Mesure expérimentale du module d'élasticité

[Gawel]

Bonjour à toutes et tous,
je suis face à un problème pour lequel j'ai un peu honte, car il me renvoie quelques années en arrière sur les bancs de l'école en cours de RDM, mais même en appliquant les formules que je connais et celles que je retrouve sur le net, impossible de trouver un résultat cohérent...
Me voici donc!

Pour résumer la situation, j'ai un ensemble d'échantillons de tiges métalliques pour lesquelles je voudrai calculer le module d'élasticité.
Pour cela j'ai un banc de test qui me permet de faire des tests de flexion avec un système de préhension piloté en angle, et un point d'appui avec un capteur de force. Le dispositif me restitue l'angle correspondant à la limite élastique (0.2%) ainsi que la force mesurée à ce moment-là.

J'ai récolté énormément de données de matériaux et formes (sections) différentes, mais au moment de compiler tout ça, je tombe sur un os, mon calcul du module d'élasticité semble faux.
Donc j'ai voulu vérifier si mes calculs étaient juste, pour cela, j'ai pris exactement le même échantillon (même matériau, même section circulaire, même diamètre) et j'ai fait des mesures de flexion avec des bras de levier différents, et j'ai relevé la force d'appui en fonction de l'angle de rotation.

Conclusion, j'ai bien un os, mais impossible de comprendre où...
Sauriez-vous me dire où est-ce qu'il y a un bug dans mon raisonnement et mes calculs/mesures?`
Merci

Voilà les formules que j'ai utilisées et résultats que j'ai obtenus :
D = Diamètre de l'échantillon en flexion (en mm)
L = Bras de levier (en mm)
θ = Angle de rotation (en degrés)
F = Force mesurée (en g et ensuite reprise en N dans la suite des calculs)

I = Module d'inertie
ε = Flèche
E = Module d'élasticité

I = (π*D^4) / 64
ε = (2*π*θ*L) / 360

E = (F*L^3) / (3*ε*I)


-----

[Biname]

Salut,
Tes calculs sont exacts.

La flèche de 1mm est énorme par rapport à la portée 5mm, les formules de flexion que tu utilises sont basées sur l'hypothèse ??des faibles déformations (IIRC alpha =~ tg(alpha)???
Ici ta fléche est de 1/5 de la portée ... c'est énorme, ??? comme tes 10° pour 5mm ???
Il faudrait revoir le cours EI dy/dx = somme des moments fléchissants en x

Biname

[Gawel]

Malheureusement je n'ai pas de données sur les modes de calcul du banc de test.

Le protocole est assez basique :
Rotation de 30° et mesure de la force selon l'angle, puis calcul du moment selon le bras de levier.
Puis restitution des mesures :
- Moment Arm
- Yield Load
- Yield Angle
- Yield Moment
- Load @ 30°
- Load @ 60° (pas utilisé dans mon test)
- Load @ 90° (pas utilisé dans mon test)
- Ultimate Load
- Ultimate Moment

[Gawel]

Et j'utilise le Yield Load et le Yield Angle...
Mais après réflexion, je me demande si c'est bien les bonnes variables à considérer... Yield, c'est rupture, mais au niveau graphique, ça correspond au Rp(0.2%) que je pourrais utiliser pour mon calcul...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Biname]

Salut,
Si on calcule la contrainte maximum pour le premier cas, on trouve 8900 kg/cm² ... sauf erreur ! Peu de matières résistent jusque-là ! (rupture acier courant 3600kg/cm³)
I/v = pi * R³ / 4 = pi * D³ / 32 = pi * 0.9³ / 32 = 71.6e-3 mm³
Mmax = P * L = 1.28 kg * 5mm = 6.4 kg.mm
Sigma = 6.4/0.0716 = 89 kg/mm² ou 8900 kg/cm² ou 89000N/cm² ou 89000 * 10000 N/m² = 890 MPa

On est probablement plus sur la partie linéaire de la ??? loi de Hooke ??? ou de Young ??? pour ce martériau, donc ces calculs basés sur les formules de flexions ne sont pas adaptés (une deuxième fois ).

Sauf erreur, la pièce devrait subir une déformation permanente lors du test ???

Une déformation de 1 mm pour une portée de 5mm, c'est comme une déformation de 1m pour une portée de 5m

Ai-je bien tout compris ?

Biname

PS : ah oui, les termes anglais portent à confusion ...

[Biname]

Salut,

Le module de Young est k fois la pente de tes courbes entre 0 et la première graduation sur l'axe des x (la partie linéaire) ? k est une constante dépendant de la méthode de mesure ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Module_de_Young

Ton tableau msg #1 n'est valable que pour cette plage, or tu le calcules à la cinquième graduation ?

Biname

[yaadno]

bonjour:

Il faudrait revoir le cours EI dy/dx = somme des moments fléchissants en x

EId2y/dx2=-M
je suis bien de l'avis de biname: on n'est plus dans le domaine élastique;si tu veux y rester de façon certaine il faut que tu mettes une condition sur la flèche ,par ex f<L/500
Par ailleurs la loi de hooke c'est celle qui se vérifie le plus facilement par l'essai de traction et je ne vois pas trop pourquoi tu fais un essai de flexion;
cdlt

[Biname]

bonjour:
EId2y/dx2=-M

+1 oui d²y/d²x ...

je suis bien de l'avis de biname: on n'est plus dans le domaine élastique;si tu veux y rester de façon certaine il faut que tu mettes une condition sur la flèche ,par ex f<L/500
Par ailleurs la loi de hooke c'est celle qui se vérifie le plus facilement par l'essai de traction et je ne vois pas trop pourquoi tu fais un essai de flexion;
cdlt

Mon k ne permettrait pas de passer d'un à l'autre ???
On pourrait aussi ajouter que l'encastrement de la barre de mesure dans l'instrument ne doit pas être simple à concevoir ?

Biname

[Gawel]

Tout d'abord merci à tous pour vos réponses et vos commentaires!!!
Si je reprends,

Sauf erreur, la pièce devrait subir une déformation permanente lors du test ???

Une déformation de 1 mm pour une portée de 5mm, c'est comme une déformation de 1m pour une portée de 5m

Ai-je bien tout compris ?

oui oui, on a une belle déformation plastique sur les 30 degrés!!

Salut,

Le module de Young est k fois la pente de tes courbes entre 0 et la première graduation sur l'axe des x (la partie linéaire) ? k est une constante dépendant de la méthode de mesure ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Module_de_Young

Ton tableau msg #1 n'est valable que pour cette plage, or tu le calcules à la cinquième graduation ?

Biname

Alors en fait, le point qui est ressorti automatiquement par mon logiciel de restitution est placé à environ 10°, donc 2 graduations sur la courbe. Il considère que c'est à 0.2% de déformation plastique (sur la courbe, ça semble être d'avantage, mais bon).
Après, c'est vrai que ce que je pourrais faire, c'est à partir des relevés de force, recalculer moi-même le module d'Young en restant à 100% dans le domaine élastique, je vais essayer ça.

Par ailleurs la loi de hooke c'est celle qui se vérifie le plus facilement par l'essai de traction et je ne vois pas trop pourquoi tu fais un essai de flexion;

ahah, vaste question
L'application de nos produits ne se fait qu'en flexion, et la machine que j'utilise est à la base faite pour comparer des produits entre eux en reproduisant l'utilisation courante (donc des flexions).
Mais j'aimerais objectiver mes résultats en tirant le module d'élasticité de mes mesures... Après, c'est vrai que je pourrais faire ça sur un autre équipement, mais disons que si je peux faire ça sur celui que j'ai déjà, ça m'arrange



Je reviens vers vous dès que j'ai calculé le module E sur la partie purement linéaire en faisant fit des résultats que mon logiciel génère

Merci encore!
Gaël

[Gawel]

Bon bon bon... je me suis mis dans le domaine linéaire "manuellement" en choisissant "arbitrairement" la limite élastique selon la courbe (en passant par la variation de la tangente).
Les résultats ne sont pas fameux...

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi mon module est aussi dépendant que cela à mon bras de levier...

D'ailleurs, si je fais E/L, étonnamment, j'arrive à une valeur stable d'environ 40'000... qui ne me mène nulle part (à part peut être à la preuve d'une erreur de calcul, mais je ne la trouve pas)
(tu le connais ce moment ou tu multiplies tout par n'importe quoi pour essayer de trouver une logique à ton problème? )

Bref, je suis un peu paumé...

[Biname]

Salut,
A mon avis, seule la première ligne est dans le ?domaine élastique.
Moment = F * L = 0.365 * 5 = 1.825 kg.mm
I/v = 71.5e-3 mm³
Contrainte maximum = Sigma = 1.825/71.5e-3 = 25.49 km/mm² ou 2549 kg/cm² ou 254 MPa, là, s'il s'agit d'acier, on est dans le 'domaine élastique' (limite élastique de l'acier est de 2400 kg/cm²).

Calcule le moment divisé par l'I/v = 71.5e-3 mm³ pour obtenir la tension maximale dans la pièce.

Les deux premiers cas devraient donner des résultats similaires, pas 20000 et 70000 ? Réaliser un encastrement parfait est très difficile ! Tu as bien une pièce encastrée libre en flexion ? Si tu serres la piece avec une vis, une pince, ... au niveau de l'encastrement, tu précontaraints la pièce ...

Biname

PS : tu n'es pas dans la partie linéaire verticale de la courbe de ?machin? mais dans la partie linéaire horizontale = en rupture. Mais comme tu es en flexion, il y a déformation et non rupture.

[Gawel]

Intéressant...
oui mon échantillon est serré dans un étau mobile en rotation, et appuyé "ponctuellement" sur un capteur de force

Je vais calculer la contrainte max pour chacun, et je reviens

Effectivement, il s'agit d'acier 1.4028, le module d'Young attendu est de 215 GPa à 20°C.
Sa résistance à la traction est notée "< 800 MPa"

[Jaunin]

Bonjour Gawel,
Désolé, je n'ai pas bien compris votre système en "rotation"
Votre tige est en position de cantilever et la rotation est sa flexion ?
Cordialement.
Jaunin__

[Biname]

Intéressant...
oui mon échantillon est serré dans un étau mobile en rotation, et appuyé "ponctuellement" sur un capteur de force

Une pièce cylindrique dans des mâchoires ?planes? réalisant un encastrement parfait destiné à faire des mesures ...
Faut réaliser, dans le même alliage que ta pièce, une pièce paralélipipédique avec un trou foré au diamètre super exact de ta barre, pièce que tu placeras dans l'étau ... au moins.

Je vais calculer la contrainte max pour chacun, et je reviens

Effectivement, il s'agit d'acier 1.4028, le module d'Young attendu est de 215 GPa à 20°C.
Sa résistance à la traction est notée "< 800 MPa"

800 MPa, c'est du très très très dur, l'acier courant se rompt à 3600 kg/cm² ou 360 MPa. A un poil près, pour tous les aciers E=215 Gpa ou 2100000 kg/cm²

Biname

[yaadno]

ui mon échantillon est serré dans un étau mobile en rotation, et appuyé "ponctuellement" sur un capteur de force

tu peux expliquer?
pour serrer efficacement des pièces cylindriques on utilise des pinces de fraisage;le porte pince pouvant se mouvoir dans le plan force/axe de l'éprouvette;
cdlt

[Gawel]

Bonjour Gawel,
Désolé, je n'ai pas bien compris votre système en "rotation"
Votre tige est en position de cantilever et la rotation est sa flexion ?
Cordialement.
Jaunin__

tu peux expliquer?
pour serrer efficacement des pièces cylindriques on utilise des pinces de fraisage;le porte pince pouvant se mouvoir dans le plan force/axe de l'éprouvette;
cdlt

Voici un schéma de principe de mon banc de test
Mesures_module_schéma.png

L'échantillon en noir est solidaire d'un étau monté sur un moteur M rouge que je pilote en vitesse et en angle.
L est réglable
Mon capteur vert mesure la force d'appui

Oui je comprends bien que je crée un défaut de mesure en serrant mon échantillon
Est-ce que vous pensez qu'il peut justifier un si grand écart de mesure/calcul de mon module d'élasticité???

Une pièce cylindrique dans des mâchoires ?planes? réalisant un encastrement parfait destiné à faire des mesures ...
Faut réaliser, dans le même alliage que ta pièce, une pièce paralélipipédique avec un trou foré au diamètre super exact de ta barre, pièce que tu placeras dans l'étau ... au moins.



800 MPa, c'est du très très très dur, l'acier courant se rompt à 3600 kg/cm² ou 360 MPa. A un poil près, pour tous les aciers E=215 Gpa ou 2100000 kg/cm²

Biname

Oui c'est clair que l'idéal serait de faire des éprouvettes, mais je m'appuie sur notre matière première volontairement pour être au plus près de la réalité (et aussi pour des gains de temps et d'argent, on va pas se le cacher!!)
Oui, le 1.4028 est extrêmement dur, c'est la raison pour laquelle on l'utilise, et encore, on est en train de passer sur un acier encore plus dur...


Du coup, selon tes conseils, j'ai calculé la contrainte et je me suis placé juste en dessous de 240 MPa.
Toujours de la volatilité dans les mesures...

Mesures_module_E-3.png

[Naalphi]

Bonjour

Si je comprends bien le mécanisme de votre banc d'essai :
. éprouvette encastrée sur le générateur de couple (l'étau) d'un côté
. capteur de force de l'autre côté de l'éprouvette (mesurant finalement l'effort tangentiel de l'éprouvette montée en cantilever)
. l'étau tourne de 30°
. le capteur enregistre la force résultante en fonction de la rotation
. pas con, la machine identifie le moment où la relation rotation/force cesse d'être linéaire (à 0,2%)
. la machine vous indique l'angle et l'effort tangentiel où cela s'est produit

j'ai bon ?


Bon, moi non plus je ne comprends pas comment E peut autant dévier...
Cela me fait bizarre.., le couple est à peu près constant ; sigma, pourtant calculé via un grand détour par le rayon de la déformée, l'est aussi (~900N/mm²)...

Par contre, sauf erreur de ma part, il me semble que la conversion gramme/newton a subit un facteur 10 dans votre premier tableau (1gr~=0,01N : 1260gr=12,6N , donc 17.000MPa, et non 170.000)

[Biname]

Salut,
Dans le dernier tableau E-3, la première valeur de E ne me paraît pas exacte, je trouve 81231 et non 16251, les autres semblent exactes ... à la position de la virgule près.
Pour E acier, on devrait trouver 215 GPa ... on en est loin.

Si on calcule la flèche pour pièce encastrée d'une longueur de 5mm et une charge de 1.2 kg à son extrémité, on trouve une flèche de 54 ?nanomètres ? On est loin de notre millimètre !
F = P * L³ / 3 E I = 1.2 * 0.45^3 /(3 * 21000 * 0.0322) = 53.9 e-6 mm (tout en mm et kg)

Me gourre-je ? Sinon ... on a trouvé

Biname

[Biname]

Ooops L=5mm et pas 0.45mm mais ca ne change rien ... juste que c'est plus raisonnable
f = 1.2 * 5³/(3 * 21000 * 0.322) = 0.0739 mm toujours loin du mm

Biname

[Biname]

Salut,
L'angle ne serait pas en minutes des fois ? 10' 5mm >> Flèche = 5 * tg(10/60) = 0.0145mm
Biname

[Jaunin]

Bonjour Gawel,
Auriez-vous la possibilité de faire la simulation sur un logiciel EF avec les grands déplacements ?
Cordialement.
Jaunin__

[le_STI]

Salut à tous.

J'essaierai d'aporter ma pierre à l'édifice un peu plus tard mais :

800 MPa, c'est du très très très dur, l'acier courant se rompt à 3600 kg/cm² ou 360 MPa. A un poil près, pour tous les aciers E=215 Gpa ou 2100000 kg/cm²

Comme disait l'autre : tout est relatif
Je travaille couramment avec des aciers traités à 47HRC (~1300MPa)

[le_STI]

47HRC correspond à une Rm de ~1500MPa, pardon :P

[le_STI]

Alors comme d'autres l'ont dit, ce qui m'étonne est que tu as appliqué les formules valables dans le cadre de petits déplacements alors que les angles sont de l'ordre de 10° .

Ensuite la formule utilisée pour le calcul de la flêche est en fait celle de la corde de l'arc de cercle décrit par l'extrémité de la poutre (ce qui devrait néanmoins être OK pour des petites déformations).

D'ailleurs, aurais-tu une photo du montage utilisé?

Parce que si le montage est bien tel que je l'imagine, la distance de l'axe de rotation au point d'appui est fixe, ce qui ne correspond pas au cas d'une poutre encastrée soumise à une charge à son extrémité (encore une fois ce devrait néanmoins être OK pour des petites déformations)

EDIT : Je viens de voir le schéma, c'est bien ce que je pensais.

De plus, il faudrait que l'axe de rotation se trouve exactement à la base de la partie libre de la barre (et pas en plein milieu des mors de serrage comme représenté)

[le_STI]

Je m'auto-corrige (trop tard pour éditer mon message) :

la formule utilisée pour le calcul de la flêche est en fait approximativement celle de la longueur de l'arc de cercle décrit par l'extrémité de la poutre

[Gawel]

Bonjour à tous, merci pour vos réponses

Ooops L=5mm et pas 0.45mm mais ca ne change rien ... juste que c'est plus raisonnable
f = 1.2 * 5³/(3 * 21000 * 0.322) = 0.0739 mm toujours loin du mm

Biname

Je ne comprends pas les unités que vous avez utilisé, à quoi correspond le 21000 ?

j'ai bon ?


Bon, moi non plus je ne comprends pas comment E peut autant dévier...
Cela me fait bizarre.., le couple est à peu près constant ; sigma, pourtant calculé via un grand détour par le rayon de la déformée, l'est aussi (~900N/mm²)...

Par contre, sauf erreur de ma part, il me semble que la conversion gramme/newton a subit un facteur 10 dans votre premier tableau (1gr~=0,01N : 1260gr=12,6N , donc 17.000MPa, et non 170.000)

Oui c'est exactement ça
Vous me rassurez car je suis un peu à court d'idée... Je n'arrive pas à comprendre comment je peux avoir autant d'écart même lorsque je ne considère que le domaine élastique.
Oui c'est possible qu'il y ait eu une erreur de conversion dans la première version du tableau. Je n'ai pas gardé d'historique et j'ai modifié plusieurs fois mes formules alors ça a du disparaître

Salut,
L'angle ne serait pas en minutes des fois ? 10' 5mm >> Flèche = 5 * tg(10/60) = 0.0145mm
Biname

Non non c'est bien des degrés. Je me déplace de 30° et j'ai un comportement élastique sur quelques degrés puis je déforme mon échantillon.

Bonjour Gawel,
Auriez-vous la possibilité de faire la simulation sur un logiciel EF avec les grands déplacements ?
Cordialement.
Jaunin__

Excellente question, malheureusement non, pas à portée de main, sinon je me serais jeté dessus

Alors comme d'autres l'ont dit, ce qui m'étonne est que tu as appliqué les formules valables dans le cadre de petits déplacements alors que les angles sont de l'ordre de 10° .

Oui c'est par esprit de simplification que j'ai fait ça, mais si on regarde bien, dans mes derniers calculs, je ne considère que jusqu'à 5° ou moins de déformation pour rester dans le domaine élastique. La formule devrait rester applicable non?

Ensuite la formule utilisée pour le calcul de la flêche est en fait celle de la corde de l'arc de cercle décrit par l'extrémité de la poutre (ce qui devrait néanmoins être OK pour des petites déformations).

Oui ça j'ai testé en calculant la longueur de l'arc et la longueur du segment, la différence est mineure (et ne justifie pas l'écart que j'observe entre mes différentes mesures!!)

D'ailleurs, aurais-tu une photo du montage utilisé?

Oui, je la mets ci-dessous

Parce que si le montage est bien tel que je l'imagine, la distance de l'axe de rotation au point d'appui est fixe, ce qui ne correspond pas au cas d'une poutre encastrée soumise à une charge à son extrémité (encore une fois ce devrait néanmoins être OK pour des petites déformations)

EDIT : Je viens de voir le schéma, c'est bien ce que je pensais.

De plus, il faudrait que l'axe de rotation se trouve exactement à la base de la partie libre de la barre (et pas en plein milieu des mors de serrage comme représenté)

Non non, le centre de rotation est à la sortie des mors

[Jaunin]

Bonjour Gawel,
Sur la photo il me semble que la longueur est plus grande que dans les calculs et le centre de rotation serait décalé ?
Cordialement.
Jaunin__

[Gawel]

Bonjour Gawel,
Sur la photo il me semble que la longueur est plus grande que dans les calculs et le centre de rotation serait décalé ?
Cordialement.
Jaunin__

Extrêmement observateur!!!
Oui c'est normal, j'ai mis un échantillon de plus grand diamètre et j'ai écarté le capteur, pour qu'on voit mieux l'ensemble sur la photo

[Jaunin]

le centre de rotation serait décalé ?

C'est le cas ?

[Jaunin]

Le centre de rotation, non.