Etats KMS

[ornithology]

regarde la condition KMS
omega_beta est une trace donc F _beta aussi ,
c'est la trace d'un produit de matrices.
on obtient la condition KMS en utilisant la propriété de cyclicité :
quand on a la trace d'un produit de matrices carrées A B C D alors
trace(A B C D)= trace( B C D A) en particulier trace(A B ) =trace( B A)
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[ornithology]

Avec la cyclicité de la trace on a parfois l'impression de jouer au bonneteau. un coup a gauche un coup a droite.
dans la condition KMS on part de trace ()
si je considere trace ()
= trace ()
par la cychlicité je peur faire passer l'exponentielle de gauche a droite (ca va donner 1)
puis q(t') a droite
et je retrouve la premiere expression trace ()
c'est cette égalité qu'on appelle condition KMS.

[azizovsky]

Merci pour les détails, il y'a des truck qui m'échappe encore à propos de cet état, elle est en stand by* .

* pas d'envie de se casser les neurones .

[Deedee81]

Salut,

et je retrouve la premiere expression

Joli !

[azizovsky]

Je comprenais la cyclicité dans ce sens .

[Deedee81]

Je comprenais la cyclicité dans ce sens .

Ah non, ici il parlait de la cyclicité de la trace (qui a un caractère très général d'ailleurs) : tr(ABC) = tr(BCA).
Et c'est quand même plus simple que la théorie de Takesaki

[ornithology]

C'est en effet une jolie propriété des produits de matrices carrées. je ne sais pas si elle se généralise aux produits d'opérateurs trace class.

[azizovsky]

Voici une démonstration à partir de la cyclicité de la trace.

[ornithology]

Je me demandais quand on pouvait utiliser la cyclicité de la trace quand les espaces de Hilbert ne sont pas de dimension finie. j'ai trouvé cette question
ca a l'air intéressant. mais je l'ai juste survolé.

[coussin]

Si l'espace est de dimension infinie, la question se pose alors si la trace tout court est définie (c'est à dire finie). Si c'est le cas, on a alors à faire à des séries infinies convergentes et on montre alors qu'on peut intervertir l'ordre des opérations. En particulier, on a bien tr(AB)= tr(BA). D'où découle l'invariance de la trace par permutation cyclique pour plus de 2 matrices.

[ornithology]

Et si AB et BA sont trace classe mais pas A ou B?
je pense a l' idendité qui a une trace infinie et pourtant si O est trace class on a
Tr(IO) = Tr (OI)

[coussin]

Peu importe. On ne calcule pas tr(I)... Je ne comprends pas...
Pareil pour tr(AB). Ça ne fait pas intervenir tr(A) ou tr(B)...

[ornithology]

j'aimerais savoir en dimension infinie quand on peut utiliset la cyclicité.

[coussin]

Est-ce que je n'ai pas répondu ? Si tr(AB)<infini alors tr(AB)= tr(BA).

[ornithology]

Ce théoreme a un nom?

[coussin]

C'est tout simplement l'associativité de l'addition qui reste vraie dans le cas de séries infinies convergentes.* Cette propriété est souvent énoncée telle que l'on peut regrouper les termes d'une série convergente comme on veut sans en changer le résultat.

* Ce n'est plus vrai pour des séries semi-convergentes. C'est l'essence du théorème de réarrangement de Riemann. Il faut donc s'assurer que la trace en question constitue une série vraiment convergente.

[ornithology]

Le vrai théoreme de réarrangement valable pour les suites convergentes a t il un nom?

[coussin]

C'est une propriété de la convergence absolue.
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Conv...t_convergentes

[ornithology]

Merci,
Ca a bien l'air d'etre ce que je recherchais.

[azizovsky]

Il y'a les conditions ici

Si est borné et est de classe trace, et sont aussi de classe trace et
.
De plus et sous les mêmes hypothèses,
.