Divergence du champ électrostatique

[invite4162e7a2]

bonjour tout le monde
pourquoi la divergence d'un champ électrostatique crée par un fil infini chargé en un point M de l'espace est nulle.
cependant si on visualise les lignes du champ ils divergent.... y a t-il une relation avec la densité de charge volumique (loi de maxwell gauss)....
merci d'avance.
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[Opabinia]

Bonjour,

Peut-être y a-t-il derrière ce faux paradoxe un défaut de compréhension de la langue: le fait que la divergence d'un vecteur soit nulle n'empêche pas les lignes de champ de "diverger" au sens commun du terme, c'est à dire de s'écarter les unes des autres lorsque l'on s'éloigne du fil chargé.

La relation div(E) = 0 provient directement, en l'absence de charge d'espace (ρ = 0), du théorème de Gauss, qui lui-même se déduit de la loi en (1/r²) pour l'expression du champ créé par une charge ponctuelle.

L'article suivant explique le sens de l'opérateur divergence:

http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_...Contenu34.html

[Opabinia]

Message supprimé (désolé)

[Opabinia]

On pourrait prendre le problème à l'envers en se demandant quelle devrait être l'expression d'un champ présentant la symétrie cylindrique par rapport à l'axe (z'z).
La seule composante non-nulle étant alors la composante radiale (E_r) , il vient:

E = E_r.u_r = E_r(x/r).u_x + E_r(y/r).u_y , avec r² = x² + y² .

Il vient dans ces conditions:

E_x = E_r(x/r); E_y = E_r(y/r);
r.dr = x.dx + y.dy

ce qui donne, compte tenu de ce que (E_r) ne dépend que de la distance (r):

(∂E_x/∂x) = (∂E_r/∂r)(∂r/∂x)(x/r) + E_r(1/r - (x/r²)(∂r/∂x)) = (dE_r/dr)(x/r)² + E_r(1/r - x²/r³) ,

(∂E_y/∂y) = (∂E_r/∂r)(∂r/∂y)(y/r) + E_r(1/r - (y/r²)(∂r/∂y)) = (dE_r/dr)(y/r)² + E_r(1/r - y²/r³) ,

et finalement:

Div(E) = (dE_r/dr)(x² + y²)/r² + (E_r/r)(2 - (x² + y²)/r²) = (dE_r/dr) + E_r/r .

Le champ électrique vérifie par ailleurs div(E = ρ/ε₀), et en l'absence de charge d'espace (ρ = 0) la composante radiale (E_r) vérifie la relation particulière:

(dE_r/dr) + E_r/r = 0

qui admet pour solution générale: E_r = k.r .

Pour toute autre fonction E_r = F(r), la divergence du vecteur n'est pas nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Bonjour,

La notion de divergence est une notion locale (normal pour une dérivée), donc pas forcément lié à l'allure "globale" d'un champ, allure qui dépend des conditions aux limites.
Votre champ "diverge" globalement parce que sur l'axe la divergence diverge (sic).

De même, à l'envers, on peut avoir un rotationnel non nul avec des lignes de champ parallèles.

En électromagnétisme, la notion intuitive de div rot n'est pas forcément évidente, cela a un sens plus physique en mécanique des fluides.

[Opabinia]

Correction:
... qui admet pour solution générale: Er = k.r .
J'ai oublié l'exposant négatif:
Er = k.r^-1 = k / r .

[invite4162e7a2]

Merci infiniment.

[invite4162e7a2]

Merci pour votre explication.

[invite4162e7a2]

C'est vrai, car quand je cherche à comprendre le sens physique de ces opérateurs mathématiques souvent les exemples sont tirés du mécanique des fluides (que j'ai au programme)...
merci.

[albanxiii]

Bonjour,

Je me permets de redonner le lien de ce petit document écrit par LPFR qui explique ces notions avec un point de vue physique justement : http://forums.futura-sciences.com/at...aire-nabla.pdf