Solution équation d'onde d'Alembert

[CygneBlanc]

Bonjour,

Mon exercice est est presque résolue cependant il me manque la déduction des vitesses de propagations après avoir écrit la dérivée seconde pour chaque fonction.
Dans un cours, on me propose une méthode celle d'utilisée l'expression
F(x-ct)= f(x,t) et/ou G(x+ct)= g(x,t).
On dérive deux fois cette fonction deux fois par rapport aux temps(c'est fait).
Il écrit que l'on doit obtenir ceci: d^2f/dt^2 = (-c)^2F"" et deux fois par rapport à l'espace(résolue aussi) donc d^2f/dx^2 = F"" et en éliminant F"" entre les deux on obtient l'équation de des ondes ou équation d'Alembert.

Sauf que j'ai du mal à l'appliquer car le C n'est pas apparent dans l'expression de mes dérivées secondes. Je souhaiterai qu'une personne puisse me faciliter la chose.

Voici les expressions:

1/fonction: f(x,t)= 1/t+x

d^2/dx^2 = 2/(t+x)^3
d^2/dt^2 = 2/(t+x)^3

2/ f(x,t) = ln(3t-2x)

d^2/dx^2 = -4/(3t-2x)^2
d^2/dt^2 = -9/(3t-2x)^2

3/ f(x,t) = exp(at+bx)

d^2/dx^2 = b^2*e^(at+bx)
d^2/dt^2 = a^2*e^at+bx

4/ f(x,t) = sin(t-x)/x-t

d^2/dt2 = -sin(t-x)/x-t + 2sin(t-x)/(x-t)^3 + 2cos(t-x)/(x-t)^2 (pour faciliter la lecture)
d^2/dt^2 = -sin(t-x)/x-t + 2sin(t-x)/(x-t)^3 + 2cos(t-x)/(x-t)^2


Je vous remercie d'avance.

Bien à vous,

CygneBlanc
-----

[gts2]

Bonjour,

Ce sont des fonctions non physiques (non homogènes)

Vous pouvez trouver c par deux méthodes :
- vous savez qu'une onde progressive est F(x-ct) ou G(x+ct) ; vous identifiez
- vous suivez le texte (deux dérivations) ; la première servira de vérification.

1- c=1, onde "régressive" G, cohérent avec vos dérivées qui vous donne c²=1
2- c=3/2, onde progressive F, cohérent avec vos dérivées qui vous donne c²=9/4
3- c=a/b, onde "régressive" G, cohérent avec vos dérivées qui vous donne c²=a²/b²
4- c=1, onde progressive F, cohérent avec vos dérivées qui vous donne c²=1

Autrement dit "C n'est pas apparent dans l'expression de mes dérivées secondes", c'est normal puisque justement c'est c que vous cherchez.

[CygneBlanc]

Merci pour vos réponses.
Je ne vais pas me contenter de ça(j'ai besoin de comprendre), je voudrais que vous m'expliquiez à travers la première fonction par exemple, comme avez-vous trouvé c=1. Malgré vos explications j'ai un peu de mal à imaginer et à les mettre en application. Merci

[gts2]

Vous cherchez à vérifier l'équation de d'Alembert : , vous calculez les deux dérivées qui doivent donc être proportionnelles.
Si elles sont bien proportionnelles, le coeff. de prop. est c², donc l'équation est vérifiée et en prime vous avez la vitesse.

Pour ce qui est de l'autre méthode, je vais plutôt prendre la 2) : f(x,t) = ln(3t-2x) = ln(-2(-3t/2+x)) qui est bien de la forme F(x-ct) avec c=3/2.

[A voir en vidéo sur Futura]