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Divergence du champ électrostatique



  1. #1
    moussajamorsup

    Divergence du champ électrostatique


    ------

    bonjour tout le monde
    pourquoi la divergence d'un champ électrostatique crée par un fil infini chargé en un point M de l'espace est nulle.
    cependant si on visualise les lignes du champ ils divergent.... y a t-il une relation avec la densité de charge volumique (loi de maxwell gauss)....
    merci d'avance.

    -----

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  4. #2
    Opabinia

    Re : Divergence du champ électrostatique

    Bonjour,

    Peut-être y a-t-il derrière ce faux paradoxe un défaut de compréhension de la langue: le fait que la divergence d'un vecteur soit nulle n'empêche pas les lignes de champ de "diverger" au sens commun du terme, c'est à dire de s'écarter les unes des autres lorsque l'on s'éloigne du fil chargé.

    La relation div(E) = 0 provient directement, en l'absence de charge d'espace (ρ = 0), du théorème de Gauss, qui lui-même se déduit de la loi en (1/r2) pour l'expression du champ créé par une charge ponctuelle.

    L'article suivant explique le sens de l'opérateur divergence:
    Dernière modification par Opabinia ; 18/09/2021 à 15h24.

  5. #3
    Opabinia

    Re : Divergence du champ électrostatique

    Message supprimé (désolé)
    Dernière modification par Opabinia ; 18/09/2021 à 15h45.

  6. #4
    Opabinia

    Re : Divergence du champ électrostatique

    On pourrait prendre le problème à l'envers en se demandant quelle devrait être l'expression d'un champ présentant la symétrie cylindrique par rapport à l'axe (z'z).
    La seule composante non-nulle étant alors la composante radiale (Er) , il vient:
    E = Er.ur = Er(x/r).ux + Er(y/r).uy , avec r2 = x2 + y2 .
    Il vient dans ces conditions:
    Ex = Er(x/r); Ey = Er(y/r);
    r.dr = x.dx + y.dy
    ce qui donne, compte tenu de ce que (Er) ne dépend que de la distance (r):
    (∂Ex/∂x) = (∂Er/∂r)(∂r/∂x)(x/r) + Er(1/r - (x/r2)(∂r/∂x)) = (dEr/dr)(x/r)2 + Er(1/r - x2/r3) ,

    (∂Ey/∂y) = (∂Er/∂r)(∂r/∂y)(y/r) + Er(1/r - (y/r2)(∂r/∂y)) = (dEr/dr)(y/r)2 + Er(1/r - y2/r3) ,
    et finalement:
    Div(E) = (dEr/dr)(x2 + y2)/r2 + (Er/r)(2 - (x2 + y2)/r2) = (dEr/dr) + Er/r .

    Le champ électrique vérifie par ailleurs div(E = ρ/ε0), et en l'absence de charge d'espace (ρ = 0) la composante radiale (Er) vérifie la relation particulière:
    (dEr/dr) + Er/r = 0
    qui admet pour solution générale: Er = k.r .

    Pour toute autre fonction Er = F(r), la divergence du vecteur n'est pas nulle.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    gts2

    Re : Divergence du champ électrostatique

    Bonjour,

    La notion de divergence est une notion locale (normal pour une dérivée), donc pas forcément lié à l'allure "globale" d'un champ, allure qui dépend des conditions aux limites.
    Votre champ "diverge" globalement parce que sur l'axe la divergence diverge (sic).

    De même, à l'envers, on peut avoir un rotationnel non nul avec des lignes de champ parallèles.

    En électromagnétisme, la notion intuitive de div rot n'est pas forcément évidente, cela a un sens plus physique en mécanique des fluides.

  9. #6
    Opabinia

    Re : Divergence du champ électrostatique

    Correction:
    ... qui admet pour solution générale: Er = k.r .
    J'ai oublié l'exposant négatif:
    Er = k.r-1 = k / r .

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  11. #7
    moussajamorsup

    Re : Divergence du champ électrostatique

    Merci infiniment.

  12. #8
    moussajamorsup

    Re : Divergence du champ électrostatique

    Merci pour votre explication.

  13. #9
    moussajamorsup

    Re : Divergence du champ électrostatique

    C'est vrai, car quand je cherche à comprendre le sens physique de ces opérateurs mathématiques souvent les exemples sont tirés du mécanique des fluides (que j'ai au programme)...
    merci.

  14. #10
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Divergence du champ électrostatique

    Bonjour,

    Je me permets de redonner le lien de ce petit document écrit par LPFR qui explique ces notions avec un point de vue physique justement : http://forums.futura-sciences.com/at...aire-nabla.pdf
    Not only is it not right, it's not even wrong!

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