Mélange de deux gaz (parfaits).

[Ozarius]

Bonjour,

Voici un problème que je me suis posé et la réponse que je pense y apporter. Cependant, ayant quitté les études depuis (très) longtemps, je ne suis pas certain que mon raisonnement soit valide. Pouvez-vous me donner votre avis et me corriger si j’ai fait des erreurs ?

Le problème : soit une enceinte adiabatique de 100L contenant de l’air (qui sera considéré comme un gaz parfait) à 100°C et à une pression de 100b et une seconde enceinte adiabatique, de 10L contenant de l’air à 10°C et à une pression de 10b.
Les deux enceintes sont reliées via une valve laissant la pression s’équilibrer mais isolante thermiquement = l’enceinte la plus pressurisée peut se «décharger» dans l’enceinte la moins pressurisée mais une fois la pression d’équilibre atteinte, il n’y aura pas d’échange thermique entre les 2 enceintes.

Pour résoudre ce problème, j’ai procédé de 2 manières :
Méthode #1 :
1. Conversion de toutes mes valeurs en unités SI (température en °K, pression en Pa...)
2. Intuitivement (mais il existe sans doute une démonstration physique valide), l’enceinte à 100 bars va se décharger en envoyant de l’air à 100°C dans l’enceinte à 10bars. La température de l’enceinte à 100 bars restera constante : la diminution de "x" mol de la quantité de gaz entraîne une diminution de pression sans variation du facteur T, En revanche, dans l’enceinte à 10 bars, la pression va augmenter (elle reçoit "x" mol de gaz) ainsi que la température (ce gaz est chaud).
3. Pour chacune des enceinte, je calcule une variation de quantité d’énergie interne en utilisant la formule suivante : dU = Cv.dT (Cv : capacité thermique isochore) et en considérant dT = variation de température entre la T°K de l’enceinte et 0°K (qui me sert de référence)
4. Le système composé des 2 enceintes étant adiabatique, j’en déduis que la somme des 2 dU est identique avant et après l’équilibrage des pressions.
5. Si l’expérience autorisait un équilibre thermique en plus de l’équilibre des pression, je pourrais écrire : P_equilibre = n_total.R.T_equilibre / V_total
6. En utilisant les points 3 et 4, je calcule d(0°K - T_equilibre = dU / Cv = dU / (c.n.M) avec c : capacité thermique massique ; n : quantité molaire ; M Masse molaire
7. En utilisant les points 5 et 6, je déduis P_equilibre = n_total.R.dV / (V_total.c.n_total.M)
8. Contrairement à ce qui est énoncé au point 5, l’expérience ne permet pas l’équilibre thermique, mais seulement l’équilibre des pressions. Cependant (et je n’arrive pas à le démontrer...), je considère que mon calcul de pression d’équilibre reste valide : c’est simplement la répartition de l’énergie interne entre les 2 enceintes qui sera différente, l’enceinte la + pressurisée restant à sa température initiale alors que la température dans l’enceinte la moins pressurisée varie(voir point 2).
9. Connaissant la P_finale (=P_equilibre), T_finale (=T_initiale), R et V de l’enceinte la plus pressurisée, j’en déduis son n_final.
10. Le n_total ne variant pas, j’en déduis le n_final de la seconde enceinte : n_{2 final} = n_total - n_{1 final}.
11. Connaissant le n_final, la P_finale (=P_equilibre), R et V de l’enceinte la - pressurisée, j’en déduis sa T_finale
12. En application numérique (en en convertissant de nouveau en unités «usuelles», la solution de mon problème serait :
P_equilibre = 91.82 bars
T_{1 finale} = 100°C
T_{2 finale} = 87.51°C

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Méthode #2 :
Les points 1 et 2 de la méthode #1 restent identiques.
3. P_{1 initial}.V₁ = n_{1 initial}.R.T_{1 initial} et P_{2 initial}.V₂ = n_{2 initial}.R.T_{2 initial} d’où
P_{1 initial}.V₁ + P_{2 initial}.V₂ = n_{1 initial}.R.T_{1 initial} + n_{2 initial}.R.T_{2 initial} = K
4. Si l’équilibrage était total (pression et température), j’obtiendrais
P_{1 final}.V₁ + P_{2 final}.V₂ = n_{1 final}.R.T_{1 final} + n_{2 final}.R.T_{2 final} = K (qui n’a pas de raison de changer, mais je se sais pas le prouver...)
5. Puisque P_{1 final} = P_{2 final} et que V₁ + V₂ = V_total
J’endéduis une pression d’équilibre P_equilibre = K / V_total
Puis je continue la démonstration en utilisant les points 9 à 12 de la méthode #1 et, en effet, j’obtiens de résultats numériques identiques.

Est-ce qu’une des deux méthode semble plus «valide» qu’une autre ? Est-ce que les deux sont exactes ou au contraire, fausses ?

Merci d’avoir lu mon (long) post jusqu’au bout ainsi que pour vos réponses.
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[phys4]

Bonjour,
Il y a une erreur dans vos hypothèses de base.
Le récipient 1 envoie de l'air dans le récipient 2, donc il y aura une détente dans le récipient 1 et une compression dans le récipient 2.
Les deux températures ne peuvent pas rester constantes, il faut que la température décroisse en 1 et augmente en 2.
Vos résultats ne peuvent pas être exacts.
Le bilan des énergies échangées devrait vous monter l'erreur.