Exercice de thermodynamique en système ouvert (turbo compresseur)

[Bertrand Anciaux]

Bonjour ! Je rencontre quelques difficultés pour la résolution de cet exercice de thermodynamique en système ouvert que voici :

De l’hydrogène (gaz parfait aux propriétés constantes prises à température ambiante) est produità 30 bar et à température ambiante (300 K) via une électrolyse de l’eau. Afin de le stocker, on
souhaite augmenter sa pression à 200 bar. La compression se fait de manière isentropique dans un turbocompresseur (système ouvert). Le débit d’hydrogène est de 100 g/s. Quelle sera la puissance du compresseur ?
A : 224 kW ; B : 22 kW ; C : 25 kW ; D: 314 kW ; E : 356 kW

Je suis parti de l'équation de Bernouilli en système ouvert en négligeant la différence d'énergie cinétique et potentielle et les travaux de frottements. J'ai donc une expression qui me dit : que le travail moteur est égal à l'intégrale de l'état 1 à 2 de vdp. Ce qui est équivalent à dire que : w_m = v (p2 - p1) [kJ/kg]
Est-ce correct ? Et si oui que puis-je faire pour en déduire la puissance du compresseur en kWatts [kJ/s]. J'ai essayé de multiplié par le débit qu'on donne dans l'énoncé ce qui me donne bien des Watts mais je n'arrive à aucune des réponses proposées...
Merci d'avance pour votre aide !
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[gts2]

De l’hydrogène (gaz parfait ...
Je suis parti de l'équation de Bernouilli

Une des hypothèses de Bernoulli est écoulement isochore, donc ?

C'est typiquement un problème de thermo (gaz, isentropique ...), donc il faut partir des deux principes de la thermo, ce qui donne ici :
- traduction du premier principe en système ouvert : ?
- traduction de second principe et gaz parfait pour isentropique : ?

[Bertrand Anciaux]

Les hypothèses sont :
Le système est ouvert
Il y a une section unique d'entré et unique de sortie
Le régime est permanent

En fait, il m'avait semblé être plus judicieux de parler ici uniquement d'énergie mécanique et non du premier principe et du second principe. Je suis donc parti de la relation jointe ci-dessous. Ou les seuls termes non nuls sont W_m et l'intégrale de vdp. Grâce à ça je pense avoir trouvé la valeur du travail moteur que le turbocompresseur doit produire. Mais pour transformer ce travail en puissance je ne vosi pas comment faire...

[gts2]

Et comment avez-vous intégré ?

Pour passer de w à P, il suffit de regarder les deux définitions : et , donc comment peut-on passer de l'un à l'autre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bertrand Anciaux]

Mon erreur se trouve sans doute à cet endroit j'ai simplement fait : v*(p2-p1) en me disant que v qui est le volume massique est constant car l'hydrogène est incompressible. J'ai donc : v = \frac {R*T} On dit qu'on est dans une transformation adiabatique. Tout ce que je connais sur ces transformations sont les relations entre les variables d'état initiale et finale (T1,T2,p1,p2,V1,V2). Mais je ne parviens pas à obtenir une expression de celles-ci en fonction du temps. Pour ce qui est de passer de W à P je ne vois donc pas comment faire... De plus, même pour passer de w(J/kg) à W(J) je ne vois pas comment faire non plus étant donné que je ne connais pas le volume initial. J'ai l'impression que cette variable d'état manquante ne me permet pas d'appliquer la relation des gaz parfaits.

[gts2]

car l'hydrogène est incompressible.

Un gaz qui voit varier sa pression de 1 bar à 200 bars ne verrait donc pas son volume varier ?

On dit qu'on est dans une transformation adiabatique. Tout ce que je connais sur ces transformations sont les relations entre les variables d'état initiale et finale.

C'est la seule chose donc vous ayez besoin .

Mais je ne parviens pas à obtenir une expression de celles-ci en fonction du temps.

On n'en a pas besoin, et si nécessaire il suffit d'appliquer votre relation en prenant un état intermédiaire P T

Pour ce qui est de passer de W à P je ne vois donc pas comment faire...

J'explicite un peu et donc

De plus, même pour passer de w(J/kg) à W(J) je ne vois pas comment faire non plus étant donné que je ne connais pas le volume initial.

Le sujet ne vous demande pas W.

Le premier principe en écoulement donne quoi ?

[Bertrand Anciaux]

Merci pour votre aide c'est bien plus clair pour moi maintenant ! Pouvez-vous e confirmer que mon développement est maintenant correct ? Le voici :
Transformation adiabatique : On a a relation entre p et T ci-jointe
Conservation énergie mécanique dans un système ouvert : dW_m = vdp
Transformation adiabatique = transformation isentropique donc dS = (dH - vdp) = 0 donc vdp = dH et dH = Cp dT = (7/2)*R*(T2-T1)
Ainsi on obtient w_m le travail moteur massique en [J/kg] que l'on peut multiplié par par le debit en [kg/s] pour obtenir le puissance en [J/s] = [W]

[gts2]

C'est tout à fait correct, mais votre raisonnement s'appuie beaucoup sur "réversible" et il faudra donc le reprendre si vous perdez cette hypothèse.
Il est plus général de partir de dh=dw_m+dq ; dq=0 (adiabatique) ; dh=c_p dT (gaz parfait) soit w_m=c_p (T2-T1) sans nécessité de l'hypothèse réversible.

[Bertrand Anciaux]

Je vois ! La condition de réversibilité est nécessaire pour dire que dS = 0 et que en plus de l'échange d'entropie avec l'environnement qui est nul ( car dQ/T = 0) l'entropie créée par le système doit être également nulle ce qui implique la réversibilité de la transformation ? Et donc la loi de conservation que vous utilisez est bien celle qui dit : dw_m = dh - q + dk + gdz

[gts2]

Et donc la loi de conservation que vous utilisez est bien celle qui dit : dw_m = dh - q + dk + gdz

C'est bien cela, mais j'ai tendance à l'écrire : dw_m + dq = dh + dk + gdz, soit échange=variation.

La condition de réversibilité est nécessaire pour dire que dS = 0 et que en plus de l'échange d'entropie avec l'environnement qui est nul ( car dQ/T = 0) l'entropie créée par le système doit être également nulle ce qui implique la réversibilité de la transformation ?

Oui, c'est cela (adiabatique dq=0) + (réversible : pas de terme de création) implique isentropique, dS=0.
Donc l'hypothèse du texte devrait plutôt être adiabatique réversible ce qui implique isentropique.
L'inverse n'a aucune raison d'être vrai, même s'il est vrai que, dans la plupart des exos de thermo, isentropique doit être compris comme adiabatique réversible.

[Bertrand Anciaux]

Ok, merci beaucoup pour votre aide précieuse !