interprétation tenseur de Ricci et courbure scalaire

[hindz]

Bonjour,

Je voudrai savoir comment on pourrait interpréter visuellement ou géométriquement le tenseur de Ricci Ric(v) suivant un vecteur v, par rapport à ce vecteur v? et de même pour la courbure scalaire en un point x : R(x)?
Merci à vous.
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[ThM55]

Quel est votre niveau en math? Je ne voudrais pas qu'on me reproche à nouveau d'assommer le lecteur avec des maths alors qu'il n'a pas le niveau. La nature de la question est mathématique mais comme elle est posée sur un forum de physique je suppose qu'elle se situe dans le cadre de la relativité générale.

Connaissez-vous l'interprétation géométrique du tenseur de Riemann en terme de déplacement parallèle d'un vecteur tangent sur un contour? Il permet de calculer la variation delta-V d'un vecteur V lorsque celui-ci est déplacé parallèlement autour d'un petit quadrilatère délimité par deux vecteurs tangents e1 et e2. Ce tenseur de Riemann a 4 indices: pour un contour infinitésimal, le petit quadrilatère déterminé par e1 et e2, cela lui donne déjà 2 indices. Le vecteur V que l'on déplace parallèlement autour du contour subit une variation de nature vectorielle deltaV déterminée par le tenseur de Riemann, cela lui confère un troisième indice. Et enfin pour un déplacement infinitésimal la variation dépend linéairement du vecteur de départ, le tenseur de Riemann doit donc contracter un quatrième indice avec celui de ce vecteur.

Le tenseur de Ricci est une contraction du tenseur de Riemann, analogue à la trace d'une matrice: on somme les éléments qui ont les mêmes premier et troisième indice. Son interprétation n'est pas immédiate ni aisée à visualiser. Algébriquement c'est une trace, donc un des invariants du tenseur de Riemann. Quand il est appliqué à un vecteur, on fait la somme des projections de sa variation sur un des côtés du quadrilatère quand ce côté prend toutes les directions de base. C'est une sorte de moyenne de l'effet de la courbure sur les diverses orientations du contour.

Je sais que ce n'est pas très clair comme explication. Dans le cours de Sean Carrol: https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.pdf le chapitre 3 décrit la courbure en détail et montre comment ces définitions s'appliquent aux surfaces de l'espace à 3 dimensions que nous pouvons visualiser. La courbure scalaire est aussi expliquée.

Avec un peu moins de maths, et plus de physique, il y a le texte de John Baez: https://math.ucr.edu/home/baez/einstein/einstein.html . En fait il explique la signification de l'équation d'Einstein, qui met le signe d'égalité entre le tenseur de Ricci (ou plutôt celui d'Einstein, une version légèrement modifiée) et le tenseur d'énergie-impulsion. Mais comme il donne l'interprétation géométrique, et la géométrie est à gauche de ce signe égal, cela donne l'interprétation géométrique du tenseur de Ricci. Son texte est progressif il donne les détails mathématiques vers la fin.

[invite8d8f7bd7]

Bonsoir,
Sans connaissance de votre niveau, difficile de faire une réponse appropriée...cependant vous pouvez jeter un coup d"oeil ici qui vous donnera, j'espère quelques pistes de réflexion:
https://www.naturelovesmath.com/phys...hamp-einstein/

Edit: cela fait doublon avec la réponse de ThM55, mais multiplier les sources et les façons d'expliquer n'étant jamais néfaste...

[ThM55]

Cela semble en effet une très bonne référence avec beaucoup de visualisations, certaines étant même animées. Je vais prendre le temps de la lire. Je crois vraiment aux vertus de la visualisation, la relativité générale a trop longtemps été enseignée comme une aride litanie de formules pleines d'indices.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d8f7bd7]

J'avais parcouru ce lien il y a déjà quelque temps, je pense qu'il est bien fait, et je suis d'accord avec vous, la visualisation permet de faire ressortir le coté physique des mathématiques , n'hésitez de faire part de votre appréciation de ce lien (même si je serai désinscris de ce forum), si vous pointez quelques trucs maladroits, cela me permettra la prochaine fois que j'aurais à le proposer de mettre des bémols sur ces points éventuellement faillibles, je viendrais relire cette discussion.
Merci d'avance.

[hindz]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour vos réponses, vos explications et les liens. C'est très clair.
J'ai un doctorat en maths appliquées aux télécoms, et je travaille pour le moment sur la relativité générale. La partie de courbure surtout la visualisation géométrique de tenseur de Ricci et la courbure scalaire m'ont posé problème en effet. Donc si vous avez même des explications ou des liens de tout niveau je suis prenante.
Et j'aurai donc une autre question, y aurait il une équation reliant la courbure (tenseur de Riemann ou Ricci ..) , un vecteur et la déformation de ce vecteur ?
Merci beaucoup encore une fois.

Hindz

[mach3]

Bonsoir,
Sans connaissance de votre niveau, difficile de faire une réponse appropriée...cependant vous pouvez jeter un coup d"oeil ici qui vous donnera, j'espère quelques pistes de réflexion:
https://www.naturelovesmath.com/phys...hamp-einstein/

Edit: cela fait doublon avec la réponse de ThM55, mais multiplier les sources et les façons d'expliquer n'étant jamais néfaste...

Après rapide parcours en diagonal, je garde de côté, ça à l'air vraiment très bien et ça rejoint ce que j'essaie d'étudier en ce moment quand j'en ai le temps.

Merci pour le partage

m@ch3

[azizovsky]

Un bon résumé pour la visualisation ...

[hindz]

merci bcp !!

[ornithology]

il y a deux bons articles dans le wiki francais.
les boucles de wilson
les connections de levi-civita

[coussin]

Un bon résumé pour la visualisation ...

Je recommande cette chaîne youtube. Très bonnes vidéos sur la RR, RG et la géométrie différentielle.

[ornithology]

Y a t il des sites permettant d écouter la traduction en francais des vidéos youtube ?.

[Archi3]

Après rapide parcours en diagonal, je garde de côté, ça à l'air vraiment très bien et ça rejoint ce que j'essaie d'étudier en ce moment quand j'en ai le temps.

Merci pour le partage

m@ch3

effectivement même impression, les autres articles du blog ont l'air aussi très pédagogiques et bien présentés (je viens de lire celui sur les tenseurs), ça me parait tres utile pour éclaircir la signification "géométrique" des concepts théoriques introduits dans un cours.