nombre. Son application à un unique vecteur (laissant un "slot" vide) le transforme en une 1-forme : la métrique permet d'associer canoniquement chaque 1-forme de l'espace dual à chaque vecteur :

: pour chaque vecteur , ou a une 1-forme

En particulier, on a :


Si on l'applique à , cela donne :



Et d'une manière générale :



Les sont les coordonnées de la 1-forme associée canoniquement au vecteur via la métrique. Il est d'usage de simplement écrire :



Le rôle de la métrique peut être considéré comme celui de "descendre" l'indice. Les sont les coordonnées contravariantes du vecteur u, alors que les sont ses coordonnées covariantes (en fait ce sont les coordonnées d'une 1-forme, donc covariante, mais pas n'importe quelle 1-forme : celle qui est associée à par l'application de la métrique).

Le tenseur métrique inverse (transforme une paire de 1-forme en un nombre et appliqué à une unique 1-forme la transforme en un vecteur) peut servir à l'opération inverse, c'est à dire une "montée" d'indice :



Les sont les coordonnées covariantes de la 1-forme , alors que les sont ses coordonnées contravariantes.

Les montées et descentes d'indices ne sont possibles que si il y a une métrique, ainsi parler de coordonnées contravariantes et covariantes d'un vecteur n'est valide que si il y a une métrique. En l'absence de métrique, le vecteur ne possède que ses coordonnées contravariantes.

J'espère ne pas avoir été trop lapidaire, ne pas hésiter à demander des éclaircissements.

m@ch3

[cc la science]

Bonjour même si je vais m'éloigner un peu du sujet ; est ce que la matrice de transformation définit en haut à une valeur ?Et ensuite que veut tu dire par "on peut définir une base duale de 1-formes " .
Et quel est l'opération utilisé pour définir la base dual et autre .
Merci à l'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[cc la science]

Une dernière chose est ce que les Coordonnées contravariante et coordonnées covariante ont une signification physique ou c'est juste pour simplifier l'écriture

[Deedee81]

Juste sur ce point. Peut-être d'autres points de vue seront utiles.

Une dernière chose est ce que les Coordonnées contravariante et coordonnées covariante ont une signification physique ou c'est juste pour simplifier l'écriture

Les coordonnées sont des concepts humains/mathématiques, qu'elles que soient ces coordonnées. On modélise l'espace (ou l'espace-temps) par un espace vectoriel (ou une variété etc...) et on y définit des coordonnées. Après, on préfère bien entendu faire correspondre ces coordonnées à des mesures physiques (référentiels avec étalons de longueur ou de durée etc...).

Sinon oui l'usage des coordonnées contravariantes et covariantes simplifient beaucoup les choses.

[mach3]

Sur le changement de base :

Une base d'un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui doivent avoir certaines propriétés (ils doivent être aussi nombreux qu'il y a de dimensions à l'espace vectoriel, et ils doivent être indépendant, impossible d'exprimer l'un d'eux comme combinaison linéaire des autres), mais en dehors de cela c'est complétement arbitraire. En pratique on utilise la base qui nous arrange le plus pour faire certains calculs sur les coordonnées dans cette base. Selon les besoins, on peut avoir à utiliser plusieurs bases différentes et il faut donc savoir comment on passe de l'une à l'autre, et plus précisément, comment on passe des coordonnées dans une base aux coordonnées dans l'autre base.

Chaque vecteur de la base d'arrivée peut s'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la base de départ. Si la dimension de l'espace est n, on a n relations du type :



Les sont les coordonnées dans la base du vecteur . Ce sont des nombres précis qui forment une matrice.

Sur la base duale :

Quand on a choisi une base de l'espace vectoriel, on peut définir des 1-formes qui ont un rôle particulier vis-à-vis des vecteurs de base, chacune aura comme propriété de donner 1 quand elles sont appliqués à un vecteur de base en particulier, mais 0 quand elles seront appliquées à tous les autres :

: cela signifie que appliqué à donne 1 si et 0 si . Par exemple :




On peut montrer que si on a une base d'un espace vectoriel V, formée par n vecteurs, il existe toujours un unique ensemble de n 1-forme dans l'espace dual V* qui sont telles que et que cet ensemble forme une base de l'espace dual V* (c'est à dire un ensemble de n 1-formes indépendantes, aucune ne pouvant s'exprimer comme combinaison linéaire des autres), qu'on appelle base duale.
Il faut noter que l'espace dual V* est en fait lui-même un espace vectoriel, dont le dual est l'espace vectoriel V.

La notation est une autre façon d'écrire : ou de façon équivalente .
La 1-forme est une fonction qui transforme un vecteur en scalaire, donc on peut la noter et appliquée sur un vecteur cela donne . Cependant, comme dit plus haut, l'espace dual V* des 1-formes est lui même un espace vectoriel, dont le dual est l'espace vectoriel V, donc on peut considérer à l'inverse que le vecteur est une fonction qui transforme une 1-forme en scalaire, qu'on peut noter et appliqué à une 1-forme, cela donne .
Dernier point, les fonctions et sont linéaires, c'est à dire que pour tout scalaire k :

est ce que les Coordonnées contravariante et coordonnées covariante ont une signification physique ou c'est juste pour simplifier l'écriture

une coordonnée, qu'elle soit contravariante ou covariante, n'a pas nécessairement de sens physique car on peut définir arbitrairement une infinité de bases et une infinité de systèmes de coordonnées. Après, en pratique, on choisit souvent une base/un système de coordonnée dans lequel les coordonnées ont un sens physique.

m@ch3

[Deedee81]

Une représentation géométrique : https://dournac.org/sciences/tensor_...#x8-300001.5.3
(voir la figure)

J'ai toujours trouvé cette façon de voir assez parlante et claire (enfin, en première étape tout du moins) et qui permet de mieux voir le rapport avec d'éventuelles mesures de coordonnées.

[cc la science]

Merci beaucoup