Bonjour, est il possible de résoudre une EDP en ayant seulement une seule condition limite ?
Par exemple dans le cas d’une onde artérielle, l’EDP à résoudre est l’équation de d’Alembert avec le débit Q, mais nous avons seulement une condition pour x=0 (Q(0,t) = Q0.cos(wt)).
De même, dans le cas d’une corde vibrante où on applique un mouvement volontaire (du type y(0,t) = Yo.cos(wt)) sur la première extrémité, et où on laisse la deuxième extrémité libre.
Bonjour,
Je ne sais pas pour une onde artérielle, mais pour une corde vibrante (selon x) "libre" à un bout, cela revient à dire qu'il n'y a pas contrainte selon y, et donc que la corde est horizontale, soit
D’accord je vois. Maintenant pour résoudre l’équation de d’Alembert avec la première extrémité où on applique volontairement un déplacement Yo.cos(wt) et une extrémité libre (dy/dx=0), faut il utiliser la méthode spectrale ?
Qu'appelez-vous méthode spectrale ? Passez en complexe ?
Vous cherchez le régime permanent ? Le transitoire ? Si oui avec quelle condition initiale ?
Je cherche le régime permanent.
La méthode spectrale est la seule méthode de résolution d’EDP que je connaisse, elle consiste à supposer que y(x,t) est à variables séparables puis poser y(x,t)=f(x).g(t).
Mais s’il y a d’autres méthodes qui marchent mieux pour ce problème je suis preneur.
De même, je dois résoudre cette équation de manière numérique, mais je ne sais pas quoi mettre comme «*condition initiale*».
Si on impose une condition sinusoïdale, la réponse va être sinusoïdale et on connait les solutions de d'Alembert dans ce cas, il y a juste à calculer amplitude et phase des deux composantes.
Une remarque qui me vient à l'esprit : le sang qui circule dans les artères circule dans une seule direction, donc un débit sortant du coeur Q0.cos(wt) n'est pas problématique ?
D’accord merci pour votre réponse.
Oui vous avez raison, le débit ne peut être négatif, je pense qu’il faut donc rajouter une constante K > Qo pour avoir un débit sortant de K + Qo.cos(wt).
Bonjour,
Pour ta première question, on ne peut pas résoudre l'éq. de d'Alembert avec une seule BC sur Q(x,t), il en faut 2 (ordre 2 de dérivation en x).
Sinon avec les conditions aux bords Q(0,t) = Q0 cos(w0 t) et dQ/dx(x=L) = 0, on pose Q(x,t) = f(x) cos(w 0 t) on trouve (méthode de séparation des variables):
f''(x) + (w0 /c)2 f(x) = 0
on a donc f(x) = C1 cos(k0 x) + C2 sin(k0 x ) avec f(0) = Q0 et f'(L) = 0 qui détermine C1 et C2, avec k0 = w0 /c.
Je trouve avec ces conditions: Q(x,t) = Q0 cos (w0 t) ( cos(k0 x) + tan(k0 L) sin(k0 x) )
Merci beaucoup pour votre réponse. Mais pouvez vous juste m'expliquer comment vous avez trouvé dQ/dx(x=L)=0 ?
C'est la condition de non-glissement ? https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Cond...non-glissement
Édit: ah nan, x est la direction du déplacement... oubliez mon message
Dernière modification par coussin ; 18/04/2021 à 21h44.
Je laisse &Le falk répondre, mais c'est vous qui avez indiqué que "certains" prenaient cette condition, donc on l'a prise.Envoyé par Le falk
Sinon, une autre possibilité, mais il va falloir revenir un peu en arrière dans vos équations (équations couplées pression, débit), considérez que vous avez un changement d'impédance (P/Q) lorsque vous passez des artères aux artériolles et traduire ce changement
Pas de souci j'espère vous avoir un peu aidé. J'ai juste utilisé brutalement la BC sur la dérivée proposée par vous et Gts2 en fin d'artère dans mon dernier message (pas d'interprétation physique).
C'est peut être foireux mais je tente, si il s'agit d'une onde (de pression) propagative (dans le sang) dans le sens des x>0, la solution générale est bien connue:
Q(x,t) = A cos ( w0 (t - x /c) ) + B sin ( w0 (t - x /c) )
Enfaite la seule BC Q(0,t) = Q0cos ( w0 t ) nous donne bien les deux coeffs A et B:
Q(0,t) = A cos ( w0 t ) + B sin ( w0 t )
donc A = Q0 et B = 0
On a l'expression du "débit" (je dirais plutôt l'onde de pression ou la vitesse de l'onde de pression):
Q(x,t) = Q0cos (( w0 t - x/c))
Ça vous parait cohérent avec votre problème?
Pas tout à fait générale : il manque l'onde régressive imposée par la deuxième C.L.
Je suis bien d'accord.
Mais dans notre cas, si il s'agit d'une onde de pression artérielle provoquée par les pulsations cardiaques on devrait avoir une onde de type "train de pulses" propagatif avec une fréquence de répétition w0 dans le sens de circulation du sang, non? Il doit y avoir aussi des réflexions j'imagine mais vu le peu de données qu'on a on peut pas trop s'avancer non plus ^^.
L'expression:
me parait physiquement acceptable... (même si une onde artérielle a pas vraiment la forme d'un cosinus https://en.wikipedia.org/wiki/Pulse#...742233966).jpg).
Dans : realites-cardiologiques, on trouve "L’onde de pouls a deux composantes : une onde incidente et une onde réfléchie".
Sinon, si on revient au point de départ, on trouve dans le même article "l’onde de pouls sera amortie le long de l’arbre artériel et le flux tendra à devenir constant" pas vraiment compatible avec une équation de d'Alembert. On trouve aussi "le système électrique qui comprendrait un générateur (le cœur), une résistance (les résistances périphériques) et une capacité (la compliance artérielle)" là encore peu compatible avec d'Alembert.
Merci pour les précisions.
Tu peux avoir une onde amortie avec leq de D Alembert, de mémoire avec l'impédance complexe du sang (partie absorbante en gros, contenue dans la vitesse c).
Du coup tu proposerais quoi comme expression d'onde ?
Tout dépend ce qu'on appelle équation de d'Alembert : si on a une vitesse complexe, c'est qu'il y a un d/dt dans l'équation, pas vraiment d'Alembert de mon point de vue mais ...
Pour ce qui est du problème de départ, il faudrait un peu plus de renseignements : d'où sort cette équation de d'Alembert, quelle est son expression ...
Il faut prendre la définition de l'éq de D'Alembert https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation
Il n'y a pas de d/dt dans l'équation mais une impédance complexe du milieu donc vitesse complexe. Sachant que le sin(i a) = i sinh(a) et cos(i a ) = cosh(a) on a donc possiblement des décroissances exponentielles en solution, tu vois le truc?
En mécanique des fluides, tu peux retrouver l'équation de D'alembert sur la pression acoustique à partir de l'éq de Navier Stokes linéarisée.
Si je prends la définition de Wikipedia, il ne peut y avoir de vitesse complexe : l'équation est dans le domaine
Si on prend l'exemple acoustique, pour faire apparaitre un amortissement, il faut prendre en compte la viscosité ce qui fait apparaitre un d/dt.
Oui je confonds avec l'optique (forcément)... enfaite l'équation de propagation acoustique est bien plus compliquée en cas d'atténuation du milieu (l'éq de d'Alembert c'est bien la version sans atténuation):
https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_attenuation
C'est une équa diff avec des dérivées fractionnaires en t, ça rigole plus trop. Voilà un meilleur point de départ pour Le falk.
https://www.researchgate.net/publica...00000/download
J'ai retrouvé une équation plus simple: équation de Caputo.
Le cas "standard"
correspond à l'équation de propagation suivante (on retrouve bien une dérivée première que tu as suggéré):
avec Tau une constante qui caractérise les pertes d'absorptions dans le milieu. Du coup une TF donne une simple EDO sur x:
on calcule p(x,w) (deux exponentielles) et on passe à la TF inverse pour avoir les sol gén en temporel et on applique les CL.
En terme d'équation, cela me va, mais, et là il n'y a que @Le falk qui puisse répondre, c'est trouver le lien avec le modèle du flux sanguin dans les artères.
