Exercice cinématique

[Geo77b]

Bonjour,

Un cycliste se déplace sur une route longeant l'équateur, et en pente descendante.
Sa vitesse tend à augmenter, mais il la maintient constante à l'aide de ses freins (on néglige les autres frottements).
La route descend, descend sous terre, jusqu'au centre de la terre, où il s'arrête.
Calculez l'énergie dissipée par les freins ? Idem si au lieu des freins, on utilise une dynamo pour ralentir, quelle est l'énergie électrique récupérée ?

J'aurais dit :
Energie dissipée ou récupérée :
E = énergie potentielle de départ + énergie cinétique de départ (vitesse tangentielle de la terre)
E = intégrale (m.g(h).dh) de la surface à 0 + m.Vterre²/2
Est-ce possible ?
Merci.
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[Resartus]

Bonjour,
Oui, c'est bien cela.
La seule difficulté est qu'il manque des informations pour trouver la valeur de g(h).
On peut sans doute considérer que la terre a une symétrie sphérique, mais il n'est pas dit comment varie sa densité avec la distance au centre
L'hypothèse la plus usuelle sera de considérer qu'elle est constante, ce qui est faux, bien sûr, mais largement suffisant pour ce genre d'exercice, et vous donnera un calcul simple de g(h)
Ceci dit, si cela vous amuse, vous pouvez toujours essayer d'utiliser des données réelles de densité
https://www.futura-sciences.com/plan...ue-154/page/2/
avec un modèle à trois couches

Une autre hypothèse farfelue, mais qui rendrait les calculs encore plus simples serait de dire que la terre est creuse, et que toute sa masse est concentrée à la même distance.
Cela peut être instructif de comparer ces trois valeurs...

Au passage, vous constaterez quand même que dans tous les cas, la composante cinétique est très largement inférieure à cela

[Geo77b]

Bonjour Resartus,

Merci pour votre confirmation.
En effet, il serait très difficile d'avoir g(h) réel exact, mais il s'agit ici d'une exercice théorique qui pourrait concerner des ensembles plus simples, avec des composantes cinétiques quelconques.
Ce qui me paraît bizarre, c'est que si l'énergie récupérée est : E = intégrale (m.g(h).dh) de la surface à 0 + m.Vterre²/2 , cela voudrait dire qu'avec cette énergie (ou une partie) récupérée, on pourrait "catapulter" le cycliste jusqu'à la surface et même plus haut, sans vitesse angulaire, via un puit creusé à cet effet.
Arrivé à la surface, sans vitesse tangentielle, il verrait arriver vers lui les immeubles à une vitesse d'environ 2000 km/h, et retrouverait ainsi sa vitesse de départ, avec un choc qui dégagerait pas mal de chaleur.
Il retrouverait sa situation de départ avec en plus cette énergie thermique, et en plus avec le trop d'énergie récupérée au centre de la terre.
Donc, on retrouve la situation de départ avec de l'énergie en plus, ce qui est évidement impossible. Mais alors, où est l'erreur ?

[gts2]

Ce qui me paraît bizarre, c'est que si l'énergie récupérée est : E = intégrale (m.g(h).dh) de la surface à 0 + m.Vterre²/2 , cela voudrait dire qu'avec cette énergie (ou une partie) récupérée, on pourrait "catapulter" le cycliste jusqu'à la surface et même plus haut, sans vitesse angulaire, via un puit creusé à cet effet.

Il faudrait qu'il dépense cette même énergie pour remonter et se retrouverait en surface avec la vitesse de départ (même Ep au départ et à l'arrivée).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Geo77b]

Rebonjour gts2,

Merci pour votre réponse,

Il faudrait qu'il dépense cette même énergie pour remonter et se retrouverait en surface avec la vitesse de départ (même Ep au départ et à l'arrivée).

Sans doute, s'il remonte via un parcours similaire à sa descente, mais s'il remonte directement (catapulte), en ligne droite vers la surface, l'énergie nécessaire ne serait-elle pas : E = intégrale (m.g(h).dh) de la surface à 0 .

[gts2]

Oui c'est bien cela et si on a récupéré E = intégrale (m.g(h).dh) de la surface à 0 + m.Vterre²/2, les deux intégrales s'éliminent et cela donne bien Vterre(initial)=Vterre(final).
(Je suppose que Vterre veut dire V(cycliste/Terre) )

[Geo77b]

Oui c'est bien cela et si on a récupéré E = intégrale (m.g(h).dh) de la surface à 0 + m.Vterre²/2, les deux intégrales s'éliminent et cela donne bien Vterre(initial)=Vterre(final).
(Je suppose que Vterre veut dire V(cycliste/Terre) )

Vterre est la vitesse tangentielle de la terre (et donc du cycliste au départ).
Mais je ne vois pas comment les deux intégrales s'éliminent, on remonte en ligne droite, et si on utilise toute l'énergie récupérée, on remonte plus haut que la surface, donc on peut n'utiliser qu'une partie pour avoir une vitesse nulle en arrivant à la surface.

[titijoy3]

j'ai lu quelque part qu'on mettrait théoriquement le même temps dans tous les cas pour rejoindre deux points quelconques de la surface du globe en passant en ligne droite, est ce vrai ?

[gts2]

Je réponds avec une terre qui ne tourne pas.
Par symétrie sphérique l'énergie potentielle ne dépend que du rayon, donc à la surface en n'importe quel point l'énergie potentielle est le même et donc la différence est nulle entre deux points à la surface.

[Geo77b]

Je réponds avec une terre qui ne tourne pas.
Par symétrie sphérique l'énergie potentielle ne dépend que du rayon, donc à la surface en n'importe quel point l'énergie potentielle est le même et donc la différence est nulle entre deux points à la surface.

La différence d'énergie potentielle est nulle entre deux points à la surface.
D'accord, mais quel rapport ?

[Resartus]

Bonjour,
L'objet a aussi un certain moment cinétique par rapport au centre de la terre. En supposant qu'il n'y ait aucune interaction autre que gravitationnelle il doit conserver ce moment cinétique. Il spiralera de plus en plus vite pendant la descente*, et quand il remontera à la surface il aura la même vitesse dans la même direction.
Bien sûr, si des frottements tangentiels avec la terre réduisent ce moment cinetique, il n'y aura plus non plus conservation de l'énergie

Bref, quand on utilise des modélisation simplistes, on aboutit fréquemment à des résultats aberrante

* Et même une vitesse infinie au centre

[gts2]

La différence d'énergie potentielle est nulle entre deux points à la surface.
D'accord, mais quel rapport ?

Et bien les deux intégrales se compensent exactement, si on récupère l'énergie du freinage, on a conservation de l'énergie mécanique Em(i)=Em(r=R)+m.Vterre²/2=Em(f)=Em(r=R)+m.V(f)²/2, donc la vitesse finale est égale à la vitesse initiale.

[Geo77b]

Bonjour,
L'objet a aussi un certain moment cinétique par rapport au centre de la terre. En supposant qu'il n'y ait aucune interaction autre que gravitationnelle il doit conserver ce moment cinétique. Il spiralera de plus en plus vite pendant la descente*, et quand il remontera à la surface il aura la même vitesse dans la même direction.
Bien sûr, si des frottements tangentiels avec la terre réduisent ce moment cinetique, il n'y aura plus non plus conservation de l'énergie


* Et même une vitesse infinie au centre

Le cycliste freine tout au long de la descente pour conserver à peu près la même vitesse tangentielle que la terre, sans autre frottement que les freins.
Si l'opération est possible, je ne vois pas d'autre échange d'énergie.
Arrivé au centre de la terre, sa vitesse est nulle, et il fait peut-être un tour sur lui-même en 24 heures.

[Geo77b]

Et bien les deux intégrales se compensent exactement, si on récupère l'énergie du freinage, on a conservation de l'énergie mécanique Em(i)=Em(r=R)+m.Vterre²/2=Em(f)=Em(r=R)+m.V(f)²/2, donc la vitesse finale est égale à la vitesse initiale.

Vous voulez dire, après le choc avec les immeubles ?
Parce ce qu'en arrivant en surface, la vitesse tangentielle du cycliste est nulle. Donc pour que V(i)=V(f), c'est après le choc.
Ou si on utilise toute l'énergie récupérée, la vitesse en arrivant en surface est dirigée vers le haut (pas tangentielle).

[titijoy3]

si j'ai bien compris, on part de 0, on traverse la terre et on arrive à la surface en un autre point, l'énergie accumulée pendant la descente est la même que celle consommée à la remontée, pour moi on arrive à la surface à zéro vitesse..

et comme on freine pendant la descente, on arrive pas à la surface

[Geo77b]

si j'ai bien compris, on part de 0, on traverse la terre et on arrive à la surface en un autre point, l'énergie accumulée pendant la descente est la même que celle consommée à la remontée, pour moi on arrive à la surface à zéro vitesse..

et comme on freine pendant la descente, on arrive pas à la surface

Vous pouvez revérifier les calculs qui précèdent, car ils disent le contraire. Mais il y a probablement une erreur.

[gts2]

Parce ce qu'en arrivant en surface, la vitesse tangentielle du cycliste est nulle.

Vu que je suis passé par le théorème de l'énergie cinétique, la vitesse dont je parlais était la norme du vecteur vitesse.

D'autre part, le puits a quelle géométrie ? Parce que si c'est un puits radial, la vitesse est radiale dans le référentiel terrestre, mais comme vous avez pris un référentiel géocentrique, dans ce référentiel, la vitesse n'est pas radiale.

[Geo77b]

Vu que je suis passé par le théorème de l'énergie cinétique, la vitesse dont je parlais était la norme du vecteur vitesse.

D'autre part, le puits a quelle géométrie ? Parce que si c'est un puits radial, la vitesse est radiale dans le référentiel terrestre, mais comme vous avez pris un référentiel géocentrique, dans ce référentiel, la vitesse n'est pas radiale.

Ce n'est pas un puit rectiligne, il est conçu pour ne pas gêner la remontée en ligne droite. c'est juste pour dire qu'on peut remonter sans creuser la terre. C'est un détail pas vraiment utile.

[titijoy3]

on ne peut récupérer plus d'énergie qu'on en a mis dans un système, est ce vrai ou pas ?

[Geo77b]

on ne peut récupérer plus d'énergie qu'on en a mis dans un système, est ce vrai ou pas ?

C'est bien là le problème. Il y a toujours l'énergie de rotation de la terre qui varierait, mais là, c'est tabou.
J'avais déjà poser une question similaire : https://forums.futura-sciences.com/p...s-energie.html
Voici une des réponses :

Re.
Ah ! Vous voulez récupérer de l'énergie "gratuite".
J'espère que vous ne prétendez pas faire un "mobile perpétuel". Ce type de conneries n'est pas accepté dans ce forum.
Donc, comme je suis charitable, je supposerai que vous voulez récupérer de l'énergie au dépend de l'énergie de rotation de la terre.
Il est facile de comprendre pourquoi c'est impossible avec le genre de manip que vous suggérez. Au bout d'un cycle, la masse revient à son point de départ avec sa vitesse de départ. Le moment angulaire de l'ensemble est le même qu'au départ. Et comme la géométrie est la même, le moment d'inertie de l'ensemble est le même et donc, la vitesse de rotation aussi. Vous ne pouvez pas ralentir la rotation de la terre sans forces extérieures et vous n'avez pas récupéré la moindre énergie.

Je vous concède que ce type de manip, avec une masse reliée à un disque tournant et à laquelle on lui fait changer de rayon peut être piégeuse. Surtout en utilisant la terre qui tourne lentement et qui fait oublier la force centripète... qui travaille aussi quand la masse descend ou monte.
A+

[gts2]

Arrivé à la surface, sans vitesse tangentielle, il verrait arriver vers lui les immeubles à une vitesse d'environ 2000 km/h, et retrouverait ainsi sa vitesse de départ, avec un choc qui dégagerait pas mal de chaleur.
Il retrouverait sa situation de départ avec en plus cette énergie thermique, et en plus avec le trop d'énergie récupérée au centre de la terre.
Donc, on retrouve la situation de départ avec de l'énergie en plus, ce qui est évidement impossible. Mais alors, où est l'erreur ?

On reviens à la question de départ : les 2000 km/h sont approximativement la vitesse tangentielle initiale, donc on retrouve bien la même vitesse et donc la même énergie cinétique, il n'y a pas d'énergie en plus.

[Geo77b]

On reviens à la question de départ : les 2000 km/h sont approximativement la vitesse tangentielle initiale, donc on retrouve bien la même vitesse et donc la même énergie cinétique, il n'y a pas d'énergie en plus.

Sauf que, pour remonter, il n'est pas nécessaire d'utiliser toute l'énergie récupérée, et que lors du choc avec les immeubles, une certaine quantité de chaleur est dégagée (comme quand une pomme tombe d'un arbre).

[titijoy3]

pourquoi n'est il pas nécessaire d'utiliser toute l'énergie accumulée pendant la descente pour remonter ?

[gts2]

Sauf que, pour remonter, il n'est pas nécessaire d'utiliser toute l'énergie récupérée.

Si : voir message #12, la gravitation est une force à énergie conservative.

[Geo77b]

pourquoi n'est il pas nécessaire d'utiliser toute l'énergie accumulée pendant la descente pour remonter ?

Energie dissipée ou récupérée :
E = énergie potentielle de départ + énergie cinétique de départ (vitesse tangentielle de la terre)
E = intégrale (m.g(h).dh) de la surface à 0 + m.Vterre²/2

Energie pour remonter en ligne droite :
E = intégrale (m.g(h).dh) de la surface à 0

[Geo77b]

Si : voir message #12, la gravitation est une force à énergie conservative.

C'est effectivement ce qui est dis au message #12, mais on y a déjà répondu (message #14).

si on utilise toute l'énergie récupérée, la vitesse en arrivant en surface est dirigée vers le haut (pas tangentielle)

[gts2]

C'est effectivement ce qui est dis au message #12, mais on y a déjà répondu (message #14).

Cela ne change pas le fait que l'énergie cinétique de départ est égal à l'énergie cinétique d'arrivée, il n'y a pas d'énergie en plus.

[Geo77b]

Cela ne change pas le fait que l'énergie cinétique de départ est égal à l'énergie cinétique d'arrivée, il n'y a pas d'énergie en plus.

Déjà répondu au message #22 :

Sauf que, pour remonter, il n'est pas nécessaire d'utiliser toute l'énergie récupérée, et que lors du choc avec les immeubles, une certaine quantité de chaleur est dégagée (comme quand une pomme tombe d'un arbre).

Donc, 2 énergies en plus, qui restent disponibles quand le cycliste a repris sa vitesse initiale (après le choc, la même vitesse que la terre).

[Geo77b]

Je crois avoir compris mon erreur, c'est le travail de la force centripète (comme le dit plus haut LPFR, qui donne l'exemple d'un manège) qui fait la différence.
Si la terre n'avait pas de gravité (masse nulle), le cycliste ne se déplacerait pas sur la route, mais sous la route (force centrifuge), la tête en bas, et la "descente" vers le centre de la terre serait une montée qui lui ferait perdre de l'énergie.
Mais alors ça voudrait dire que le cycliste n'a pas seulement une énergie potentielle (gravité) et une énergie cinétique, mais aussi une énergie potentielle centripète, ce qui devrait être vrai pour toute trajectoire non rectiligne.

[gts2]

Mais alors ça voudrait dire que le cycliste n'a pas seulement une énergie potentielle (gravité) et une énergie cinétique, mais aussi une énergie potentielle centripète, ce qui devrait être vrai pour toute trajectoire non rectiligne.

Juste une remarque : l'étude initiale était faite dans le repère géocentrique quasi galiléen, donc sans énergie potentielle centripète.