Tenseurs covariant/contravariant et symétrie

[louisrr]

forum.pdf
Bonsoir,
C'est une question à propos d'un cours de R.R de Richard Taillet (question certes mathématiques mais en lie avec la physique) et sur la photo ci-dessus on voit l'égalité et M. Taillet dit que du fait que la quantité de gauche soit symétrique (d rond nu ou d rond mu peuvent être inversés) dans ce cas F (tenseur ordre 2) doit être antisymétrique et je ne comprend pas pourquoi ?

Merci pour votre aide
-----

[ordage]

Pièce jointe 435542
Bonsoir,
C'est une question à propos d'un cours de R.R de Richard Taillet (question certes mathématiques mais en lie avec la physique) et sur la photo ci-dessus on voit l'égalité et M. Taillet dit que du fait que la quantité de gauche soit symétrique (d rond nu ou d rond mu peuvent être inversés) dans ce cas F (tenseur ordre 2) doit être antisymétrique et je ne comprend pas pourquoi ?

Merci pour votre aide

Bonjour
Il suffit de développer la sommation avec la convention d'Einstein (16 termes). On voit qu'elle est nulle si le tenseur est antisymétrique: les termes en Fii sont nul et les termes Fij et Fji avec i différent de j sont opposés donc s'annulent.
Cordialement

[Deedee81]

Salut,

Un détail mais qui a une importance (mais je n'ai pas le cours sous les yeux et il donne peut être d'autres infos ou il y a un contexte)

Si le tenseur est antisymétrique alors l'expression est bien nulle. Comme expliqué par ordage.
Pas contre si l'expression est nulle, le tenseur n'est pas nécessairement antisymétrique, il pourrait être constant (sa dérivée donne alors 0, évidemment). Mais comme il est clair que le tenseur EM n'est pas toujours constant alors si c'est expression est nulle pour tout tenseur EM, alors il doit être antisymétrique.

EDIT évidemment on le voit aussi quand on détaille le tenseur, par exemple en fonction des champs E et B, comme je disais ça dépend du contexte et de la façon d'introduire le bousin.

[ThM55]

D'accord avec Deedee81: si cette dérivée seconde est nulle, F peut être constant et pas forcément antisymétrique.

Toutefois, je ne suis pas du tout d'accord avec ce "théorème" car il y a d'autres contre-exemples: on peut par exemple avoir un tenseur symétrique: qui obéit à une loi de conservation: . Par exemple le tenseur d'énergie-impulsion. Dans ce cas on a donc aussi . Et pourtant T est symétrique.

La forme générale pourrait être une combinaison d'un tenseur antisymétrique et d'une partie symétrique de divergence nulle. A vérifier.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

A vérifier.

En effet, très bon exemple. C'est d'ailleurs aussi pour cela que je disais qu'il y avait certainement un contexte. L'affirmation seule sera fautive.

[0577]

Bonjour,

La forme générale pourrait être une combinaison d'un tenseur antisymétrique et d'une partie symétrique de divergence nulle. A vérifier.

On peut prendre , où a et b sont des constantes, et pour Ce tenseur est symétrique, de divergence non-nulle si et pourtant:

[ordage]

D'accord avec Deedee81: si cette dérivée seconde est nulle, F peut être constant et pas forcément antisymétrique.

Toutefois, je ne suis pas du tout d'accord avec ce "théorème" car il y a d'autres contre-exemples: on peut par exemple avoir un tenseur symétrique: qui obéit à une loi de conservation: . Par exemple le tenseur d'énergie-impulsion. Dans ce cas on a donc aussi . Et pourtant T est symétrique.

La forme générale pourrait être une combinaison d'un tenseur antisymétrique et d'une partie symétrique de divergence nulle. A vérifier.

Bonjour
C'est sur que l'affirmation que:
implique que le tenseur est antisymétrique n'est pas exacte. Disons que tout tenseur antisymétrique satisfait à cette relation.
Par contre, il me semble que:
n'implique pas


Par exemple pour le tenseur métrique qui est symétrique, en relativité générale on peut annuler toutes les dérivées premières des composantes du tenseur métrique par un changement de coordonnées mais pas les dérivées secondes. C'est lié au nombre de degrés de libertés pour le choix des coordonnées vs les contraintes (annulation des dérivées).
Cordialement

[Deedee81]

un changement de coordonnées

Les coordonnées normales si je ne me trompe. Mais ne nous lançons pas dans la RG ou louisrr va faire un infarctus. Enfin, sauf s'il le souhaite (en parler, pas faire un infar).

[Amanuensis]

n'implique pas


Par exemple pour le tenseur métrique qui est symétrique, en relativité générale on peut annuler toutes les dérivées premières des composantes du tenseur métrique par un changement de coordonnées mais pas les dérivées secondes. C'est lié au nombre de degrés de libertés pour le choix des coordonnées vs les contraintes (annulation des dérivées).

n'est pas pas la dérivée seconde, à cause de la contraction.

[Amanuensis]

Pas de réactions ? (D'accord, il y a une faute dans mon message.) Pourtant...

Les dérivées premières sont , les dérivées secondes


Si les dérivées premières étaient nulles, , cela impliquerait bien que les dérivées secondes sont nulles aussi, évidemment.

Mais ce n'est pas la question !

[ordage]

Pas de réactions ? (D'accord, il y a une faute dans mon message.) Pourtant...

Les dérivées premières sont , les dérivées secondes


Si les dérivées premières étaient nulles, , cela impliquerait bien que les dérivées secondes sont nulles aussi, évidemment.

Mais ce n'est pas la question !

Bonjour

Les composantes d'un tenseur (en géométrie analytique) sont des fonctions des coordonnées. Cela dépend des fonctions, mais a priori en un point, il n'est pas impossible que les composantes aient des dérivées partielles premières nulles: extremum des fonctions, sans que la dérivée seconde soit nulle et ceci pour toutes les composantes (par exemple annuler les dérivées premières des 10 composantes d'un tenseur symétrique à 2 indices).

L'exemple typique, en RG, c'est l'annulation des dérivées premières des 10 composantes du tenseur métrique par changement de coordonnées (c'est possible en tout point non singulier) pour définir une métrique locale particulière. Ceci est couramment utilisé, car cela simplifie les démonstrations et les calculs et s'il s'agit de tenseurs c'est généralisable à n'importe quelles coordonnées.
Cordialement

[ThM55]

Si une fonction a une dérivée identiquement nulle sur un ouvert U: , alors la dérivée seconde est aussi identiquement nulle sur U. Le "pour tout x" est important. Si la dérivée est nulle en un point, il est évident que cela ne suffit pas pour que la dérivée seconde soit nulle en ce point. Mais ce n'était pas le sens de mon message. Je prenais bien entendu la relation comme une identité sur un domaine.

Ce qui montre que les mathématiciens ont bien raison d'être très précis en écrivant leurs énoncés.

[Amanuensis]

Est-ce que dans le premier message il faut comprendre "en un point particulier" ? Je ne pense pas. Je comprends le mot "tenseur" comme on le voit le plus souvent en RG sans autre précision, c'est à dire pour "champ de tenseurs" (comme dans "le tenseur électromagnétique"). Un tenseur est antisymétrique quand il l'est "pour tout point", implicitement.

Me trompe-je ?

[Amanuensis]

Ceci dit ma remarque initiale était pour indiquer que la formule discutée dans le message #1 n'est pas celle d'une dérivée seconde, mais plutôt d'une "sorte de divergence", et que parler de l'annulation d'une dérivée seconde est une sorte de hors sujet, même si la formule est celle d'une somme de termes pris dans les dérivées secondes.

[Deedee81]

Salut,

Me trompe-je ?

Non et je crois qu'on l'a tous vu comme ça.

Mais il y a bien eut quelques confusions au départ. Toutes ces précisions étaient utiles. Les choses me semblent claires maintenant. J'aimerais bien avoir la réaction de louisr. Il va peut-être repasser du week-end. J'aimerais en particulier en savoir un peu plus sur le contexte (dans le cours de Taillet).