Optique ondulatoire, somme et multiplication de fonction en 2D
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Optique ondulatoire, somme et multiplication de fonction en 2D



  1. #1
    Weals

    Optique ondulatoire, somme et multiplication de fonction en 2D


    ------

    Bonjour,

    Je m'adresse ici car malgré avoir recherché, je n'ai pas trouvé de cas similaire à mes questions.
    J'ai un DM à faire (L2 physique) en optique ondulatoire.

    L'intitulé me parle de deux fonctions 1D, f1(z,t) = 32sin[(2z^2 - t)^2] et f2(x,t) = 32sin[(2x^2 - t)^2]

    Je dois prouver qu'il s'agit d'ondes, donner la direction de propag et la vitesse. Je les place sous la forme Asin[k(z-vt)]. Ce qui équivaut à 32sin[(2z(z - t/2z))^2]. Je trouve donc des vitesses égales à 1/2z et 1/2x m/s respectivement. Je me demandais si cela était possible d'obtenir des vitesses dépendantes de l'espace, surtout en optique ça me semble contre-intuitif...


    On doit ensuite considérer la fonction f(x,z,t)=f1 + f2 . Montrer que c'est une fonction d'onde, donner la direction de propagation et les composantes de sa vitesse (avec t en s, x et z en m).

    Je suppose qu'une somme de deux fonctions d'onde reste une onde si il n'y a pas d'interférence destructrices (ce qui ne serait pas le cas ici car les propagations sont suivant deux axes différents). Pour la direction je suppose qu'il s'agit juste du vecteur (1,0,1). En revanche pour réussir à déterminer la vitesse je ne sais pas comment m'y prendre car les ondes se propagent dans deux directions différentes.

    On doit ensuite calculer le d'alembertien de g(x,y,t) = f1*f2 et en conclure quant au fait qu'il s'agisse d'une fonction d'onde ou non.
    De même ici, je calcule le d'alembertien sans passer par les complexes (j'ai l'impression de ne pas pouvoir dire que 32sin[(2z^2 - t)^2] * 32sin[(2x^2 - t)^2] = 32(exp(i(2z^2 - t)^2))*exp(i((2x^2 - t)^2)), je ne peux pas le faire peut être car il s'agit d'une fonction composée ?)
    Le fait est qu'en calculant le d'alembertien en réel je tombe sur une somme de cos et sin au numérateur et dénominateur et je n'arrive pas à m'en sortir.

    En espérant poster ce message au bon endroit,

    Cordialement.

    -----

  2. #2
    gts2

    Re : Optique ondulatoire, somme et multiplication de fonction en 2D

    Bonjour,

    Vous êtes sûr du texte ? Ce n'est pas homogène, mais peut-être que c=1.

    Ce n'est pas parce que g ne vérifie pas d'Alembert que ce n'est pas une onde.

    Des vitesses dépendantes de l'espace, c'est la base de l'optique ondulatoire (par l'indice du milieu), mais cela varie beaucoup moins !

    Il faut se méfier de l'utilisation des complexes avec les produits.

    Je ne vois pas trop comment vous récupérer des dénominateurs.

    Vous avez un énoncé plus précis ?

  3. #3
    Weals

    Re : Optique ondulatoire, somme et multiplication de fonction en 2D

    Je vous joins l'énoncé

    1.1) On considère la fonction suivante : f1(z,t) = 32sin(4z⁴ – 2tz² + t² )
    Montrer que f est une fonction d’onde. Donner sa direction de propagation et sa vitesse sachant que z est en mètre et t en seconde.

    1.2) On considère la fonction suivante : f2(x,t) = 32sin( 4x⁴ – 2tx² + t²)

    Montrer que f est une fonction d’onde. Donner sa direction de propagation et sa vitesse sachant que x est en mètre et t en seconde

    1.3) On considère la fonction suivante : f(x,z,t) = f1(z,t) + f2(x,t)

    Montrer que f est une fonction d’onde. Donner sa direction de propagation et les composantes de sa vitesse sachant que x et y sont en mètre et t en seconde.

    1.4) Que dire de la fonction suivante : g(x,y,t)=f1(z,t) * f2(x,t) . Calculer son D’alembertien et dire s’il s’agit d’une fonction d’onde.


    Pour vous répondre, quand je disais que j'étais surpris par une vitesse qui varie en fonction de l'espace, c'est que j'entendais une variation dans le même milieu justement (ce qui me semble impossible car si v varie, alors n varie également, donc l'indice change donc le milieu aussi...). Si je reformule, vous dites que si j'ai v = 1/2z , alors cela signifie que l'onde change de milieu obligatoirement ?

    Ok merci pour la mise en garde des complexes pour les produits.

    Pour le d'alembertien, avec g=1024sin[(2z² -t)²]sin[(2x² -t)²], je fais donc {d^2 g} over {dx^2} + {d^2 g} over {dz^2} - {1} over {v^2} * {d^2 g} over {dt^2} = 0 (la formule du d'alembertien en 2D) puis j'isole v (c'est de là que les quotients apparaissent) mais les dérivées sont si laborieuses à faire à la main (notamment celle pour le temps car la double dérivée devient une composée de nombreuses fonctions de t) que je me perd dans mes calculs, et que je ne vois pas en quoi cela me permettra de déterminer si c'est une onde ou pas ?

  4. #4
    gts2

    Re : Optique ondulatoire, somme et multiplication de fonction en 2D

    C'est quand même très bizarre, cela ressemble plus à un problème de maths que d'optique.

    1 et 2) je traduirai onde par onde progressive donc on suite {2z2-t=Cte}, ce qui conduit à une loi t=2(z2-z02), donc une vitesse, en effet égale à 1/2z ou 1/2x

    "sachant que z est en mètre et t en seconde" est totalement incohérent avec l'équation non homogène, c'est donc bien un problème de maths.

    " cela signifie que l'onde change de milieu obligatoirement ", cela peut signifier un milieu d'indice variable comme une fibre optique, mais cela change dans un problème physique de manière graduée

    3) Je ne m'avancerais pas !

    Une somme de deux fonctions d'onde reste une onde, mais une somme d'ondes progressives ne donne pas forcément une onde progressive.

    4) Dans une équation de d'Alembert apparait LA vitesse constante, seule et unique, comme ici la "vitesse" est variable, ce ne peut-être une équation de d'Alembert.
    Dernière modification par gts2 ; 18/02/2021 à 15h04.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    phys4

    Re : Optique ondulatoire, somme et multiplication de fonction en 2D

    Citation Envoyé par Weals Voir le message
    1.1) On considère la fonction suivante : f1(z,t) = 32sin(4z⁴ – 2tz² + t² )
    Bonjour,
    Auriez vous remarquer que le développement s'écrit :
    Comprendre c'est être capable de faire.

  7. #6
    gts2

    Re : Optique ondulatoire, somme et multiplication de fonction en 2D

    Oui, voir le premier message

  8. #7
    Omega3.0

    Re : Optique ondulatoire, somme et multiplication de fonction en 2D

    Bonjour,
    Même en math on n'additionne pas de patates avec des poireaux. En cuisine, oui.
    Le sinus doit avoir pour argument des radians donc sans dimension.
    Cet énoncé est incohérent, d'autant plus qu'on vous impose des unités incompatibles.
    Bizarre qu'en L2 votre prof vous propose un tel problème!
    Il faudrait introduire des coéfficients en facteur sur z et t. Par exemple A.z^4 avec A en m-4. Là c'est peut-être une fonction d'onde.

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