Je n'arrive pas à résoudre une équadiff du second degré

[Kiraxel]

Bonjour,

J'essaye de suivre la correction de cet exercice.

Je comprends comment avoir la solution particulière de la fonction.
Je comprends qu'il faille ajouter la solution particulière à la solution générale.
Je comprends pourquoi les conditions initiales permettent de déterminer les petites constantes introduites.

En revanche, je ne comprends pas comment OBTENIR la solution générale.

Je croyais que pour résoudre une équation différentielle du second degré (qui relie une dérivée seconde à sa fonction d'origine), la solution générale était une fonction bien compliquée faisant intervernir des termes avec la fonction exponentielle, comme dit dans ce lien :

http://www.cmap.polytechnique.fr/~le...EV2/Cours5.pdf

Est ce que vous auriez l'amabilité de bien vouloir m'expliquez comment on arrive à trouver la solution générale encadrée en rouge s'il vous plaît ?
-----

[Biname]

Salut,
Erreur dt >>> dt² je présume


https://www.wolframalpha.com/input/?...7%280%29+%3D+0

Biname

[Kiraxel]

Oui je pensais bien aussi qu'il y avait une coquille.

Je connais Wolfram Alpha ; mais moi j'aurais voulu comprendre comment on résolvais cette équadiff à la main. Quelqu'un pourrait m'expliquer ?

[Resartus]

Bonjour,
En effet, dans le cas général, l'équation différentielle linéaire du second ordre ad²y/dt²+bdy/dt+c=0 a pour solution la somme de deux exponentielles Uexp(ut)+Vexp(vt)
Et on trouve les valeurs u et v comme solutions de l'équation polynomiale du second degré ax^2+bx+c=0
Mais on est ici dans un cas simplifié où le polynome est de la forme : x^2+a^2 , dont les racines sont imaginaires pures et valent
+ia et -ia
La solution générale est donc U.exp(iat)+V.exp(-iat)
Mais cette somme d'exponentielles est de fait (cf formule d'euler) équivalente à une somme de cosinus et sinus de phase nulle, qui elle même peut se ramener à une seule fonction sinus déphasée.

En résumé, l'équation d²y/dt²+a^2.y=0 a pour solution générale y=Asin(at+phi) où A et phi sont deux constantes à déterminer par les conditions initiales

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kiraxel]

Merci beaucoup.

Ah c'était donc un cas particulier... et bien c'est bien complexe tout cela pour quelqu'un qui ne savais faire que celles du premier ordre...

En tout c'est très sympa. A plus.