Théoreme de Wick

[ornithology]

Bonjour,

On trouve le théoreme de Wick essentiellement dans deux domaines de la physique.
La physique statistique et la mécanique quantique.
dans les deux cas il s agit d'exprimer la moyenne d'un produit de 2n états en fonction
de moyennes de 2 états. on parle alors de couplage de deux points et dans les
deux domaines on retrouve les memes diagrammes de Feynman.

Il y a cependant une différence. En physique statistique on a des variables aléatoires
phi_n et des probabiliités P(phi_n) réelles de somme 1
et par exemple <phi_1 phi_2> va etre la notation pour E( phi_1 phi_2) cad pour son espérance.

En MQ ou on a des opérateurs O_n la moyenne équivalente va se noter
<0|O_1 O_2|0> cad la mooyenne dans le vide du produit des opérateurs

en théorie des champs on palera de propagateur et de fonction a deux points en physique statistique;

J'aimerais savoir si du point de vue mathématique il y a en MQ une espece de mesure d'amplitude
la ou on avait une mesure de probalilité P.

je remarque qu'avec les fentes de Young on retrouve les deux cas extremes
visibilité des franges nulles ou on ajoute les probabilités
visibilité des franges maximale ou on ajoute les amplitudes.
comme il y a bien sur tous les cas de visibilités réduites je me demande si le théoreme de Wick
peut etre démontré hors de ces de cas .
l'un utilise les réels l'autre les complexes. et comme c'est le meme Gian Carlo Wick qui a donné son nom a la celebre rotation de 90 degrés je me demande si cette rotation ne correspond pas a ces deux cas extremes.
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[Deedee81]

Salut,

Holàlà, quelle soupe !!!!!! Il faudrait que tu sois plus clair : mes questions/remarques ci-dessous :

J'aimerais savoir si du point de vue mathématique il y a en MQ une espece de mesure d'amplitude
la ou on avait une mesure de probalilité P.

Je ne comprend pas bien la question. Tu dis d'un point de vue mathématique, donc
tu parles de la mesure en mathématique ? La mesure pour les intégrations ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_mesure
(EDIT car s'il s'agit de "mesure physique" comment diable pourrait-on parler "d'un point de vue mathématique" ????)

Je ne vois vraiment pas quel rapport il peut y avoir entre Wick et Young, vouloir appliquer la théorie quantique des champs à l'expérience de Young c'est vouloir procéder à la démolition du building avec une lime à ongles.

Le choix "addition des probabilité ou addition des amplitudes" est un choix qui découle de considérations purement physiques, non mathématiques.

Et enfin le théorie de Wick peut toujours être démontré.... aucun rapport avec un "hors de ces cas ou un de ces cas" : c'est un théorème, c'est des maths. C'est une fois démontré qu'on regarde si on peut l'utiliser ou pas pour divers besoins.

Et la rotation de Wick n'a rien à voir avec ce choix ni avec le théorème de Wick.

[ornithology]

Bon je passe sur le terme soupe car j'aime le waterzooi.

oui le parle de mesure au sens mathématique.
non les formules du théoreme de Wick ne sont pas toujours applicables.
il faut des mesures gaussiennes.
quand je dis démontré hors de ces deux cas je je veux dire que les présupposés du théoremes
y sont vérifiés.

[Deedee81]

Tu vas rire mais moi je suis pas fou du waterzoï (comme quoi, on n'aime pas nécessairement les spécialités de chez soi, enfin, bon, les frites, les moules et la bière ça va ).

oui le parle de mesure au sens mathématique.

La mesure est la mesure habituelle dans le plan complexe des variables d'intégration, généralement l'impulsion. Rien de spécial de ce coté.

Oui j'ai déjà vu des trucs sur les mesures gaussiennes mais c'est se compliquer la vie pour rien (enfin, sauf à plonger dans les eaux profondes). On s'en passe très bien.

quand je dis démontré hors de ces deux cas je je veux dire que les présupposés du théoremes

D'accord, alors le théorème de Wick n'a rien à voir avec l'expérience de Young. Je vois mal comment on pourrait l'appliquer dans ce cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ornithology]

Pour etre plus précis encore, on peut parler des matrices densité.
elles peuvent etre diagonales et dans ce cas on a un mélange statistique (premier cas cité)
elles peuvent etre pures (cas habituel de la MQ)
dans ces deux cas on utilise les diagrammes de Feynman et le théoreme de Wick;
je ne fais pas une fixette sur les fentes de Young mais en entrée de cette expérience on peut
avoir des états style matrice densité ni pure ni diagonales.
Ma question se réécrit donc: comment exprimer les formules correlations a deux points
dans ce cas? (si l'on peut)

[Deedee81]

Oui, on peut certainement.

Je ne lai jamais fait mais ça doit juste donner des formules un peu lourde :
- Exprimer l'amplitude qu'on veut étudier avec les matrices densité (le théorème de Wick s'applique aux amplitudes entre états, pas aux états eux-même).
- Détailler la matrice densité en fonction de la base choisie (la formule est classique, voir wikipedia par exemple)
- et exprimer chaque amplitude entre états de base à l'aide du théorème de Wick.

Lourdingue mais réalisable

[Deedee81]

A titre d'info. Notons que je connais mieux l'usage en physique des particules. Et là :

- on utilise surtout le théorème de Wick en théorie des collisions, et les matrices densité sont peu utiles (ou ça s'utilise tout à fait à part, à la fin, quand on a les résultats en terme de sections efficaces par exemple)
- on s'en sert surtout au niveau théorie pour établir les règles diagrammatiques

[0577]

Bonjour,

il me semble que la question originale portait sur l'analogie entre:

1) physique statistique (formulation de Boltzmann), où on somme sur les configurations microscopiques avec le poids exp(-E/T), où E est l'énergie et T la température. Les poids exp(-E/T) définissent (après normalisation) une mesure de probabilité (ils sont réels positifs de somme 1) sur l'espace des configurations.

2) physique quantique (formulation de Feynman), où on somme sur les configurations classiques avec le poids exp(iS/hbar), où S est l'action et hbar la constante de Planck réduite. Dans ce cas, les poids exp(iS/hbar) ne définissent pas une mesure de probabilité (ils sont en général complexes).

La rotation de Wick est en effet le passage entre 1) à 2) par prolongement analytique (sous certains conditions).

Les calculs des intégrales gaussiennes exp(-x^2) et exp(ix^2) avec insertions polynomiales sont reliés par prolongement analytique. Le théorème de Wick est parfois formulé en termes d'opérateurs création-annihilation en physique des particules, mais dans le langage des intégrales fonctionnelles de Feynman, c'est en effet juste un calcul d'intégrales gaussiennes imaginaires (exp(ix^2)).

[Deedee81]

La rotation de Wick est en effet le passage entre 1) à 2) par prolongement analytique (sous certains conditions).

Ah oui, bien vu, j'avais pas fait le rapprochement. D'autant plus inexcusable qu'on voit ça aussi en régularisation lorsqu'on passe à l'intégration dans "le domaine réel". C'est un classique.

c'est en effet juste un calcul d'intégrales gaussiennes imaginaires (exp(ix^2)).

Oui, mais c'est pas ça qu'on appelle la mesure (le dp ou le dx) non ?

[ornithology]

@0577

je ne veux pas seulement mettre en avant l'analogie entre MQ et mécanique sttistique
Le Bellac a écrit tout un cours en deux parties ou on reprend de facon systématique les memes
outils mathématiques, fonctions a deux points graphes de feynman tadpoles repris quasiment
a l'identique en MQ quitte parfois en changeant les mots. ca c'est acquis ou presque.
ce que je voudrais c'est ce que Le Bellac aurait pu placer entre ces deux parties avec toujours
les memes graphes etc pour les cas intermédiaires que l'on trouve dans les matrices densité
pour les cas intermédiaires ni diagonales ni pures
aurait on par exemple encore une fonction de green G(x,y) tel que L G = dirac(x-y)
pour un certain opérateur L

une premiere idée qui me vient serait d'utiliser dans la matrice 2 * 2 densité 2la somme des
4 éléments de la matrice pour la densité de probabilité dP

[Deedee81]

Salut,

aurait on par exemple encore une fonction de green G(x,y) tel que L G = dirac(x-y)
pour un certain opérateur L

Bonne question. Faut vérifier (j'ai donné la procédure de calcul dans le message 6, un peu lourd mais pas difficile).

[ornithology]

La question est bien sure tres théorique mais elle pose quand meme un sérieux probleme en ce qui concerne la décoherence.
AAu départ on a une matrice densité style chat de Schrodinger vérifiant une équation de Schrodinger
pEnsuite on a la décohérence . dans une base dite privilégiée les éléments non diagonaux tendent rapidement
vvers zerol. la matrice tend vers une matrice de type classique diagonale. elle n'évolue plus et comme en
pphysique statistique on a un mélange statistique d etats avec chacun une probabilités.
cce mélange obéit alors a une éqution style équation de la chaleur (prolongé analytique de l'eq de Schrodibger par rotatjion d
e de Wick.

SSAUF que la limite n'est jamais atteinte. je m'interesse a ces états intermédiaires (les seuls qui existent)
Ppas comment ils évoluent de l'un vers l'autre mais comme si a un instant donné la décohérence etait débrnchée
a a quelle éqution obéissent ils alors. quel est leur fonction de green etc

[Deedee81]

Bonne question

Après réflexion, ça ne devrait pas changer grand chose car les opérateurs sont linéaires. Mais a vérifier quand même.

La question est bien sure tres théorique mais elle pose quand meme un sérieux probleme en ce qui concerne la décoherence.

J'ai compris l'explication qui suit dans ton message mais..... par contre je n'ai pas compris de quels "sérieux problèmes" tu parles ???

Si tu parles des difficultés calculatoires, ça oui. C'est pas nouveau (la décohérence traite de situations avec des espaces de Hilbert de dimension énorme, donc tout cas réaliste est TRES compliqué, en général je n'ai vu que :
- des cas très idéalisés (mais souvent très clair, c'est idéalisé mais pas simpliste
- des approches générales théoriques surtout basée sur l'entropie (doit y avoir d'autres choses, c'est juste que c'est ce que j'avais cherché. Biais de sélection ).

Si tu cherches une méthode de calcul de la décohérence à la fois générale et applicable à des situations réalistes, dans tous les cas (style calcul perturbatif en théorie quantique des champs) : bon courage !!!!!

EDIT P.S. ci-dessus, je dis "ne devrais pas changer grand chose", mais je ne jurerais de rien sur la matrice de densité réduite. Déjà que la base de Schmidt n'existe que dans des cas exceptionnels !!!! GASP
Les bases privilégiées ne sont même pas toujours orthogonales !!! Une horreur

[ornithology]

Quand on a un terme oscillant ou oméga est une fréquecne, un prolongement analytique
ou t est remplacé par it le transforme en un terme a décroissance exponentielle
c'est ainsi que lors des phénomenes de décohérence on a des composantes non diagpaix de la matrice densité qui tendent vers zero.
avec une telle rotation de Wick on aurait disparition immédiate du caractere oscillant. ca ne me parait pas phyique.
comme on utilise l'analycité il parait possible de multiplier t par un nombre complexe
. ca reste oscillant mais la décohérence en fait décroitre l'amplitude plus ou moins vite.
est ainsi que ca se passe dans les calculs rééls de décohérence?
je me pose la question des termes diagonaux . ils décroitraient aussi.

[mmanu_F]

Salut,

Le Bellac a écrit tout un cours en deux parties ou on reprend de facon systématique les memes
outils mathématiques, ...

tu as un lien vers ou au moins un intitulé précis du cours de le Bellac en question, je n'arrive pas à me convaincre que "quantum and statistical field theory" correspond à ta description.

[mmanu_F]

tu as un lien vers ou au moins un intitulé précis du cours de le Bellac en question, ...

"Des phénomènes critiques aux champs de jauge" pourrait être le bon.

[mmanu_F]

[EDIT: ou pas. j'avais l'impression que la structure de l'ouvrage était différente mais c'est effectivement la version française du précédent.]

[Deedee81]

Salut,

Je connais bien ce livre, mais j'ai quelques doutes aussi. Difficile de trancher en lisant le message 10. Onithology précisera.

Quand on a un terme oscillant ou oméga est une fréquecne, un prolongement analytique
ou t est remplacé par it le transforme en un terme a décroissance exponentielle
c'est ainsi que lors des phénomenes de décohérence on a des composantes non diagpaix de la matrice densité qui tendent vers zero.
avec une telle rotation de Wick on aurait disparition immédiate du caractere oscillant. ca ne me parait pas phyique.
comme on utilise l'analycité il parait possible de multiplier t par un nombre complexe
. ca reste oscillant mais la décohérence en fait décroitre l'amplitude plus ou moins vite.
est ainsi que ca se passe dans les calculs rééls de décohérence?
je me pose la question des termes diagonaux . ils décroitraient aussi.

Excuse-moi mais tu est TRES difficile à suivre là. Je n'ai pas compris la moitié. Est-ce que tu pourrais illustrer ça avec une matrice densité réduite concrète ? Prend un exemple simple évidemment, même peu réaliste, juste pour rendre clair tes remarques et ta question. Par exemple avec l'exemple très simple dans https://arxiv.org/abs/quant-ph/0312059 III.B (ou s'il est insuffisant, III.D.2) (et d'ailleurs il n'est pas exclut qu'en prenant un exemple concret tu voies la réponse à ta question, mais tiens nous quand même au courant )

[ornithology]

Je citais bien la version francaise de ce livre.
pour moi le probleme est résolu.
prenons les classiques fentes de Young. a l instant 0 du passage des fentes on a 2 diracs.
Dans le cas pur l operateur de propagation est exp -i H . dans le as classi i est remplacé par 1. addittion des probas. pas de franges. si i est remplacé par icos a + sin a on a un motif avec des franges réduites. information partifelle sur le chemin.
l angle a fait passer de l'un a l mmuiautre.

[Deedee81]

J
prenons les classiques fentes de Young. a l instant 0 du passage des fentes on a 2 diracs.
Dans le cas pur l operateur de propagation est exp -i H . dans le as classi i est remplacé par 1. addittion des probas. pas de franges. si i est remplacé par icos a + sin a on a un motif avec des franges réduites. information partifelle sur le chemin.
l angle a fait passer de l'un a l mmuiautre.

Tu es sûr que c'est pas juste une coïncidence ??? (je ne doute pas du calcul, il est évident) Car la décohérence c'est pas juste ça en général, c'est beaucoup plus compliqué (et même souvent trèèèèès difficile, raison pour laquelle le domaine théorie est toujours en plein boum). Ce n'est pas juste passer des formules quantiques aux formules statistiques. Regarde l'exemple que je t'ai cité ci-dessus (le III.D.2), je vois mal comment on pourrait obtenir ça par une simple rotation de Wick !!!!

Il faudrait justifier ça en le démontrant à partir de la trace réduite (pas évident mais je pense que démontrer que c'est faux dans le cas général ne doit pas être bien difficile, et ça permettrait peut-être de voir pourquoi il y a cette coïncidence)

[ornithology]

Tu as lu mon fil Information which path? il y a un photon et un électron intriqués plus ou moins selon la longueur d onde.
tu parles de coincidence. Entre quoi et quoi?

[Deedee81]

Salut,

tu parles de coincidence. Entre quoi et quoi?

Entre rien et rien. J'étais persuadé d'avoir lu "décohérence" dans le message 19. Je n'avais clairement pas les yeux en face des trous
EDIT ah non j'avais bien lu, c'était dans le message précédent, c'est aujourd'hui que je ne suis pas réveillé.

Dans le message 14 tu parles de remplacement du termes oscillant par un terme exponentiel conduisant ainsi à la décohérence et après ma demande de précision tu le justifies avec l'exemple dans le message 19. Et là je dis que la résultat décohéré et ce que tu obtiens par rotation de Wick ne marche que dans ce cas très particulier, c'est une pure coïncidence.

C'est pourquoi je te propose d'examiner ça sur le cas plus général car c'est faux (ou alors il y a des choses que je n'ai pas bien compris ce qui n'est pas impossible, désolé de le dire mais la moitié de tes messages il faut les décrypter )

[ornithology]

Pourrais tu revoir les calculs dans le fil information which path?
La j ai juste mon smartphone.
et je ne sais pas coller les liens!

[Deedee81]

Salut,

Ca m'a l'air correct (mais ça ne répond pas à ma remarque.... pour peu que la remarque ait un sens). Mais attention, j'ai parcouru rapidement et je n'ai pas du tout regardé le contexte ou l'interprétation ou autre. Je manque vraiment de temps pour ça.

[ornithology]

Le contexte c'est l expérience de Young classique avec des électrons en etat pur fente gauche+fente droite. Des photons pres de grande longueur d onde les éclairent et fournissent une information which path partielle. l ftat pur ne l est plus. ll y a eu décohérence Partielle. si l ecran est muni de fentes également éclairées la décohérence avance encore d'un cran.

[ornithology]

Les calculs viennent du livre Physique quantique et opérateurs linéaires (1980) de Tarossov.

[Deedee81]

Les calculs viennent du livre Physique quantique et opérateurs linéaires (1980) de Tarossov.

Pourquoi demandais-tu alors de voir les calculs ???

[ornithology]

Moi je connais ces calculs . je donne la source pour information en sachant que c'est un livre oublié. je te demandais si tu pouvais lire ce fil vu que tu avais dit ne pouvoir tout lire (ce que je comprends).

[Deedee81]

Salut,

Moi je connais ces calculs . je donne la source pour information en sachant que c'est un livre oublié. je te demandais si tu pouvais lire ce fil vu que tu avais dit ne pouvoir tout lire (ce que je comprends).

D'accord, j'ai compris Je pense juste qu'il faut aller un peu plus loin que le pur calcul car tu disais pas mal de choses dans ce fil. De la semaine, si j'ai le temps

[mtheory]

J'ai survolé donc je vais peut-être dire des trucs "irrelevants" mais il me semble bien que l'on sait justement que l'on peut transformer des problèmes de théorie quantique des champs en problèmes de mécanique statistique par la transformation de Wick. La fonction Z avec l'intégrale de chemin de Feynman devient alors une fonction de partition, pas étonnant dès lors que le théorème de Wick ent TQC (théorie euclidienne) et les expressions qui vont avec ont leurs correspondant en physique statistique et qu'il existe donc un dictionnaire entre les deux.