Espace discret ou continu - Grand Oral (Terminale)

[Evam394]

Bonsoir,

Avec la réforme du bac, j'ai à passer un oral à la fin de l'année (terminale) sur un sujet de mon choix qui soit en rapport avec mes spécialités (maths et physique-chimie).

J'ai choisi le paradoxe d'Achille et de la Tortue de Zénon (Achille fait une course contre une tortue. Achille, dans sa grande générosité, accorde à la tortue une longueur d'avance. Au bout d'un certain temps, Achille comble son retard et atteint le point de départ de la tortue. Mais pendant ce temps, la tortue a parcouru une certaine distance, certes beaucoup plus courte puisqu'elle est moins rapide, mais non nulle. Cela demande à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette nouvelle distance, pendant lequel la tortue avance encore plus loin. Au final, Achille ne rattrape jamais la tortue puisque toutes les fois où il atteint l'endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin. Cette réponse équivaut à dire que l'univers est continu puisque divisible à l'infini.)

J'ai en tête de présenter l'aspect mathématique du paradoxe grâce à une suite et ensuite de voir l'aspect physique avec la longueur de Planck.

Maths: Je modélise la situation avec une suite convergente. Instinctivement, je dirais que mathématiquement Achille ne devrait pas rattraper la tortue puisque converger ne veut pas dire atteindre (la distance les séparant tend vers zéro quand n tend vers l'infini, mais comme l'infini n'est pas un nombre, la distance n'égale jamais réellement zéro). Est-ce que cette conclusion est correcte/acceptable pour un niveau de terminale ?

Physique: Avec mes recherches, il me semble avoir compris que les dimensions de Planck ont été calculées à partir de certaines constantes physiques afin que celles-ci valent 1 dans ce système d'unités. J'en ai conclu que toute mesure de distance est minorée par la longueur de Planck et que toute longueur plus petite serait absurde. Je voudrais m'en servir en disant que cette longueur de Planck tend à montrer que l'univers est discret. Ainsi, Achille arriverait à un moment à n'être séparé de la tortue que par une longueur de Planck et n'aurait donc plus qu'à la franchir pour la rattraper. Est-ce que ma compréhension est correcte/acceptable ? (sachant que je compte rapidement passer dessus en disant que c'est la plus petite distance mesurable (?) et réserver la partie plus technique pour la partie question/réponse de l'oral)

Ma conclu: Le paradoxe viendrait donc juste d'un manque de connaissance de la part des philosophes de la Grèce antique et n'est donc pas un réel paradoxe tel que 'Cette phrase est un mensonge'.
(Si j'ai le temps, j'aimerais aborder les implications philosophiques du paradoxe mais j'ai vraiment du mal à trouver des références, si vous en avez en tête je suis preneuse)

Voilà, j'espère que mon problème est assez clair, merci d'avance pour vos réponses,
Eva


NB. J'ai deux sujets à préparer et celui-ci est principalement axé sur les maths, ce qui veut dire que je peux sortir du programme scolaire pour l'aspect physique du paradoxe, d'où Planck
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[Mailou75]

Salut,

Je vais sans doute répondre à coté de la plaque mais l'idée est d'ouvrir le débat sur le sujet "espace discret ou continu".
Pour moi il y a trois points important à soulever, je vais essayer d'être concis :

1/ Tu parles de la longueur de Planck comme d'une possible longueur minimale permettant de justifier la discrétisation de l'espace. Pourquoi pas, mais dans ce cas que penser du découpage espace-temps à cette échelle, car il existe aussi un temps de Planck, les deux valeur étant reliées par le facteur c (vitesse lumière) tel que Lp=c*Tp. Dans ce cas ça voudrait dire qu'il est impossible de franchir une longueur plus courte que Lp pendant une durée Tp (puisque cette longueur est censée ne pas exister). Pose toi la question de savoir à quelle vitesse un boule posée sur un rampe, à vitesse initiale nulle, va entamer sa descente. Quelle distance parcourra-telle pendant une durée Tp et quelle sera sa vitesse si ce n'est pas c?

2/ Dans le même ordre d'idée d'un découpage discret de l'espace, on peut opposer les valeurs que peut prendre l'effet Doppler (changement de fréquence des signaux reçus quand émis par un objet en mouvement). De la même manière, on suppose a priori que les changements de fréquence ne sont pas contraints de respecter des valeurs définies. C'est une redondance du point 1, signifiant que toutes les valeurs de vitesse relative (angle entre deux trajectoire dans l'espace temps) ne sont pas autorisées, un point qu'il faudrait alors amender à la relativité restreinte.

3/ Enfin il y a l'histoire de la "balançoire d'Einstein" (je la nomme ainsi car je n'arrive jamais à trouver de référence sur le sujet). De la même façon que chez Planck il s'agit implicitement de Mécanique Quantique. On sait qu'une balançoire, objet macroscopique, semble parcourir une trajectoire continue, pourtant la quantité d'énergie potentielle transformée en mouvement à chaque instant est "quantifiée" par un minimum (et ça on en est à peu près sûr, c'est tout le sujet de la MQ). Dans ce dispositif on pourrait donc supposer que toutes les trajectoires sont autorisées (espace continu) mais que les positions successives d'un mouvement le rendre discontinu (trajectoire discrète).

Bref, je n'ai pas les réponses à tout ça, l'idée est simplement de te faire réfléchir sur un sujet qui semble t'intéresser.

[langcheuv]

Bonjour,

1. Pour le paradoxe d'Achille et la tortue, deux façons de voir les choses :

- l'instant de la rencontre semble se produire pour un temps infini puisque on a affaire à une somme infinie. C'est en tout cas la manière dont le paradoxe est présenté. Or cette somme converge, eux ne le savaient pas évidemment, le paradoxe n'est donc qu'apparence.

- Il s'agit simplement d'un problème de cinématique, les vitesses et positions d'Achille et de la tortues sont connues, reste à trouver l'instant où ils se rencontrent. Il n'y a aucun paradoxe.

(Voir wikipedia).

2. Je ne sois pas le lien entre le paradoxe d'Achille et la tortue et la longueur de Planck, est-ce deux sujets distinct ?

[Baal149]

Bonjour,

je pense qu'utiliser la distance de Planck comme explication est une pente glissante car, en plus du fait qu'il faut que le résonnement soit juste, cela nécessite d'acquérir des notions de ta part pour pouvoir bien comprendre et expliquer. Et d'autre part il faut que tes interlocuteurs comprennent là où tu veux en venir (et comprennent les notions abordées). Ça me parait difficile en l'état.

Par contre je note que le paradoxe vient peut être d'un problème de référentiel.
Tel que posé, le problème utilise la position x de la tortue à un instant t et regarde où là tortue va être à l'instant t+1 par rapport à x (Achille atteignant, par définition, la positon x à t+1). Au coup suivant, la position de référence change.
En physique ça ne me parait pas être un bonne approche. La conséquence c'est que la distance et le temps qui les séparant deviennent de plus en plus plus petits (infiniment petits) et finissent par converger (vers la position et le moment où les deux se rencontrent). Donc en définitive cette approche permet seulement de déterminer le point de convergence entre les deux protagonistes mais ne permettra pas d'avoir d'information sur ce qui se passe après ce point (là où Achille dépasse la tortue). Donc ça ne permet pas de décrire totalement le problème.

NB : un paradoxe n'implique pas forcement qu'il y est mensonge, tromperie, fausse donnée ou erreur d’interprétation. Une mauvaise approche peut conduire ne pas aboutir à la conclusion que l'on souhaite(à savoir à quel moment chacun va finir) ou ne permet pas de conclure. Le changement d'approche permet de résoudre le paradoxe.

En espérant avoir aidé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pio2001]

Bonjour Evam394,

Maths: Je modélise la situation avec une suite convergente. Instinctivement, je dirais que mathématiquement Achille ne devrait pas rattraper la tortue puisque converger ne veut pas dire atteindre (la distance les séparant tend vers zéro quand n tend vers l'infini, mais comme l'infini n'est pas un nombre, la distance n'égale jamais réellement zéro). Est-ce que cette conclusion est correcte/acceptable pour un niveau de terminale ?

A mon avis, non. Il a toujours été clair qu'Achille rattrapait la tortue, mais les sommes infinies de termes infinitésimaux n'ont été modélisées correctement que bien plus tard.
Peut-être peux-tu parler de l'histoire du calcul infinitésimal, avec Newton, Leibniz et même Archimède.

Pour le paradoxe de la tortue, je pense que c'est la notion de série convergente qui clarifiera vraiment les choses au 19e siècle.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoi...nit%C3%A9simal

Physique: Avec mes recherches, il me semble avoir compris que les dimensions de Planck ont été calculées à partir de certaines constantes physiques afin que celles-ci valent 1 dans ce système d'unités. J'en ai conclu que toute mesure de distance est minorée par la longueur de Planck et que toute longueur plus petite serait absurde. Je voudrais m'en servir en disant que cette longueur de Planck tend à montrer que l'univers est discret. Ainsi, Achille arriverait à un moment à n'être séparé de la tortue que par une longueur de Planck et n'aurait donc plus qu'à la franchir pour la rattraper. Est-ce que ma compréhension est correcte/acceptable ?

Le système d'unités naturel où la longueur de Plank vaut 1 est sans rapport avec notre problème.

Mais en effet, la longueur de Planck nous empêche, dans la réalité, de considérer une division infinie de l'espace. Cela ne veut toutefois pas dire que l'espace est quantifié. Aujourd'hui, l'espace-temps résiste encore et toujours à toute tentative de quantification, c'est-à-dire de description en termes quantiques.

Pour moi, cela veut simplement dire que l'on atteint la limite de validité de l'hypothèse de départ. On peut affirmer que le chemin restant à parcourir est de plus en plus court, mais une fois la distance de Planck atteinte, la notion de "distance restante à parcourir" n'est plus correcte, car on entre dans le domaine où le concept de distance au sens usuel du terme ne fonctionne plus.

Ma conclu: Le paradoxe viendrait donc juste d'un manque de connaissance de la part des philosophes de la Grèce antique et n'est donc pas un réel paradoxe tel que 'Cette phrase est un mensonge'.

Cela me paraît être une bonne conclusion.

[Deedee81]

Bonjour,

Pas évident de trouver des références sur :

j'aimerais aborder les implications philosophiques du paradoxe mais j'ai vraiment du mal à trouver des références, si vous en avez en tête je suis preneuse

Mais regarde ici :
https://plato.stanford.edu/entries/zeno-elea/

Je pense qu'il doit y avoir plusieurs points intéressant.
Et quelques trucs intéressant et liens dans cette discussion : https://historyofphilosophy.net/zeno_melissus

A parcourir

[Evam394]

Bonjour langcheuv,
Tout d'abord merci pour votre réponse!

1. Ainsi le problème viendrait seulement du fait que les grecs ne connaissaient pas le principe de somme convergente et pensaient donc que la somme continue à l'infini sans être majorée par quoi que ce soit?

2. En fait l'idée vient d'une discussion que j'ai eue avec un ami. On débattait des différents paradoxes de Zénon sur l'impossibilité du mouvement dans le cadre d'un espace-temps continu et il m'a expliqué ces dimensions de Planck comme 'plus petit.e temps/longueur/... possible' montrant que l'univers est discret. Au bout d'un moment, Achille arriverait donc à 1 Lp de la tortue et, ne pouvant diviser cette distance, la franchirait tout simplement et rattraperait donc la tortue.
Je pensais utiliser cette notion assez rudimentairement pour prendre le contre-argument de la somme infinie et résoudre le paradoxe, mais les différentes réponses que j'ai reçues sur ce forum m'ont quelque peu détournée de cette idée.

[Amanuensis]

Mon opinion : le "paradoxe" n'est que mathématique et métaphysique, en relation avec les problèmes plus généraux sur l'infini et le continu.

Il n'y a pas de "paradoxe" en physique, ou plus exactement rien d'autre que ce qui vient de la modélisation par les maths. Et la question devient alors (ce que j'estime la bonne) celle de la validité d'un modèle mathématique en physique. C'est à dire le risque de confondre la carte (description par les maths) et le territoire (ce dont traite la physique). Ou encore de penser que toute propriété du modèle correspond à une propriété de la "nature".

Par exemple l'idée de "découper la trajectoire en segments" est purement mathématique (et purement symbolique, imaginaire) : donner à cela un sens pratique ("physique") est impossible au sens strict (on ne peut pas isoler des segments les uns des autres et les examiner indépendamment comme on le ferait avec un modèle en Lego), et toute approximation fait changer de problème (comme regarder au microscope, ou marquer par un laser les limites de segment, ou que sais-je encore ?). La longueur de Planck est alors liée à un tel "changement de problème", une complication inutile.

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Bref, se concentrer sur l'aspect mathématique et les problèmes soulevés par l'infini, en particulier la différence entre infini potentiel (l'absence de borne supérieure des entiers) et infini réel (le continu, pour simplifier) et comment les maths gèrent cela. (Il paraît que cela aurait rendu Cantor fou.)

Les grecs apparemment refusaient l'infini actuel, et c'est grâce (à cause ?) de Cantor et consorts qu'on y est habitué, et qu'on fait avec, grâce à une formalisation adéquate. Le calcul infinitésimal par Newton et Leibniz tombait à l'époque dans la catégorie "tais-toi et calcule" ("shut up and calculate"), autrement dit un outil est un outil, on le juge sur son efficacité, et on laisse la métaphysique à d'autres.

Bref, le paradoxe vu par les grecs est, il me semble, directement lié au refus de "l'infini actuel", une position métaphysique.

[Médiat]

(Il paraît que cela aurait rendu Cantor fou.)

J'ai bien noté le conditionnel, néanmoins : La métaphysique peut-elle aider en mathématique ? - Page 3 (futura-sciences.com), malheureusement je ne retrouve plus ma source (fils mort à 13 ans)

[Evam394]

Bonjour Amanuensis,

Votre réponse tombe à pic: à la lecture des autres réponses, je me suis rendue compte qu'aborder Planck est sans doute une pente glissante.

J'axerais alors plutôt mon oral (ou en tout cas ma conclusion voire une ouverture) sur cette question de validité du modèle mathématique. Si j'ai bien compris, l'infini potentiel se réfère à des nombres de plus en plus grands (en valeur absolue) et l'infini actuel/réel se réfère à des nombres de plus en plus petits (l'infinité entre 0 et 1 par exemple) ?

Cependant, si les grecs refusaient le concept d'infini actuel et considéraient qu'un segment est forcément une suite de points indivisibles, pourquoi le paradoxe en est-il un?

[Deedee81]

Ah j'aurais pas dit ça :

ok pour l'infini potentiel. Mais l'infini actuel/réel c'est plutôt considérer l'infini en acte, comme les "grands cardinaux" (de Cantor) en mathématique.
1, 2, 3... sans limite = potentiel, oo = actuel

(c'est vrai aussi avec "les infiniment petits"). Historiquement je crois que les "infiniment petits" actuel ont été introduit par Leibnitz dans son calcul infinitésimal (à vérifier, je n'en suis pas sûr). Plus facilement accepté à l'époque que l'infiniment grand qui a attendu Cantor pour acquérir ses lettres de noblesse.

Les paradoxes avec l'infini actuel (on devrait dire "les" infinis) c'est qu'on a tendance a utiliser avec eux (abusivement) les opérations sur les nombres finis (addition, etc...) ce qui est souvent incorrect et conduit à des contradictions (paradoxes).

[Amanuensis]

Mais l'infini actuel/réel c'est plutôt considérer l'infini en acte

Certes, mais c'est une simple translittération. Ainsi l'ensemble des entiers est un "infini en acte", le résultat postulé "exister" d'une suite infinie d'opérations au sens de l'infini potentiel.

L'infini actuel est aussi à la base du "continu". L'axiomatisation de la géométrie par Hilbert montre qu'il est nécessaire d'introduire la complétude. Cela peut prendre la forme de l'axiome de Cantor, qui est un cas d'infini actuel (du moins selon ma compréhension) : la limite des intersections est "actuelle" (c'est une limite d'un processus infini).

Une autre approche, intuitive, est que les calculs sur les "réels" (sur la géométrie plus généralement) avec un calculateur numérique sont nécessairement soit symboliques, soit approchés par des entiers (ou des rationnels, pareil). La machine ne présente aucun "infini en acte", seulement sa représentation symbolique.

(Pas nécessaire d'invoquer la hiérarchie des infinis, Pour le sujet seuls aleph0 et aleph1 sont concernés.)

[Amanuensis]

Si j'ai bien compris, l'infini potentiel se réfère à des nombres de plus en plus grands (en valeur absolue) et l'infini actuel/réel se réfère à des nombres de plus en plus petits (l'infinité entre 0 et 1 par exemple) ?

Non, voir le message précédent. Petit ou grand n'est pas le point.

Le cas des entiers est le plus simple : infini potentiel = on peut toujours parler d'un "plus grand" que "ce qu'on a sous la main" ; infini actuel = il est autorisé de parler de l'ensemble des entiers (même si c'est impossible physiquement de les énumérer jusqu'au "bout"). Mais ce sera pareil si on prend la suite des 1/n.

Le concept d'infini actuel est proche de celui d'existence d'une limite, et on voit là en quoi c'est pertinent pour le paradoxe de Zénon.

[Deedee81]

En plus l'axiomatisation des entiers c'est nettement plus ancien que Cantor et la théorie (dite naïve je crois après coup) des ensembles aussi.
Mais je ne connais pas bien l'histoire plus ancienne concernant les infinis potentiels / actuels. Je sais juste que ça a discuté ferme !!!! Mais on doit sûrement trouver facilement des références.

[Evam394]

J'ai du mal à comprendre cet infini en acte. J'ai fait quelques recherches mais je ne m'en trouve pas plus avancée... Que représente-t-il et serait-il possible de m'en donner un exemple?

Juste pour être sûre de bien avoir compris l'infini potentiel, il serait donc un infini construit par récurrence, en gros un ensemble qui possède un potentiel de croissance ou de décroissance infini, c'est ça?

[Evam394]

En prenant l'exemple des entiers: parler de l'infini actuel revient-il à parler de l'ensemble des entiers par opposition à chacun des entiers (=infini potentiel?) ?

[Amanuensis]

Juste pour être sûre de bien avoir compris l'infini potentiel, il serait donc un infini construit par récurrence, en gros un ensemble qui possède un potentiel de croissance ou de décroissance infini, c'est ça?

Ben, c'est pas ça. L'infini potentiel, c'est la récurrence. L'infini actuel c'est que la fin de la récurrence (l'ensemble "final") existe.

Sans un axiome portant sur l'infini actuel, "l'ensemble des entiers" n'a pas de sens. Alors que la récurrence ("pour chaque entier n il existe n+1") a un sens, c'est l'infini potentiel.

Je reconnais que c'est subtil. Mais la question est bien métaphysique : comment parler d'un ensemble de "tous les entiers" alors qu'il est impossible d'en donner une image concrète où chaque entier est représenté ? On peut juste "décider" qu'il est autorisé d'en parler, d'y voir "quelque chose qui existe", c'est l'infini actuel.

La difficulté des grecs anciens, si ma compréhension est bonne, était d'accepter que "l'ensemble de tous les segments" existe et donc qu'on puisse parler, comme "existant", de l'extrémité de la réunion de tous ces segments (infini actuel). Alors que dire "on peut toujours rajouter un segment (choisi de plus en plus petit pour obtenir le paradoxe)" ne pose pas de problème métaphysique (infini potentiel).

[Amanuensis]

En prenant l'exemple des entiers: parler de l'infini actuel revient-il à parler de l'ensemble des entiers par opposition à chacun des entiers (=infini potentiel?) ?

Presque. Par opposition à seulement "pouvoir toujours exhiber un entier plus grand".

[Amanuensis]

Plus proche du sujet de la discussion, voir l'axiome de Cantor-Dedekind, ou la complétude des réels. La définition d'un réel demande l'infini actuel (1). Par contre la définition d'un entier (ou d'un rationnel) -- mais pas de leur ensemble-- se contente de l'infini potentiel => opposition entre continu et discret.

(1) Ou encore, on ne peut pas définir racine de deux en donnant toutes ses décimales "d'un seul coup" ((ni même par récurrence comme on peut le faire pour les décimales de 1/3). On le définit seulement comme une limite. (Et le définir comme la solution positive de x²=2 sous-entend qu'il existe une solution à l'équation, pas top...)

[Médiat]

1, 2, 3... sans limite = potentiel, oo = actuel

La différence est un peu plus subtil : si on considère les entiers naturels on révèle un infini potentiel, si on considère l'ensemble des entiers naturels on révèle un infini actuel ()

[Médiat]

Pour le sujet seuls aleph0 et aleph1 sont concernés.)

Avec hypothèse du continu

[stefjm]

(1) Ou encore, on ne peut pas définir racine de deux en donnant toutes ses décimales "d'un seul coup" ((ni même par récurrence comme on peut le faire pour les décimales de 1/3). On le définit seulement comme une limite. (Et le définir comme la solution positive de x²=2 sous-entend qu'il existe une solution à l'équation, pas top...)

Un truc doit m'échapper et je ne vois pas quoi : je peux donner d'un coup la fraction continue de racine de deux.

[Merlin95]

Aparté :

J'ai bien noté le conditionnel, néanmoins : La métaphysique peut-elle aider en mathématique ? - Page 3 (futura-sciences.com), malheureusement je ne retrouve plus ma source (fils mort à 13 ans)

Oui dépression entraînant des aspects psychiatriques plus impressionnant.

[coussin]

Un truc doit m'échapper et je ne vois pas quoi : je peux donner d'un coup la fraction continue de racine de deux.

Ce n'est qu'un cas particulier pour les racines carrées que l'on peut, effectivement, "écrire" exactement (avec un motif se répétant tout le temps) sous forme de fraction continue (alors que c'est impossible avec l'écriture décimale).
Même la représentation sous forme de fraction continue ne marche plus pour les racines cubiques par exemple...

[Merlin95]

Je tente quelque chose de plus concret encore : On peut dire que l'infini potentiel c'est le droit de prendre n'importe quel ensemble fini sans fixer de limite à la taille (nombre d'éléments dans ce cas), et l'infini en acte, c'est le droit de travailler à partir d'ensembles qui sont déjà infini.

Ça paraît anodin comme ca, mais formellement cela permet d'obtenir de nouveaux énoncés/résultats qu'on ne pouvait même pas penser/exprimer avant.

[Merlin95]

PS : pour le frère mort c'est pas une confusion avec Wittgenstein ?

[Médiat]

Je tente quelque chose de plus concret encore : On peut dire que l'infini potentiel c'est le droit de prendre n'importe quel ensemble fini sans fixer de limite à la taille (nombre d'éléments dans ce cas), et l'infini en acte, c'est le droit de travailler à partir d'ensembles qui sont déjà infini.

J'aurais écrit "avec" plutôt que "à partir", sinon c'est correct

PS : pour le frère mort c'est pas une confusion avec Wittgenstein ?

J'ai bien parlé du fils et non du frère de Cantor : Rudolf

[stefjm]

Ce n'est qu'un cas particulier pour les racines carrées que l'on peut, effectivement, "écrire" exactement (avec un motif se répétant tout le temps) sous forme de fraction continue (alors que c'est impossible avec l'écriture décimale).
Même la représentation sous forme de fraction continue ne marche plus pour les racines cubiques par exemple...

Ça ne se généralise pas bien mais le cas particulier est intéressant aussi.
Géométriquement, la racine carré a plus de sens que les racines suivantes.

Un autre cas où la fraction continue peut "s'écrire" exactement et où on obtient un transcendant : e

[coussin]

e étant un transcendant ne présente pas de motif qui se répète indéfiniment dans sa représentation sous forme de fraction continue...
Mais, oui, je vois de quoi tu parles...

[Evam394]

Merci beaucoup Merlin95, cette formulation m'a permis de vraiment intégrer la différence entre potentiel et en acte!

Je remercie aussi tous ceux qui m'ont répondu, vous avez été d'une grande aide.
J'ai beaucoup avancé et j'ai pu affiner et rediriger mon sujet.


Maintenant que j'ai les réponses à mes questions, est-ce que je suis censée fermer la discussion? Si oui, comment je peux faire?