Bonjour à tous,
J'essaye de comprendre l'utilité de la théorie des représentations dont les règles et propriétés m'ont été expliquées en cours de maths.
Je me suis donc lancé dans de la chimie théorique et ses histoires d'orbitales moléculaires. J'aimerai ainsi savoir si mon explication ci-dessous de l'utilité de la théorie des représentations est juste (et si non, je serai immensément reconnaissant à l'âme charitable qui pourrait m'expliquer son utilité).
On se place initialement dans l'espace vectoriel formé des orbitales de "valence" de chaque atome de la molécule. Notons n la dimension de cet espace (dans le cas de l'eau cet espace est de dimension 6).
L'objectif est de diagonaliser notre hamiltonien dans cet espace : trouver des vecteurs propres, ie une configuration d'orbitales de valence, dont l'énergie est définie, et qui nous formeront une base de notre espace.
Mais plutôt que de s'attaquer à l'hamiltonien, on va passer par le groupe de symétrie associé à cette molécule. Dans l'espace que nous considérons, les représentations des symétries commutent avec l'hamiltonien. On peut donc diagonaliser l'hamiltonien et ces matrices représentant nos symétries à l'aide d'une seule et même base de vecteurs propres.
Et, si j'ai bien compris, l'utilité de la théorie des représentations, est de permettre cette diagonalisation sans passer par l'étape habituelle du calcul et de la résolution du polynôme caractéristique.
En effet, on peut, grâce à la table de caractère associée à notre groupe de symétrie, décomposer notre espace en un ensemble de représentation irréductibles et obtenir une base pour cette décomposition en projetant notre base d'orbitales de valence.
Bref, au risque de me répéter, l'intérêt de la théorie des représentations est qu'elle permet de trouver des vecteurs propres de l'hamiltonien sans avoir à passer par le polynôme caractéristique (j'imagine que l'on fait cela car le calcul / la résolution du polynôme caractéristique est trop complexe à partir d'une certaine dimension n).
En remerciant, encore une fois, tout ceux qui voudront bien m'aider à y voir plus clair.
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