Fréquence angulaire

[invite00924489]

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé qui me pose problème. Une bille roule dans un bol d'équation parabolique y=Ax². Montrez que la fréquence angulaire des petites oscillations est w=sqrt(2Ag).

Le problème est que je connais la fréquence angulaire comme étant définie avec les constantes k et m. Ici comme je n'ai pas ces informations, je dois passer par un autre chemin mais je n'ai pas la moindre idée de comment débuter. Quelqu'un aurait une piste?
Je vous remercie.
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[gts2]

Le problème est que je connais la fréquence angulaire comme étant définie avec les constantes k et m.

Ce n'est en aucun cas une définition, cela résulte de l'étude du système.
Comment avez-vous étudié le système conduisant à votre expression de la pulsation ?
Il faut faire ici le même genre d'étude.

[phys4]

Une bille roule dans un bol d'équation parabolique y=Ax². Montrez que la fréquence angulaire des petites oscillations est w=sqrt(2Ag).

Le problème est que je connais la fréquence angulaire comme étant définie avec les constantes k et m. Ici comme je n'ai pas ces informations, je dois passer par un autre chemin mais je n'ai pas la moindre idée de comment débuter.

Bonjour,
Votre bol a une équation Ar², la pente radiale correspond à la dérivée dy/dr = 2*A*r, la force de rappel vers le centre est m*g*2*A*r.
Ainsi la masse m s'élimine dans le calcul de la fréquence.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Juste une question de curiosité.

Ne doit-on pas tenir compte qu'on a une bille qui roule et pas un mobile qui glisse sans frottement ?
L'énergie cinétique de rotation de la bille (pas négligeable du tout devant l'énergie cinétique de translation) ne modifie-t-elle pas le résultat w=sqrt(2Ag) qu'on est censé trouver ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Ne doit-on pas tenir compte qu'on a une bille qui roule et pas un mobile qui glisse sans frottement ?

Si le texte dit explicitement "qui roule", oui bien sûr.

[Opabinia]

Bonjour,

Peut-être pourrait-on partir de l'expression de la conservation de l'énergie mécanique totale du système:

E_mt = E_p + E_c = C^te ?

Si la bille roule sans glissement, alors il n'y a pas de frottements; il intervient alors une relation entre la vitesse angulaire (ω) de rotation du mobile autour de son axe, et la vitesse de translation (v) de son barycentre:

v = R.ω ,

ce qui conduit, pour l'énergie cinétique, à l'expression:

E_c = E_ct + E_cr = (1/2)mv² + (1/2)Jω² = (1/2)(mv² + (2/5)mR².(v/R)²) = (7/10)mv² ,

en prenant J = (2/5)mR² pour une sphère homogène (valeur citée de mémoire) ... cela ne semble pas conduire au résultat attendu.

En prenant E_p = mgy = mgAx² et E_c = (1/2)mv²(1 + b) , il vient:

E_mt = mgAx² + (1/2)mv²(1 + b) = C^te

et par dérivation, sachant que l'on a de plus pour de petites oscillations v ~ x' et a ~ x" :
2mgA.xx' + (1 + b)m.x'x" = 0, soit finalement: x" = -(2gA/(1 + b)).x = -ω²x .

On obtient ω = (2gA/(1 + b))^1/2 .
Le coefficient (A) est homogène à l'inverse d'une longueur.
Il faut apparemment se résoudre à prendre b = 0 , donc admettre un glissement sans roulement ... ce qui n'est guère réaliste.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Peut-être pourrait-on partir de l'expression de la conservation de l'énergie mécanique totale du système:

E_mt = E_p + E_c = C^te ?

Si la bille roule sans glissement, alors il n'y a pas de frottements; il intervient alors une relation entre la vitesse angulaire (ω) de rotation du mobile autour de son axe, et la vitesse de translation (v) de son barycentre:

v = R.ω ,

ce qui conduit, pour l'énergie cinétique, à l'expression:

E_c = E_ct + E_cr = (1/2)mv² + (1/2)Jω² = (1/2)(mv² + (2/5)mR².(v/R)²) = (7/10)mv² ,

en prenant J = (2/5)mR² pour une sphère homogène (valeur citée de mémoire) ... cela ne semble pas conduire au résultat attendu.

En prenant E_p = mgy = mgAx² et E_c = (1/2)mv²(1 + b) , il vient:

E_mt = mgAx² + (1/2)mv²(1 + b) = C^te

et par dérivation, sachant que l'on a de plus pour de petites oscillations v ~ x' et a ~ x" :
2mgA.xx' + (1 + b)m.x'x" = 0, soit finalement: x" = -(2gA/(1 + b)).x = -ω²x .

On obtient ω = (2gA/(1 + b))^1/2 .
Le coefficient (A) est homogène à l'inverse d'une longueur.
Il faut apparemment se résoudre à prendre b = 0 , donc admettre un glissement sans roulement ... ce qui n'est guère réaliste.

Bonjour,

C'était bien le but de ma question (message 4) un peu hypocrite (j'avais repéré l'erreur l'énoncé ... d'ailleurs bien récurrente dans ce type de problème).

L'énoncé est faux avec une bille qui roule ...
w=sqrt(2Ag) serait le résultat avec un objet qui glisse sans rouler et sans frottement.